双曲线的第二定义5课件

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第三讲---双曲线的第二定义

第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义知识梳理(一)双曲线的第二定义:平面内一动点 的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点,定直线 L 是双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率。

(二)焦点三角形的面积公式。

S1  r1r2 sin   b 2 tan 2 23.双曲线的方程,图形,渐进线方程,准线方程和焦半径公式: 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a yy 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a典例分析 题型一:与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ,则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2   1 的离心率为 2,则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习:已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ,两条准线间的距离为 解:双曲线渐进线方程为 y  16 13 ,求双曲线的标准方程。

133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2    (   0 )在分   0 时   4 和   0 时。

4 9题型二:双曲线第二定义及其运用 例 2:设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。

求动点的轨迹方程。

练习:已知双曲线x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ,点 P 是左支上的一点,P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ,若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线,则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由。

高考数学复习全套课件 第八章 第二节 双曲线

高考数学复习全套课件 第八章  第二节  双曲线

[思考探究1]
在双曲线的第一定义中,如果常数2a=
|F1F2|,2a>|F1F2|,2a=0时,则动点M的轨迹是什么? 提示:如果2a=|F1F2|,则M的轨迹是以F1,F2为端点的 两条射线;如果2a>|F1F2|,则轨迹不存在;如果2a=0,
则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准
∴x0=a·
解得1-
≥a.∴e2-2e-1≤0,
≤e≤1+ ,又∵e>1,∴1<e≤1+
答案:C
3.双曲线
-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线
上,且满足|PF1|+|PF2|=2
,则△PF1F2的面积为
( )
A.1 C.2
B. D.4
解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一:∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y
=0,当x=4时,y=2<yp=3. ∴双曲线的焦点在y轴上.从而有 设双曲线方程为 ∴ ,∴b=2a.
=1,由于点P(4,3)在此双曲线上, =1.
=1,解得a2=5.∴双曲线方程为
法二:∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0, 即 -y=0, -y2=0.
∴|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|,
∴λ= 答案:B
1.(2010· 合肥摸拟)已知双曲线
=1(a>0,b>0)的
一条渐近线的方程为4x-3y=0,则此双曲线的离心率 为 A. B. ( )
C.
D.
解析:因为双曲线
=1的一条渐近线的方程为
4x-3y=0,所以

人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义

人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义

(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
例1 点 M (x,y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线l : x a2 的 c
距离的比是常数 c (c a 0),求点M的轨迹 .
a
解:设 d是点M到直线 l的距离,则
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义:
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e c (e 1),则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线,常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2

y2 b2
1,
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c,0),对应的右准线方程是
x

a2 c
.
左焦点F1(c,0)对应的左准线方程是
x


a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是:y a2 c
例2 已知双曲线 x2 - y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F(1 c,0)F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点,求证:| PF1 | a ex0 ,
| PF2
| a ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明:双曲线的左准线为x a2
P.
c
由整双理曲得线:的| P第F1二|定ex义0 得a:x|0PF1ac|2

双曲线的第二定义

双曲线的第二定义
| PF 1 |min c a
说明:|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4:已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8, 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解: a 8 , b 6, c a 2+b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 : 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 : | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习:
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ,则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义:
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
5
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为3 ;ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
(D)
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件,求双曲线方程:
(1)双曲线 x
2
9

y2
1 有共同渐近线,且过点 ( 3, 2 3) ;
16
(2)与双曲线 x
2
16

y2
1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养:数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2

2
2
2

=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为

第2讲双曲线课件理课件.ppt

第2讲双曲线课件理课件.ppt

【互动探究】
1.设双曲线1x62-9y2=1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15,则 P 点到(-5,0)的距离是( D )
A.7 B.23 C.5 或 23 D.7 或 23 解析:容易知道(5,0)与(-5,0)是给出双曲线的焦点,P 是双 曲线上的点,直接从定义入手.设所求的距离为 d,则由双曲线 的定义可得:|d-15|=2a=8⇒d=7 或 23.
AB 的方程为 y=x+1,
因此 M 点的坐标为12,23, F→M=-32,32. 同理可得F→N=-32,-32. 因此F→M·F→N=-322+32×-32=0 综上F→M·F→N=0,即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究;
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键.
错源:没有考虑根的判别式 例 5:已知双曲线 x2-y22=1,问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在求 出直线 l 的方程,若不存在请说明理由.
误解分析:没有考虑根的判别式,导致出错.
y2 9
Hale Waihona Puke -2x72 =1D.以上都不对
3.已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的离心率为 26,则双曲 线的渐近线方程为( C )
A.y=±2x B.y=± 2x
C.y=±
2 2x
D.y=±12x
4.已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x
+2y=0,则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解:设符合题意的直线 l 存在,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

