双曲线的第二定义5课件
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第三讲---双曲线的第二定义
第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。
（二）焦点三角形的面积公式。
S1 r1r2 sin b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a yy 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y 16 13 ，求双曲线的标准方程。
133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2 （ 0 ）在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
高考数学复习全套课件 第八章 第二节 双曲线
[思考探究1]
在双曲线的第一定义中，如果常数2a＝
|F1F2|,2a>|F1F2|，2a＝0时，则动点M的轨迹是什么？ 提示：如果2a＝|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的 两条射线；如果2a>|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a＝0，
则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准
∴x0＝a·
解得1－
≥a.∴e2－2e－1≤0，
≤e≤1＋ ，又∵e>1，∴1<e≤1＋
答案：C
3．双曲线
－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线
上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2
，则△PF1F2的面积为
( )
A．1 C．2
B. D．4
解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y
＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3. ∴双曲线的焦点在y轴上．从而有 设双曲线方程为 ∴ ，∴b＝2a.
＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上， ＝1.
＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为
法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0， 即 －y＝0， －y2＝0.
∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
∴λ＝ 答案：B
1．(2010· 合肥摸拟)已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的
一条渐近线的方程为4x－3y＝0，则此双曲线的离心率 为 A. B. ( )
C.
D.
解析：因为双曲线
＝1的一条渐近线的方程为
4x－3y＝0，所以
人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
例1 点 M (x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线l : x a2 的 c
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 .
a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线，常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1，
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
.
左焦点F1(c，0)对应的左准线方程是
x
a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是：y a2 c
例2 已知双曲线 x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2
| a ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明：双曲线的左准线为x a2
P.
c
由整双理曲得线:的| P第F1二|定ex义0 得a：x|0PF1ac|2
双曲线的第二定义
| PF 1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
第2讲双曲线课件理课件.ppt
【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
双曲线第二定义课件
常数称为双曲l的距离之比等于常数e（ e>1）的点的轨迹称为双曲线。定点F称为双曲线的焦点，定 直线l称为双曲线的准线，常数e称为离心率。
离心率e反映了双曲线的离心率与椭圆的离心率之间的区别。
双曲线的标准方程
01
双曲线的一般方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)
焦点性质
双曲线的焦点位置决定了 双曲线的开口方向和大小 ，同时影响着双曲线的几 何形状和性质。
03
CATALOGUE
双曲线的几何性质
面积与周长
面积
双曲线的面积可以通过其与两条直线的交点以及原点来计算。具体公式为：$S = frac{1}{2} times |AB| times d$，其中$AB$是双曲线的弦，$d$是原点到直 线的距离。
切线性质
切线方程
对于双曲线上的任意一点，其切线方程可以通过求导得到。对于一般的双曲线方 程$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程为：$y = mx pm frac{b^2}{a}$。
切线斜率
对于双曲线上的任意一点，其切线的斜率等于该点处的导数。
04
粒子加速器和核聚变研究
双曲线在粒子加速器和核聚变研究中也有应用，例如在粒子加速器中，双曲线结构可以用来控制粒子的运动轨迹 。
在工程学中的应用
建筑设计
双曲线结构在建筑设计中被广泛应用 ，如穹顶、桥梁等，因为其具有优异 的力学性能和美学价值。
航空航天工程
在航空航天工程中，双曲线结构被用 于制造飞机和火箭的机身和发动机部 件，因为其具有轻质、高强度的特点 。
双曲线第二定义课 件
目录
• 双曲线的定义 • 双曲线的性质 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
离心率e反映了双曲线的离心率与椭圆的离心率之间的区别。
双曲线的标准方程
01
双曲线的一般方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)
焦点性质
双曲线的焦点位置决定了 双曲线的开口方向和大小 ，同时影响着双曲线的几 何形状和性质。
03
CATALOGUE
双曲线的几何性质
面积与周长
面积
双曲线的面积可以通过其与两条直线的交点以及原点来计算。具体公式为：$S = frac{1}{2} times |AB| times d$，其中$AB$是双曲线的弦，$d$是原点到直 线的距离。
切线性质
切线方程
对于双曲线上的任意一点，其切线方程可以通过求导得到。对于一般的双曲线方 程$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程为：$y = mx pm frac{b^2}{a}$。
切线斜率
对于双曲线上的任意一点，其切线的斜率等于该点处的导数。
04
粒子加速器和核聚变研究
双曲线在粒子加速器和核聚变研究中也有应用，例如在粒子加速器中，双曲线结构可以用来控制粒子的运动轨迹 。
在工程学中的应用
建筑设计
双曲线结构在建筑设计中被广泛应用 ，如穹顶、桥梁等，因为其具有优异 的力学性能和美学价值。
航空航天工程
在航空航天工程中，双曲线结构被用 于制造飞机和火箭的机身和发动机部 件，因为其具有轻质、高强度的特点 。
双曲线第二定义课 件
目录
• 双曲线的定义 • 双曲线的性质 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
双曲线第二定义ppt课件
25 B
2
图2.2 8
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0,
令点C的坐标为13, y,
则点B的坐标为25, y 55.
