线性矩阵不等式1
不等式证明与矩阵构造
不等式证明与矩阵构造
线性不等式是一种以等式表达和数学运算操作处理有关限制条件问题的常用的数学方法，它可以用于解决多种应用问题。
本文将结合矩阵构造，介绍线性不等式的证明方法：
一、矩阵构造
1、方程组矩阵构造：矩阵构造是线性不等式证明的基础，即把一组不等式表示为矩阵形式，并根据不等式的不同类别和相互关系，将矩阵构建成符合要求的方式，以便进行证明。
2、矩阵转置：在矩阵构造的基础上，可以对不等式转置（即空间坐标系的变换），当不等式的式子含有负号时，我们可以通过转置将正负号转换，以此来解决等式或不等式的体系。
二、矩阵证明
1、比较矩阵：矩阵证明法是线性不等式最常用的一种证明方法，它具有明确性和方便性。
主要是比较矩阵或变量中任意数字的大小，从而分析两者不等式结果的偏差，以确定不等式判定结果。
2、矩阵替换：另一种常见的矩阵证明法是将不等式中表达式以及相关
数据抽象出来，并将其体现在另一个矩阵模型中，然后对另一个矩阵
模型进行评价，以获得最终的判断结果。
三、矩阵总结
1、方程式解析：通过构建符合线性不等式条件的方程，并分析一组线
性方程是否具有解，如果有解，则证明这组不等式结果正确；
2、证明正确性：当解出每一条不等式的结果后，分别对它们进行证明，通过这组数据进行计算出所有不等式的结果，根据结果分析该组不等
式是不是正确的。
总结：线性不等式的证明主要是结合方程组矩阵构造、矩阵转置、比
较矩阵、矩阵替换方法，从而使线性不等式结果正确。
因此，我们可
以从更宽阔的角度出发，运用数学解决复杂的问题和实际应用。
应用线性矩阵不等式解决时滞系统控制问题
（ Ｎｏ ．９ １ ５ ５ ０ Ｔｒ ｏ ｏ ｐ ｓ ｏ ｆ Ｐ ＬＡ ，Ｄａ ｌ ｉ ａ ｎ １ １ ６ ０ ２ ３ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ．ｈ ｏ ｗ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ Ｈ。 。ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｉ ｎ ａ ｋ ｉ ｎ ｄ ｏ ｆ ｔ ｉ ｍｅ － ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｉ ｎ ｅ — ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ （ ＬＭ Ｉ ）ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ．Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｌｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ，ｗｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ Ｈｏ ｏ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｔｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ
Ｔ Ｐ ３ ９ １ Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ １ ６ ７ ２ — ９ ７ ２ ２ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ３ ． ０ ２ ０
中 图分 类 号
Ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ Ｃｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ Ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｉ ｎ Ｔｉ ｍｅ － ｄ ｅ ｌ ａ ｙ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ Ｌ ＭＩ
的重视 ， 已 成 为 系 统 与 控 制 领 域 的 一 大 热 点 问 题ｒ １ ］ 。本 文介 绍 了一 类 滞 后 型 离 散 时 滞 系 统 的
小 于零 。若下 式成 立
Ｌ（ ｚ） 一 Ｌｏ ＋ １ Ｌ１ ＋…＋ｘ Ｎ ＬⅣ ０
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
用线性矩阵不等式方法求解控制理论问题_张怡
（ａ）包覆不完全
（ｂ）形成间隙
图 １ 粘结剂对炸药的润湿状况
（２）对于水悬浮法，造粒过程有水存在，此时发生 自动铺展的条件为：△Ｇ＝ γＥＢ＋ γＢＷ－ γＥＷ＜ ０。 式中：γＥＢ、γＢＷ、γＥＷ 分别为炸药－ 粘结剂、粘结剂－ 水、炸 药－ 水界面张力。如果粘结剂满足在空气中能够完全 润湿炸药的条件，则上式可整理为：
－ １／２ － １／２
其中，λｍａｘ （Ｘ，Ｙ） 表示矩阵Ｙ ＸＹ 的最大特征值。
ＧＥＶＰ是半凸（ｑｕａｓｉｃｏｎｖｅｘ） 优化问题。
－１
（４）凸问题 （ＣＰ）：ｍｉｎｌｏｄｅｔ Ａ（Ｘ） ， ｓ．ｔ Ａ（Ｘ） ＞ ０，
Ｂ（Ｘ） ＞ ０。
（９）
这里Ａ、Ｂ是仿射依赖于变量Ｘ的对称矩阵，注意当Ａ＞０
－１
等式问题。
在非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的许
多问题中，常常用到矩阵的Ｓｃｈｕｒ补性质定理。
# $ 定理（Ｓｃｈｕｒ补）线性矩阵不等式：
Ｑ（Ｘ） Ｓ（Ｔ Ｘ）
Ｓ（Ｘ） Ｒ（Ｘ）
（３）
其中Ｑ（Ｘ）＝Ｑ（Ｘ）Ｔ，Ｒ（Ｘ）＝Ｒ（Ｘ）Ｔ，Ｓ（Ｘ）是等价于非线性矩阵
不等式： Ｒ（Ｘ） ＞ ０，Ｑ（Ｘ）－ Ｓ（Ｘ）Ｒ（Ｘ）－１Ｓ（Ｘ）Ｔ＞ ０。 （４）
该步骤，直至收敛到问题的最优解。该算法虽简单，但
ห้องสมุดไป่ตู้
效率不高，仅适用于较小规模问题。
１９８８年，Ｎｅｓｔｅｒｏｖ和Ｎｅｍｉｒｏｖｓｋｉｉ提出了内点法，用
来求解具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，取得
了良好的效果。其基本思想是：运用约束集定义一个
凸的障碍函数，将其附加到原问题的目标函数中，以
一个无约束优化问题代替原有的约束优化问题，运用