双曲线第二定义课件

双曲线第二定义课件
常数称为双曲l的距离之比等于常数e( e>1)的点的轨迹称为双曲线。定点F称为双曲线的焦点,定 直线l称为双曲线的准线,常数e称为离心率。
离心率e反映了双曲线的离心率与椭圆的离心率之间的区别。
双曲线的标准方程
01
双曲线的一般方程为:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)
焦点性质
双曲线的焦点位置决定了 双曲线的开口方向和大小 ,同时影响着双曲线的几 何形状和性质。
03
CATALOGUE
双曲线的几何性质
面积与周长
面积
双曲线的面积可以通过其与两条直线的交点以及原点来计算。具体公式为:$S = frac{1}{2} times |AB| times d$,其中$AB$是双曲线的弦,$d$是原点到直 线的距离。
切线性质
切线方程
对于双曲线上的任意一点,其切线方程可以通过求导得到。对于一般的双曲线方 程$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$,其切线方程为:$y = mx pm frac{b^2}{a}$。
切线斜率
对于双曲线上的任意一点,其切线的斜率等于该点处的导数。
04
粒子加速器和核聚变研究
双曲线在粒子加速器和核聚变研究中也有应用,例如在粒子加速器中,双曲线结构可以用来控制粒子的运动轨迹 。
在工程学中的应用
建筑设计
双曲线结构在建筑设计中被广泛应用 ,如穹顶、桥梁等,因为其具有优异 的力学性能和美学价值。
航空航天工程
在航空航天工程中,双曲线结构被用 于制造飞机和火箭的机身和发动机部 件,因为其具有轻质、高强度的特点 。
双曲线第二定义课 件
目录
• 双曲线的定义 • 双曲线的性质 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识

双曲线第二定义ppt课件

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25 B
2
图2.2 8
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0,
令点C的坐标为13, y,
则点B的坐标为25, y 55.
因为点B,C 在双曲线上,所以
y
252 122
y 552
b2
1,1
132 122
y2 b2
1.
2
C` 13 C
12
x
A` O A
由方程2,
得y
5b 12
负值舍去,
代入方程1,
点M (4, 3) ,求双曲线方程。 法二:巧设方程,运用待定系数法.
解2:双曲线的渐近线方程为x 2 y 0
可设所求双曲线的方程为x2 4 y2 ( 0).
双曲线过点M (4, 3)
42 4( 3 )2 .
4
所求双曲线方程为x2-4y2=4.
变式 1:求与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线,且过点 N(4, 5 ) 4
a2 y
c
y
F
a2
y
cx
o
a2 y
c
F′
15
巩固练习
x2 y2
如果双曲线 13 12 =1 上一点P到右焦点的距离
为 13 ,那么点P到右准线的距离是(A )
A. 13 B.13
C.5
D. 5
5
13
. 变式1:点P到左准线的距离多少? 39 5
F1
o
.P
F2
变式2:若|PF2|=3 13 , 则点P到左准
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
25 B
解 如图2.2 82,建立直