因为点B,C 在双曲线上,所以
y
252 122
y 552
b2
1,1
132 122
y2 b2
1.
2
C` 13 C
12
x
A` O A
由方程2,
得y
5b 12
负值舍去,
代入方程1,
点M (4, 3) ,求双曲线方程。 法二:巧设方程,运用待定系数法.
解2：双曲线的渐近线方程为x 2 y 0
可设所求双曲线的方程为x2 4 y2 ( 0).
双曲线过点M (4, 3)
42 4( 3 )2 .
4
所求双曲线方程为x2－4y2＝4.
变式 1：求与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 N(4, 5 ) 4
a2 y
c
y
F
a2
y
cx
o
a2 y
c
F′
15
巩固练习
x2 y2
如果双曲线 13 12 =1 上一点P到右焦点的距离
为 13 ，那么点P到右准线的距离是（A ）
A. 13 B.13
C.5
D. 5
5
13
. 变式1：点P到左准线的距离多少？ 39 5
F1
o
.P
F2
变式2：若|PF2|=3 13 , 则点P到左准
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
25 B
解 如图2.2 82,建立直
双曲线的第二定义课件
F2 x
MF 1
x 0
a2 c
e
M Faex
1
0
x a2 c
x a2
同理 MF aex
2
0
c
左加右减，下加上减（带绝对值号）
双曲线的第二定义
焦半径公式：
（一）M1位于双曲线右支
y
M2(x2,y2)
|M1F1|ae
x
1
M1(x1,y1) |M1F2|ae1x
F1
O
（二）M2位于双曲线左支
F2 x |M2F1|ae2x
直线 轨迹.
l:x= 1
6 5
的距离的比是常数 5 4
求:点M的
x2 - y2 = 1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
双曲线的第二定义
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
直线l: x = a 2
c
的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),
求:点M的轨迹.
+3 5
MF
的值最小,并求这个最小值
d min
36 5
M（3 5 ,2) 2
双曲线的第二定义
练习
已 知 点 A(3,2)， F(2,0)， 在 双 曲 线 x2y 32=1?
上 求 一 点 P， 使 ｜ PA ｜ ＋ 2 1｜ PF｜ 的 值 最 小 .
d min
=
3 2
p ( 2 1 ,2 ) 3
双曲线的第二定义
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨
迹就是集合 P ={M||MF|= c}
da
由此可得： (x c)2 y2 c
MF 1
x 0
a2 c
e
M Faex
1
0
x a2 c
x a2
同理 MF aex
2
0
c
左加右减，下加上减（带绝对值号）
双曲线的第二定义
焦半径公式：
（一）M1位于双曲线右支
y
M2(x2,y2)
|M1F1|ae
x
1
M1(x1,y1) |M1F2|ae1x
F1
O
（二）M2位于双曲线左支
F2 x |M2F1|ae2x
直线 轨迹.
l:x= 1
6 5
的距离的比是常数 5 4
求:点M的
x2 - y2 = 1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
双曲线的第二定义
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
直线l: x = a 2
c
的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),
求:点M的轨迹.
+3 5
MF
的值最小,并求这个最小值
d min
36 5
M（3 5 ,2) 2
双曲线的第二定义
练习
已 知 点 A(3,2)， F(2,0)， 在 双 曲 线 x2y 32=1?
上 求 一 点 P， 使 ｜ PA ｜ ＋ 2 1｜ PF｜ 的 值 最 小 .
d min
=
3 2
p ( 2 1 ,2 ) 3
双曲线的第二定义
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨
迹就是集合 P ={M||MF|= c}
da
由此可得： (x c)2 y2 c
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(4)
设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y-55).