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
【江苏省自然科学基金】_线性矩阵不等式(lmi)_期刊发文热词逐年推荐_20140820
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 网络控制系统 马尔可夫跳变 量化 脉冲 耦合神经网络 线性矩阵不等式 稳定性 混合时滞 时变时延 故障诊断 广义系统 凸性 全局渐近同步 kalman滤波器 h∞滤波器
推荐指数 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 线性矩阵不等式 测量数据丢失 大系统 h∞控制 鲁棒稳定性 脉冲 耦合神经网络 时延导数相关 变时滞 反应扩散项 全局渐 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
推荐指数 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 线性矩阵不等式 lmi 鲁棒控制器 鲁棒 非线性切换系统 静态输出反馈控制器 随机中立型 附加力增益因子 观测器 脉冲时滞系统 网络拥寒控制 线性矩阵不等式(lmi) 状态反馈 指数镇定 广义h2控制 平均驻留时间 基准结构 均方渐近稳定 主动队列管理 h∞控制
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 鲁棒随机稳定 马尔可夫过程 非线性网络控制系统 锥补 量化 耗散控制 线性矩阵不等式 系统辨识 混沌 同步
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 科研热词 间歇过程 线性矩阵不等式(lmi) 线性矩阵不等式 二次型迭代学习控制 主动队列管理 tcp流模型 s-procedure h∞控制 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
线性矩阵不等式1ppt课件
F(x) 0 H (x) 0
9
系统性能分析
10
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
sup size(z) w0 size(w)
11
L2范数
• 对于平方可积的信号 f ，定义
min
s.t. PA AT P CTC 0
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
15
定理2---EP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
8
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
• EP(Energy-to-Peak)增益：
ep sup
z
w 2 1
•ห้องสมุดไป่ตู้
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
14
定理1---IE
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
线性矩阵不等式的LMI工具箱求解
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]1122331000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：TA P +P A =Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：TA P +P A <0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin 大于0时，表明LMI 系统不可行，P 阵无解，系统不稳定，tmin 小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：m in ().. 0TTT ra c e X s t A X X A X B B X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECV ARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
LMI(线性矩阵不等式)工具箱介绍学习
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
【国家自然科学基金】_线性离散切换系统_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
科研热词 推荐指数 线性矩阵不等式 4 切换系统 3 非线性准滑模面 2 离散时间系统 2 时滞 2 时变时滞 2 准滑模变结构控制 2 鲁棒性 1 非线性 1 非均匀采样 1 非二次lyapunov函数 1 迭代学习控制 1 自适应控制 1 聚类 1 网络控制系统(ncs) 1 线性矩阵不等式(lmi) 1 线性 1 离散系统 1 离散时间霍普菲尔德神经网络 1 离散时间 1 离散切换系统 1 电动舵机 1 状态反馈 1 滤波 1 滑模控制 1 渐近稳定 1 有限时间稳定 1 时间间隔 1 时间序列 1 无穷分布时滞 1 无源控制 1 方向导数 1 收敛条件 1 指数稳定性分析 1 平均驻留时间方法 1 平均驻留时间 1 多模型 1 向量方法 1 参数不确定性 1 切换模糊系统 1 切换广义系统 1 tracking 1 switched systems 1 lyapunov函数 1 iterative learning control(ilc) 1 h∞控制 1 h2控制 1 c系统 1 convergence 1 arbitrary switching signals 1
科研热词 推荐指数 切换系统 3 线性矩阵不等式 2 鲁棒控制 1 非线性项 1 非线性系统 1 随机系统 1 耦合广义lyapunov方程 1 网络控制系统 1 线性 1 稳定性 1 稳定化 1 离散广义混杂系统 1 离散 1 时间延迟 1 时滞 1 指数稳定性 1 执行器失效 1 平均 1 容错控制 1 多模型 1 切换线性余正lyapunov泛函 1 切换正系统 1 切换 1 共同线性余正lyapunov泛函 1 全局渐近稳定性 1 停留 1 不稳定零动态 1 h2/h∞ 1 anfis 1