双曲线的第二定义课件

双曲线的第二定义课件
F2 x
MF 1
x 0
a2 c
e
M Faex
1
0
x a2 c
x a2
同理 MF aex
2
0
c
左加右减,下加上减(带绝对值号)
双曲线的第二定义
焦半径公式:
(一)M1位于双曲线右支
y
M2(x2,y2)
|M1F1|ae
x
1
M1(x1,y1) |M1F2|ae1x
F1
O
(二)M2位于双曲线左支
F2 x |M2F1|ae2x
直线 轨迹.
l:x= 1
6 5
的距离的比是常数 5 4
求:点M的
x2 - y2 = 1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
双曲线的第二定义
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
直线l: x = a 2
c
的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),
求:点M的轨迹.
+3 5
MF
的值最小,并求这个最小值
d min
36 5
M(3 5 ,2) 2
双曲线的第二定义
练习
已 知 点 A(3,2), F(2,0), 在 双 曲 线 x2y 32=1?
上 求 一 点 P, 使 | PA | + 2 1| PF| 的 值 最 小 .
d min
=
3 2
p ( 2 1 ,2 ) 3
双曲线的第二定义
解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨
迹就是集合 P ={M||MF|= c}
da
由此可得: (x c)2 y2 c

3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(4)

3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(4)

设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).
因为直径AA′是实轴,∴a=12. 又B,C两点都在双曲线上,所以 252 ( y 55)2
解方程,得b≈25(负值舍去)
因此所求双曲线的方程为 x 2 y 2 1 144 625
3
2

消去y得,3x2-24x+36+λ=0,
d 1 12
242 12(36 ) 8 3
3
3
双曲线方程为 x2 y2 1 4
随堂练习
5、双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则
直线PF的斜率的变化范围是_(_-_∞_,___0_)∪___(1__,__+_ ∞)
双曲线 y2 a2
x2 b2
1中:
上焦点F2 (0,c),对应的上准线方程是y
a2 c
下焦点F1 (0,
c),对应的下准线方程是y
a2 c
y
F1 o F2
a2 y
cx
a2 y
c
2、直线与双曲线的位置关系 1、复习:椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
⇕ ∆<0 判断方法: (1)联立方程组 (2)消去一个未知数
3、两条;
4、D(0,0).
4、零条.
答案又是怎样的?
例题解析
直线与双曲线问题:
3、过双曲线 ,求|AB|。
x2 3
y2 6
1的右焦点F2倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点
分析:求弦长问题有两种方法:
法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;

双曲线的定义及标准方程课件[可修改版ppt]

双曲线的定义及标准方程课件[可修改版ppt]

F1
F2
4、若常数2a>| F1F2 |
轨迹不存在
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴,线
段如F1何F2求的这中优点美o为的原曲点线建的立方直程角?
坐标系
2.设点.设M(x , y),双曲线的焦
yy
M
距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a
FF1 1 O o FF22 xx
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5:2-42=3x22 42
y2 32
1
双曲线及标准方程
例1:已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距 离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
变式一:若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5) ,则轨迹如何?
迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF 1 | - |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2 | )
2、|MF2 | - | MF 1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及 标准方程课件
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段F1F2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程?
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c
距 离 的 比 是 常 数c(ca0), 求 点 M 的 轨 迹.
a
解:设 d 是 点 M 到 直 线 l的 距 离 , 则
yl
|
MF| d
c a