因为直径AA′是实轴，∴a=12. 又B，C两点都在双曲线上，所以 252 ( y 55)2
解方程，得b≈25(负值舍去)
因此所求双曲线的方程为 x 2 y 2 1 144 625
3
2
，
消去y得，3x2-24x+36+λ=0，
d 1 12
242 12(36 ) 8 3
3
3
双曲线方程为 x2 y2 1 4
随堂练习
5、双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则
直线PF的斜率的变化范围是_(_-_∞_，___0_)∪___(1__，__＋_ ∞)
双曲线 y2 a2
x2 b2
1中：
上焦点F2 (0，c)，对应的上准线方程是y
a2 c
下焦点F1 (0，
c)，对应的下准线方程是y
a2 c
y
F1 o F2
a2 y
cx
a2 y
c
2、直线与双曲线的位置关系 1、复习：椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
⇕ ∆<0 判断方法： (1)联立方程组 (2)消去一个未知数
3、两条；
4、D(0，0).
4、零条.
答案又是怎样的?
例题解析
直线与双曲线问题：
3、过双曲线 ，求|AB|。
x2 3
y2 6
1的右焦点F2倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点
分析：求弦长问题有两种方法：
法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长；
双曲线的定义及标准方程课件[可修改版ppt]
![双曲线的定义及标准方程课件[可修改版ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/1c5d7496312b3169a551a450.png)
F1
F2
4、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段如F1何F2求的这中优点美o为的原曲点线建的立方直程角？
坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
yy
M
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a
FF1 1 O o FF22 xx
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
双曲线及标准方程
例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距 离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
变式一：若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5) ，则轨迹如何？
迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF 1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2 | )
2、|MF2 | － | MF 1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及 标准方程课件
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段F1F2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程？
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c
距 离 的 比 是 常 数c(ca0)， 求 点 M 的 轨 迹.
a
解：设 d 是 点 M 到 直 线 l的 距 离 ， 则
yl
|
MF| d
c a
即
(xc)2 y2 | x a2 |
c. a
. O
d.M
.
F
x
c
化简 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ).
设c2a2 b2，则 方程化ax22为 by22 1(a0,b0)
|P2F|aex0 其 中 e 为 双 曲 线 的 离 心 率 .
证明：双曲线的左准x线 为 a2 c
l' y
l
P.
由整 双曲线理 :的P |第1二F |得 定a 义e得0 ：xx|(0PP F|1ac1 |2F |m i acnac)
.
F1
O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得 ：|P2|F |P1|F 2 a a e0x
l' y
定值是离心率.(定点不在定直线上)
l
d.M
双曲线x2 a2
by22
1中:
.
F’ O
右焦点F2(c， 0)，对应的右准线方程是xac2 ; 左焦F1点 (c， 0)对应的左准线 x方 ac2程 . 是
双曲线的第二定义5
.x
F
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y
x a2 aa a
c
c
F1 A1
双曲线的第二定义5
2.已 知 双 曲 线 方 程 为 x921y621的 右 焦 点 为 F2,M是 双 曲 线
右 支 上 一 点 ， 定 点 A(9,2),求 |M A|5 3|M F2|y的 最 小 值 。
解：由双曲线第二定义 得：
M.
| MF2 | e,(d为M到右准线的).距离 . •A
d
由双曲线的第二定义得
b 1
| PM|| PF2 | 2 3 3 e2 3 双曲线的第二定义5
c2
e 2 3
例2、已知双 a x2 2－ 曲 by22线 1(a0,b0)的焦 F （ 1 点 c,0） F2(c,0),
P(x0,y0)是双曲线右， 支求 上 |证 P任 F1|： a意 e点 x0，
c2 a2
a2
b2
3
4 3
c
Hale Waihona Puke 6令3y2－x2＝0 得渐近线方程是: y 3 x
双曲线的第二定义5
3
2、若双曲线
x2 3
y 2＝ 1
右支上一点P到左
焦点的距离为4 3 ，则P到右准线的距离
为___3____.
y
Mp 解:由双曲线的第一定义得
|PF1|-|PF2|=2a
F1 0
F2 x
|P F 2| |P F 1| 2 a 43 23 23 a 3
双曲线的第二定义5
思考题:在学习椭圆的知识时，曾解决 过这样一个问题：已知点A(1,2)在椭 圆 x2 y2 1内部，F(2,0)是椭圆的一 个焦16 点1，2 在椭圆上求一点P，求 |PA|+2|PF|的最小值，这是用椭圆的第 二定义求解的一个问题，请仿照此题， 设计一个用双曲线的第二定义求解的 问题，并给出解答。
x a2 c
O A2 F2 x
准线方程：xa2 c
两条准线比双曲 线的顶点更接近 中心
x a2 c
双曲线的第二定义5
练1、习3：y2－x2＝1的准线方程是__y_______63__，
渐近线方程是____y_______3__x__.
