线性矩阵不等式1

C 1 1 C 2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X11 X T X12 X12 X 22
其中
X 11
为方阵，则以下三个条件是等价的：
AT P PA+ C TC T B P PB 0 I
A B B A
复矩阵不等式的表示
M 0 A B B A 0
非严格线性矩阵不等式
F 0 F 0
严格线性矩阵不等式
非严格线性矩阵不等式
X F 0 0 0 X 0 X
通常情况下，可将非严格线性矩阵不等式当成严格 线性矩阵不等式处理。但一定要视具体情况而定， 并不总是正确的。
主要内容
线性矩阵不等式概论 鲁棒H∞控制 区域极点配置 保性能控制 时滞系统的分析与综合 鲁棒跟踪问题 Matlab的LMI工具箱介绍
线性矩阵不等式概论
Riccati方程存在的问题
需要设计者事先确定一些待定参数。参数的选择不
仅影响到结论的好坏，而且还影响到问题的可解性。
题的LMI工具箱，进一步推动了LMI的飞速发展。
任一可行解均可得到一个控制器，方便实用。
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合 C R k 称为凸的，如果集合中任意两点
的连线仍在集合内。
1 2 即任意给定两点 C 和 C C 及参数 [0,1],
有
C 1 C C
1 2
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
AT P PA Q PB 0 T B P R
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
复线性矩阵不等式的处理
复变量实矩阵的映射
a jb
复矩阵实矩阵的映射
M A jB
a b b a
a)
b) c)
X 0
T 1 X11 X12 0 X11 0 ，且 X 22 X12
1 T X 22 0 ，且 X11 X12 X 22 X12 0
。
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立 AT P PA PBR1BT P Q 0
S-procedure（S-过程）
存在对称矩阵P>0,使得对满足πTπ ξTCTCξ的所有 ξ 0和π，若要 T AT P PA PB 0 T 0 B P 成立，当且仅当存在标量τ>0和对称矩阵P>0,使得
现有的Riccati方程处理方法中，缺乏寻找参数最佳
值的方法，参数的人为确定给分析和综合结果带来了 很大的保守性。
Riccati矩阵方程本身的求解也存在一定的问题，比
如用于迭代求解时，收敛性无法保证。
线性矩阵不等式的引入
基于凸优化内点法，可应用于系统和控制的各个领
域。
1995年，MATபைடு நூலகம்AB推出了求解线性矩阵不等式问
X A BK T A BK X 2YY T XC T 0 CX I
记 V X ,W KV
存在标量ε>0，对称矩阵V>0,矩阵W,使得
VAT + W T B T + AV + BW 2YY T VC T 0 CV I
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数 的不等式优化问题
关于矩阵不等式的一些结论
矩阵变量的替换法 存在标量ε>0，对称矩阵X>0,矩阵K,使得