LMI线性矩阵不等式培训讲学
(5)
其中，Xi
∈
Rqi×pi
是一个矩阵，而∑n i=1
qi
×
pi
=
m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。
于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
4
∑n
= F0 + GiXiHi
7
找P > 0，使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满
足该问题的任意的P > 0，明显地集合
P
=
{
βP
:
标量β
>
}
0
(15)
中任意矩阵都满足上述问题。
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
AT P + P A 0 < 0
9
%可行 ( 是稳定的A) 当且仅当 tmin<0
tmin
运行结果：
Lyap = 1
Solver for LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x ) 10
This solver minimizes t subject to L( x ) < R( x ) + t∗I
The best value o f t should be negative for f e a s i b i l i t y
Iteration :
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB求解
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB 求解©
作者：dynamic
Sky 时间：2008.12.10
版权：All Rights Reserved By
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b 一、LMI 工具箱概述 ..................................................................................................................................................6 a 1.系统描述 ...........................................................................................................................................................6
对lmi变量的操作dec2matmat2dec将求解器的输出转化为矩阵变量值通过给定的矩阵变量值返回决策向量3lmifeaspmincxdefcxgevpevallmishowlmidellmidelmvarsetmvarma4lmi结果验证与修改5lmi系统信息的提取decinfodecnbrlmiinfolminbrmntnbr以决策变量的形式表示每个输入的矩阵变量得到决策变量的个数查询现存lmi系统的信息得到问题中lmi的个数得到问题中矩阵变量的个数tlab验证lmi的可行性lmi限制下线性目标的极小值在mincx命令中第一ctx目标lmi限制下的广义特征值最小化由决策变量的给定值来验证所有的变量项返回一个已经评估的lmi的左右边从系统中删除一个lmi从问题中移除一个矩阵变量将一个矩阵变量赋予指定值ky三lmi工具箱函数详解1
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用(1)
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
矩阵哈达玛不等式
矩阵哈达玛不等式矩阵哈达玛不等式是线性代数中一个重要的不等式。
它与矩阵的秩有关，被广泛应用于多个领域，如信号处理、图论、优化问题等。
矩阵哈达玛不等式的表述非常简洁，但其中蕴含着许多深入的数学内涵。
为了更好地理解矩阵哈达玛不等式，我们首先需要了解矩阵的哈达玛积。
设A和B都是n阶矩阵，它们的哈达玛积记作A∘B，定义为将A和B对应位置的元素分别相乘得到的矩阵。
即(A∘B)ij = Aij * Bij，其中1≤i,j≤n。
下面我们来详细介绍矩阵哈达玛不等式的定义和性质。
一、矩阵哈达玛不等式的定义矩阵哈达玛不等式定义如下：对于任意的n阶矩阵A和B，有|A∘B| ≤ |A|∘|B|，其中|A|和|B|分别表示A和B的绝对值矩阵，即将A和B对应位置的元素取绝对值得到的矩阵。
二、矩阵哈达玛不等式的性质1. 可加性：若A和B是n阶矩阵，则有|A + B| ≤ |A| + |B|。
这个性质表明，矩阵的绝对值的和不大于其绝对值之和。
2. 数乘性：若A是n阶矩阵，k是实数，则有|kA| = |k| |A|。
这个性质表明，常数乘以矩阵的绝对值等于该常数的绝对值乘以矩阵的绝对值。
3. 乘法封闭性：设A和B是n阶矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。
这个性质表明，两个矩阵的哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。
根据这些性质，我们可以推导出一些重要的结论：1. 若A和B都是n阶矩阵且满足A ≤ B，则有|A| ≤ |B|。
这个结论表明，在矩阵的部分序关系下，绝对值的大小保持了原来矩阵的次序关系。
2. 若A是n阶矩阵，k是正实数，则有|kA| = k|A|。
这个结论表明，正实数乘以矩阵的绝对值等于该正实数乘以矩阵的绝对值。
3. 若A和B都是n阶非负矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。
这个结论表明，在非负矩阵的情况下，哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。
总结起来，矩阵哈达玛不等式告诉我们，在矩阵的绝对值运算下，矩阵的加法、数乘和哈达玛积等运算与绝对值运算具有相似的性质。
线性矩阵不等式课件
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