3y2-x2=1
y 2
x2
3
1
1
3
a2
1 3
b2 1
准线方程是: y
双曲线的第二定义5
学习目标
知识与技能目标
掌握双曲线第二定义和准线的概念，并会简单的应用
能力目标：
培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意 识。
情感目标：
遵循事物的认知规律和事物之间相互对立统一普遍联 系的唯物主义观点
双曲线的第二定义5
学习重难点
学习重点
双曲线的第二定义
学习难点
双曲线的第二定义及应用
双曲线的第二定义5
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
x a 或 x a ， y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1(a0,b0)
a2 b2 y a 或 y a ， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（－ a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
离心率
ec (e1) a
ec (e1) a
渐进线
y b x a
双曲线的第二定义5
y a x b
例1、点M(x， y)与 定 点 F(c， 0)的 距 离 和 它 到 定 直 线 l:xa2 的
(P | 2F |mi nca)
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线双的曲线焦的第半二定径义5 .
焦半径公式：
y
M2(x2, y2)
（一）M1位于双曲线右支
M1(x1, y1)
|M1F1|ex1a
|M1F2|ex1a
F1
O
F2 x （二）M2位于双曲线左支
|M2F1|ex2a
|M2F2|ex2a
思考：焦点在y轴上呢？ (x, y 互换) 双曲线的第二定义5
练习
1.求证：等轴双曲线上任意一点到对称
中心的距离是它到两焦点的比例中项。
y
p(x0, y0 )
|PO|2|PF1|•|PF2|
F1
O
F2 x
双曲线的第二定义5
证 明 ： 不 防 设 P ( x 0 ,y 0 ) 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 ， |OP|2x02y02
点M的轨迹是实轴 分、 别2a 虚 为 、 2b轴 的长 双曲 . 线 双曲线的第二定义5
双曲线的第二定义：
动 点 M 与 一 个 定 点 F 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 l的 距 离 的 比
是 常 数 ec(e 1 )， 则 这 个 点 的 轨 迹 是 双 曲 线 . a
“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；
由 焦 半 经 公 式 得 |P 1 ||P F 2 | ( F e 0 x a ) ( e 0 x a ) e 2 x 0 2 a 2
又 由 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 ，
|P 1 |F |P 2| F e 2 x 0 2 a 2 x 0 2 y 0 2 |O |2P
命题即得证
F1 O
F2
x
即|
MF2
|
5d 3
|M|A 5 3|M2F ||M|A d
a2 9 36 (M | | A d)minxAc955
双曲线的第二定义5
x2 a2
y2 b2
距 离 的 比 是 常 数c(ca0)， 求 点 M 的 轨 迹.
a
解：设 d 是 点 M 到 直 线 l的 距 离 ， 则
yl
|
MF| d
c a
即
(xc)2 y2 | x a2 |
c. a
. O
d.M
.
F
x
c
化简 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ).
设c2a2 b2，则 方程化ax22为 by22 1(a0,b0)
|P2F|aex0 其 中 e 为 双 曲 线 的 离 心 率 .
证明：双曲线的左准x线 为 a2 c
l' y
l
P.
由整 双曲线理 :的P |第1二F |得 定a 义e得0 ：xx|(0PP F|1ac1 |2F |m i acnac)
.
F1
O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得 ：|P2|F |P1|F 2 a a e0x
l' y
定值是离心率.(定点不在定直线上)
l
d.M
双曲线x2 a2
by22
1中:
.