(xc)2 y2 | x a2 |
c. a
. O
d.M
.
F
x
c
化简 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ).
设c2a2 b2,则 方程化ax22为 by22 1(a0,b0)
|P2F|aex0 其 中 e 为 双 曲 线 的 离 心 率 .
证明:双曲线的左准x线 为 a2 c
l' y
l
P.
由整 双曲线理 :的P |第1二F |得 定a 义e得0 :xx|(0PP F|1ac1 |2F |m i acnac)
.
F1
O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得 :|P2|F |P1|F 2 a a e0x
l' y
定值是离心率.(定点不在定直线上)
l
d.M
双曲线x2 a2
by22
1中:
.
F’ O
右焦点F2(c, 0),对应的右准线方程是xac2 ; 左焦F1点 (c, 0)对应的左准线 x方 ac2程 . 是
双曲线的第二定义5
.x
F
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y
x a2 aa a
c
c
F1 A1
双曲线的第二定义5
2.已 知 双 曲 线 方 程 为 x921y621的 右 焦 点 为 F2,M是 双 曲 线
右 支 上 一 点 , 定 点 A(9,2),求 |M A|5 3|M F2|y的 最 小 值 。
解:由双曲线第二定义 得:
M.
| MF2 | e,(d为M到右准线的).距离 . •A
d
由双曲线的第二定义得
b 1
| PM|| PF2 | 2 3 3 e2 3 双曲线的第二定义5
c2
e 2 3
例2、已知双 a x2 2- 曲 by22线 1(a0,b0)的焦 F ( 1 点 c,0) F2(c,0),
P(x0,y0)是双曲线右, 支求 上 |证 P任 F1|: a意 e点 x0,
c2 a2
a2
b2
3
4 3
c
Hale Waihona Puke 6令3y2-x2=0 得渐近线方程是: y 3 x
双曲线的第二定义5
3
2、若双曲线
x2 3
y 2= 1
右支上一点P到左
焦点的距离为4 3 ,则P到右准线的距离
为___3____.
y
Mp 解:由双曲线的第一定义得
|PF1|-|PF2|=2a
F1 0
F2 x
|P F 2| |P F 1| 2 a 43 23 23 a 3
双曲线的第二定义5
思考题:在学习椭圆的知识时,曾解决 过这样一个问题:已知点A(1,2)在椭 圆 x2 y2 1内部,F(2,0)是椭圆的一 个焦16 点1,2 在椭圆上求一点P,求 |PA|+2|PF|的最小值,这是用椭圆的第 二定义求解的一个问题,请仿照此题, 设计一个用双曲线的第二定义求解的 问题,并给出解答。
x a2 c
O A2 F2 x
准线方程:xa2 c
两条准线比双曲 线的顶点更接近 中心
x a2 c
双曲线的第二定义5
练1、习3:y2-x2=1的准线方程是__y_______63__,
渐近线方程是____y_______3__x__.
3y2-x2=1
y 2
x2
3
1
1
3
a2
1 3
b2 1
准线方程是: y
双曲线的第二定义5
学习目标
知识与技能目标
掌握双曲线第二定义和准线的概念,并会简单的应用
能力目标:
培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意 识。
情感目标:
遵循事物的认知规律和事物之间相互对立统一普遍联 系的唯物主义观点
双曲线的第二定义5
学习重难点
学习重点
双曲线的第二定义
学习难点
双曲线的第二定义及应用
双曲线的第二定义5
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
x a 或 x a , y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1(a0,b0)
a2 b2 y a 或 y a , x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1(- a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
离心率
ec (e1) a
ec (e1) a
渐进线
y b x a
双曲线的第二定义5
y a x b
例1、点M(x, y)与 定 点 F(c, 0)的 距 离 和 它 到 定 直 线 l:xa2 的
(P | 2F |mi nca)
说明:|PF1|, |PF2|称为双曲线双的曲线焦的第半二定径义5 .
焦半径公式:
y
M2(x2, y2)
(一)M1位于双曲线右支
M1(x1, y1)
|M1F1|ex1a
|M1F2|ex1a
F1
O
F2 x (二)M2位于双曲线左支
|M2F1|ex2a
|M2F2|ex2a
思考:焦点在y轴上呢? (x, y 互换) 双曲线的第二定义5
练习
1.求证:等轴双曲线上任意一点到对称
中心的距离是它到两焦点的比例中项。
y
p(x0, y0 )
|PO|2|PF1|•|PF2|
F1
O
F2 x
双曲线的第二定义5
证 明 : 不 防 设 P ( x 0 ,y 0 ) 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 , |OP|2x02y02
点M的轨迹是实轴 分、 别2a 虚 为 、 2b轴 的长 双曲 . 线 双曲线的第二定义5
双曲线的第二定义:
动 点 M 与 一 个 定 点 F 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 l的 距 离 的 比
是 常 数 ec(e 1 ), 则 这 个 点 的 轨 迹 是 双 曲 线 . a
“三定”: 定点是焦点;定直线是准线;
由 焦 半 经 公 式 得 |P 1 ||P F 2 | ( F e 0 x a ) ( e 0 x a ) e 2 x 0 2 a 2
又 由 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 ,
|P 1 |F |P 2| F e 2 x 0 2 a 2 x 0 2 y 0 2 |O |2P
命题即得证
F1 O
F2
x
即|
MF2
|
5d 3
|M|A 5 3|M2F ||M|A d
a2 9 36 (M | | A d)minxAc955
双曲线的第二定义5
x2 a2
y2 b2
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