系统性能分析
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s) 2 ie ep
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
f 2 也称为信号 f 的 L2 范数
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f (t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L { f : f (t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系
•增益 ee有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T(s) 范数H，即
ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
【计算机应用研究】_线性矩阵不等式_期刊发文热词逐年推荐_20140722
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2011年 科研热词 线性矩阵不等式 鲁棒故障诊断 非线性优化问题 车窗防夹 纯电动轿车 状态反馈 牛顿法 广义lagrange乘子法 并行算法 奇异系统 切换系统 h∞控制 h_/h∞ 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 线性矩阵不等式 长网络诱导时延 网络服务质量 网络控制系统 网络化控制系统 李亚普诺夫方法 控制性能质量 指数稳定 异步动态系统 不确定性 h∞保性能控制
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 线性矩阵不等式 鲁棒h∞控制 绝对稳定 线性矩阵不等式(lmis) 神经网络 状态反馈控制 有记忆状态反馈 时滞系统 时滞广义系统 时滞 无源 执行器失效 容错控制 不确定lurie时滞系统 lyapunov泛函
2008年 序号 1 2 3 4 5 6
科研热词 线性矩阵不等式 状态时滞 状态反馈 奇异系统 切换系统 h∞控制
推荐指数 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 棒稳定性 鲁棒控制 随机神经网络 细胞神经网络 线性切换时滞系统 混合h2/h∞控制 故障检测 指数稳定 差分进化算法 多面体不确定性 多目标优化 周期解 切换规则 分段李雅普诺夫泛函 分布时滞 分块矩阵 不确定性 h∞滤波
2014年 科研热词 推荐指数 线性矩阵不等式 3 鲁棒性 2 时滞 2 不确定时延 2 lyapunov函数 2 连续系统 1 稳定性 1 李雅普诺夫泛函 1 基因调控网络 1 凸多面体方法 1 全局渐进稳定性 1 ▾h▿▼∞▽鲁棒控制器 1 h∞鲁棒控制器 1
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a)
b) c)
X 0
T 1 X11 X12 0 X11 0 ，且 X 22 X12
1 T X 22 0 ，且 X11 X12 X 22 X12 0
。
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立 AT P PA PBR1BT P Q 0
现有的Riccati方程处理方法中，缺乏寻找参数最佳
值的方法，参数的人为确定给分析和综合结果带来了 很大的保守性。
Riccati矩阵方程本身的求解也存在一定的问题，比
如用于迭代求解时，收敛性无法保证。
线性矩阵不等式的引入
基于凸优化内点法，可应用于系统和控制的各个领
域。
1995年，MATLAB推出了求解线性矩阵不等式问
题的LMI工具箱，进一步推动了LMI的飞速发展。
任一可行解均可得到一个控制器，方便实用。
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合 C R k 称为凸的，如果集合中任两点 C 和 C C 及参数 [0,1],
有
C 1 C C
1 2
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数 的不等式优化问题
关于矩阵不等式的一些结论
矩阵变量的替换法 存在标量ε>0，对称矩阵X>0,矩阵K,使得
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
AT P PA Q PB 0 T B P R
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
复线性矩阵不等式的处理
复变量实矩阵的映射
a jb
复矩阵实矩阵的映射
M A jB
a b b a
AT P PA+ C TC T B P PB 0 I
C 1 1 C 2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X11 X T X12 X12 X 22
其中
X 11
为方阵，则以下三个条件是等价的：
S-procedure（S-过程）
存在对称矩阵P>0,使得对满足πTπ ξTCTCξ的所有 ξ 0和π，若要 T AT P PA PB 0 T 0 B P 成立，当且仅当存在标量τ>0和对称矩阵P>0,使得
X A BK T A BK X 2YY T XC T 0 CX I
记 V X ,W KV
存在标量ε>0，对称矩阵V>0,矩阵W,使得
VAT + W T B T + AV + BW 2YY T VC T 0 CV I
A B B A
复矩阵不等式的表示
M 0 A B B A 0
非严格线性矩阵不等式
F 0 F 0
严格线性矩阵不等式
非严格线性矩阵不等式
X F 0 0 0 X 0 X
通常情况下，可将非严格线性矩阵不等式当成严格 线性矩阵不等式处理。但一定要视具体情况而定， 并不总是正确的。
主要内容
线性矩阵不等式概论 鲁棒H∞控制 区域极点配置 保性能控制 时滞系统的分析与综合 鲁棒跟踪问题 Matlab的LMI工具箱介绍
线性矩阵不等式概论
Riccati方程存在的问题
需要设计者事先确定一些待定参数。参数的选择不
仅影响到结论的好坏，而且还影响到问题的可解性。