F’ O
右焦点F2(c， 0)，对应的右准线方程是xac2 ; 左焦F1点 (c， 0)对应的左准线 x方 ac2程 . 是
双曲线的第二定义5
.x
F
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y
x a2 aa a
c
c
F1 A1
双曲线的第二定义5
2.已 知 双 曲 线 方 程 为 x921y621的 右 焦 点 为 F2,M是 双 曲 线
右 支 上 一 点 ， 定 点 A(9,2),求 |M A|5 3|M F2|y的 最 小 值 。
解：由双曲线第二定义 得：
M.
| MF2 | e,(d为M到右准线的).距离 . •A
d
由双曲线的第二定义得
b 1
| PM|| PF2 | 2 3 3 e2 3 双曲线的第二定义5
c2
e 2 3
例2、已知双 a x2 2－ 曲 by22线 1(a0,b0)的焦 F （ 1 点 c,0） F2(c,0),
P(x0,y0)是双曲线右， 支求 上 |证 P任 F1|： a意 e点 x0，
c2 a2
a2
b2
3
4 3
c
Hale Waihona Puke 6令3y2－x2＝0 得渐近线方程是: y 3 x
双曲线的第二定义5
3
2、若双曲线
x2 3
y 2＝ 1
右支上一点P到左
焦点的距离为4 3 ，则P到右准线的距离
为___3____.
y
Mp 解:由双曲线的第一定义得
|PF1|-|PF2|=2a
F1 0
F2 x
|P F 2| |P F 1| 2 a 43 23 23 a 3
双曲线的第二定义5
思考题:在学习椭圆的知识时，曾解决 过这样一个问题：已知点A(1,2)在椭 圆 x2 y2 1内部，F(2,0)是椭圆的一 个焦16 点1，2 在椭圆上求一点P，求 |PA|+2|PF|的最小值，这是用椭圆的第 二定义求解的一个问题，请仿照此题， 设计一个用双曲线的第二定义求解的 问题，并给出解答。
x a2 c
O A2 F2 x
准线方程：xa2 c
两条准线比双曲 线的顶点更接近 中心
x a2 c
双曲线的第二定义5
练1、习3：y2－x2＝1的准线方程是__y_______63__，
渐近线方程是____y_______3__x__.
3y2-x2=1
y 2
x2
3
1
1
3
a2
1 3
b2 1
准线方程是: y
双曲线的第二定义5
学习目标
知识与技能目标
掌握双曲线第二定义和准线的概念，并会简单的应用
能力目标：
培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意 识。
情感目标：
遵循事物的认知规律和事物之间相互对立统一普遍联 系的唯物主义观点
双曲线的第二定义5
学习重难点
学习重点
双曲线的第二定义
学习难点
双曲线的第二定义及应用
双曲线的第二定义5
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
x a 或 x a ， y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1(a0,b0)
a2 b2 y a 或 y a ， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（－ a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
离心率
ec (e1) a
ec (e1) a
渐进线
y b x a
双曲线的第二定义5
y a x b
例1、点M(x， y)与 定 点 F(c， 0)的 距 离 和 它 到 定 直 线 l:xa2 的
(P | 2F |mi nca)
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线双的曲线焦的第半二定径义5 .
焦半径公式：
y
M2(x2, y2)
（一）M1位于双曲线右支
M1(x1, y1)
|M1F1|ex1a
|M1F2|ex1a
F1
O
F2 x （二）M2位于双曲线左支
|M2F1|ex2a
|M2F2|ex2a
思考：焦点在y轴上呢？ (x, y 互换) 双曲线的第二定义5
练习
1.求证：等轴双曲线上任意一点到对称
中心的距离是它到两焦点的比例中项。
y
p(x0, y0 )
|PO|2|PF1|•|PF2|
F1
O
F2 x
双曲线的第二定义5
证 明 ： 不 防 设 P ( x 0 ,y 0 ) 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 ， |OP|2x02y02
点M的轨迹是实轴 分、 别2a 虚 为 、 2b轴 的长 双曲 . 线 双曲线的第二定义5
双曲线的第二定义：
动 点 M 与 一 个 定 点 F 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 l的 距 离 的 比
是 常 数 ec(e 1 )， 则 这 个 点 的 轨 迹 是 双 曲 线 . a
“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；
由 焦 半 经 公 式 得 |P 1 ||P F 2 | ( F e 0 x a ) ( e 0 x a ) e 2 x 0 2 a 2
又 由 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 ，
|P 1 |F |P 2| F e 2 x 0 2 a 2 x 0 2 y 0 2 |O |2P
命题即得证
F1 O
F2
x
即|
MF2
|
5d 3
|M|A 5 3|M2F ||M|A d
a2 9 36 (M | | A d)minxAc955
双曲线的第二定义5
x2 a2
y2 b2