趋势曲线模型预测法

正中项:
2 d n 1
趋势曲线模型预测法是长期趋势预测的主 要方法,它是根据时间序列的发展趋势,配 合合适的曲线模型,外推预测未来的趋势 值
直线模型预测法
直线预测模型为:
ˆt a bt y
式中: t为时间, 代表年次等 , a, b为参数, a代表t 0 ˆ t 代表预测值 时的预测值 , b代表逐期增长量 .y
44.467
n t t n t t 2
yt
0.1678 44.467
0.1678 0.1678 265.79
297
333 370 405 443
7
6 5 4 3
0.2097 62.281
0.2621 87.279 0.3277 121.249 0.4096 165.888 0.512 226.816
474
508 541
2
1 0
0.64
0.8 1
303.36
406.4 541
2123.52 4.48
3251.20 6.4 4869 9
31.36
51.2 81
473.41
508.01 542.61
Σ
3636
4.33
1958.74
13349.9 27.68
200.84 3637.8
1958 .74 4.33a 27.68b 13349 .9 27.68a 200.84b
ˆt 231.18 34.6t y
多项式曲线模型预测法
预测模型
ˆt = a + bt + ct + dt + et + ... y
二次抛物线预测模型
2
3
4
ˆt a bt ct y
2
二次抛物线预测模型的特点为二阶差分为一常数
ˆ y ˆt y ˆt 1 2c 2 y
直线预测模型的特点: 一阶差分为一常数
ˆt y ˆt y ˆt 1 b y
ˆt a bt y
a,b值的确定方法: 最小平方法或折扣最小平方法
一 最小平方法
ˆ ）² ∑（Yt― Y =最小值 ˆ )= 0 ∑(Yt― Y Yt代表原数列的观察值； ˆ 代表模型的估计值。 Y t 根据最小平方法的要求，即： ˆ =∑(Yt-a-bt)² Q=∑(Yt- Yt)² 分别对a和b求偏导，并令其等于零。则有： -2∑（Yt-a-bt）= 0; -2∑(Yt-a-bt)t= 0 整理后可求出： b=(n∑t*Yt-∑t∑Yt)/n∑t² -(∑t)² a=∑Yt/n-b∑t/n
38
31
34
33
年份
t
yt
265 297 333 370 405 443 474 508 541 3636
tyt
-1060 -891 -666 -370 0 443 948 1524 2164 2092
t2
ˆt y
ˆt ( yt y yt y ˆt ) 2
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Σ
b=(n∑t*Yt-∑t∑Yt)/〔n∑t² -(∑t)² 〕 a=(∑Yt/n)-(b∑t/n) 为简化计算,可取时间序列的中点为时间原点, 使∑t=0.当序列为奇数项时,t分别为…,-2,-1, 0,1,2,…;当序列为偶数项时,t分别为…-5,-3, -1,1,3,5,…
ˆ a
y
n
t
ˆ ,b
和正中各取5项数据,求出三个加权平均数,权数 由远及近分别为1,2,3,4,5.这三个加权平均数就 作为二次抛物线上三个点的纵坐标.9<n<15时, 取3项数据,求出三个加权平均数,权数由远及近 分别为1,2,3.为保持这三个点的距离相等,数列 总数应为奇数,若是偶数,可删去最早期的一项.
设初,中,近期三点的坐标为M1(t1,R), M2(t2,S), M3(t3,T) 又设n为数列总项数,且为奇数.
ty t
t 2
例:某市1978－－1986年化纤零售量如表, 试预测1987年化纤零售量
年分 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
零 售 量 一 阶 差 分
265 297 333
370 405 443 474 508 541
32
36
37
35
三次抛物线预测模型为
ˆt a bt ct dt y
2
3
三次抛物线预测模型的特点是三阶差分为一常数
ˆt y ˆt y ˆt 1 6d y
3 2 2
三次和二次抛物线预测模型的参数, 可用最小平方法,三点法来估计
三点法
三点法是用来估计二次抛物曲线预测模型的参数. 基本思想:在二次曲线上选取三个点来求模型的 三个估计值. 做法: 当时间序列总项数N>15时,在序列的首尾两端
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
264.52 299.39 334.26 369.13 404.00 438.87 473.74 508.61 543.48 3636
ˆ a
y
n
t
ˆ ,b
ty t
t 2
3636 ˆ a 404 9 2092 ˆ b 34.87 60
124.56
261.84 829.44
0.4194 0.8388 300.39
0.7863 2.3589 334.99 2.048 10.24 404.20
484.996 1.3108 5.2432 369.60 1360.89 3.072 6 18.432 438.80
1984 7
1985 8 1986 9
ˆt 404 34.87t y
2 折扣最小平方法
折扣最小平方法: 对误差平方进行指数折扣加权后, 是其总和达到最小的方法.
Q
t 1
n
n t
ˆ t ) min ( yt y
2
为折扣系数, 0<α <1
Q Q 0, 0 a b

t 1 n
n
n t
yt
t 1 n
n
n t
b
t 1 n
n
n t
t t

t 1
n t
tyt
t 1
n t
ห้องสมุดไป่ตู้
t b
t 1
n t 2
年 t 份
1978 1 1979 2 1980 3 1981 4 1982 5 1983 6
yt
265
N-t
8
n t

nt
yt
nt ty