小学奥数和倍差倍问题

和倍差倍问题考试要求1、该知识点不会单独出题，但是思路很重要；2、该知识点是典型应用题的基础，是必考内容。

知识框架一、基本运算律及公式1、和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1 份数：1 份数× （倍数－1）= 两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

2、差倍问题差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1 倍量，然后画图确定解题方法. 被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷ （倍数－1）=1 倍数（较小数）倍数×几倍=几倍数（较大数）或较小数+差=较大数解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

重难点重点：1、最基本的应用题，但是应用很广；2、如何画线段图，找等量关系；难点：1、画图和找等量关系；2 、找到解题的思路和捷径。

课前预习购物圣诞节那一天，我与妈妈到百货大楼去买东西。

正巧，大楼正在举办返券销售活动，只见标牌上清清楚楚地写着：购买服装类每付现金100 元，返回礼券80元；鞋类每付100元，返回礼券60 元；用具类每付100 元，返回礼券40 元；所付现金不足100 元部分不返券，所返的礼券可在返券销售活动期间在商场内购买任何商品。

我与妈妈转来转去，最后，我看中了一双320 元的运动鞋，妈妈看中了一套498 元的衣服；而我们还要买一套245 元的炊具。

这时，妈妈对我说：“你不是老说你的数学学得很好吗？耳听为虚，眼见为实，今天，妈妈就来考考你。

我们把这三样东西全买下来，怎样买才能最省钱呢？”呵，这可难不倒我：“衣服最贵，得的券又最多，当然先用钱买衣服了，这样就可以得到320 元的礼券，用这礼券可以买好我的运动鞋，然后再拿出245元买炊具，还能得80 元礼券。

而用这礼券还能买一些小装饰品呢！一共用现金743 元。

”我得意得看看妈妈。

妈妈摇了摇头说“你这样不是浪费了80 元的礼券吗？”我睁大眼睛：“难道还有更省钱的？” “当然了！”妈妈说。

我拿出笔和纸算了起来，一会儿，我又设计出了另一种方案，我急着告诉妈妈：“先买鞋，可得到礼券180 元，用这些礼券买衣服，需要补付318元，又得到礼券240 元，最后买炊具，将礼券用完再补付5 元，这样共付现金643 元。

比刚才的方案足足又省了100 元。

” 妈妈看着我笑了。

我们既花了最少的钱，又满足了自己的心愿。

同学们，通过这个故事你明白了什么道理？例题精讲模块一：分组凑整例1 】（☆）光明小学有学生760 人，其中男生比女生的3 倍少40 人，男、女生各有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】☆ 【题型】解答【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40 人，如果用男、女生人数总和760 人再加上40 人，就等于女生人数的4 倍（见下图）.所以，女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）男生人数：200×3-40=560（人）或760-200=560 （人）【答案】200 人，560 人巩固】（☆）小强和小明共有50本练习本，小强的练习本比小明的2倍多2 本．小强和小明各有几本练习本【考点】等差数列应用题【难度】☆ 【题型】解答小明分析】（50－2）÷ （1＋2）＝48÷3＝16（本）16× 2＋2＝34（本）或50－16＝34（本）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯小强答案】16本，34 本的 2 倍多 2 千克，橘子重多少千克 ?如果橘子重量增加 3 千克，正好是苹果重量的 3倍，香蕉的重量减少 2 千克，正好是苹果重量的 2倍，这时三种水果的总重量变为： 53＋3－2＝54（千克 ），正好是苹果重量的 （1＋3＋2）倍，苹果有 （53＋3－ 2）÷ （1 ＝ 54÷6＝9（千克 ），橘子有 9× 3－ 3＝ 24（千克 ） .巩固】（☆☆）果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的 2倍多 12棵，苹果树比梨树少 20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【考点】等差数列应用题 【难度】☆ ☆ 【题型】解答【解析】下图可以看出桃树比梨树的 2倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20棵，都是同梨树相比较、以梨树的 棵数为标准、作为1份数容易解答 .又知三种树的总数是 552棵.如果给苹果树增加 20 棵，那么就和梨树同 样多了；再从桃树里减少 12 棵，那么就相当于梨树的 2 倍了，而总棵树则变为 552+20-12=560 （棵），相 当于梨树棵数的 4 倍.所以：梨树的棵数：（ 552＋ 20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）；桃树的棵数： 140×2＋12=292（棵）； 苹果树的棵数： 140-20=120 （棵） 【答案】 140棵， 292 棵，120 棵例 3 】 （☆☆） 智康学校有图书 108 本，学而思学校有图书 140 本，要使智康学校图书是学而思学校的3 倍．必须从学而思学校拿出多少本放入基础班 ?【考点】等差数列应用题 【难度】☆ ☆ 【题型】解答【解析】由于要求智康学校图书为学而思学校的 3 倍，如果将学而思学校的应有图书量看做一倍量，那 么智康和学而思存量的总和相当于学而思应有图书量的（1＋ 3）倍量，从而可求出学而思应有图书量．再来具体看问题“必须从学而思拿出多少本放入智康”，很明显用学而思原来的有图书量减例 2】☆☆）商店运来橘子、苹果、香蕉共 53 千克，橘子的重量是苹果的 3倍少 3千克，香蕉的重量是苹果考点】等差数列应用题 【难度】☆ ☆ 【题型】解答解析】我们可以把苹果的重量看作1 份，如下图：＋3＋2） 答案】 24 千克去应有图书量，便可以解答了．智康、学而思图书的总和108＋140＝248（本），学而思应有图书量：248÷ （1＋3）＝62（本），学而思拿出图书数量：140－62＝78（本）．【答案】78 本巩固】（☆☆）大红有贺卡54张，小琴有贺卡70 张，大红给小琴几张卡片后，小琴的卡片张数就是大红的3倍?【考点】等差数列应用题【难度】☆ ☆☆ 【题型】解答【解析】现在大红和小琴共有贺卡（54+70）张，大红拿出几张贺卡给小琴后，他们的贺卡总数还是（54+70）张.根据例1的解题思路，可求出当小琴的贺卡张数是大红的 3 倍时，大红有多少张贺卡.比大红原来的54 张少了几张，就是大红给小琴的张数.大红、小琴共有贺卡多少张?54+70=124（张）小琴贺卡的张数是大红的3 倍时大红有多少张?124÷（3+1）=31（张）大红给了小琴多少张?54-31=23（张）【答案】23 张例4】（☆☆☆）甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23 立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4 倍？【考点】等差数列应用题【难度】☆ ☆☆ 【题型】解答【解析】① 甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）②甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760 （立方米）③甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840 （立方米）④经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）【答案】80 分钟【巩固】（☆☆☆）喜洋洋有69 块棒棒糖，美洋洋有31 块棒棒糖，如果喜洋洋每天给美洋洋4块，多少天之后美洋洋的棒棒糖数目是喜洋洋的3 倍？【考点】等差数列应用题【难度】☆ ☆☆ 【题型】解答【解析】①两羊共有棒棒糖：69+31=100（块）②喜洋洋剩下的糖：100÷（3+1）＝25（块）③喜洋洋给美洋洋的糖：69－25＝44（块）④经过的天数：44÷ 4＝11（天）【答案】11 天例5 】（☆☆☆）被除数、除数、商3 个数的和是212 。

已知商是2，被除数和除数各是多少？．考点】等差数列应用题 【难度】☆ ☆☆ 【题型】解答【解析】由商是 2，可得被除数与除数的和为： 212-2=210；且被除数是除数的 2 倍。

把除数看着 1 份，两数和对应的份数是 3 份，除数为： 210÷（ 2+1） =70； 被除数为： 70× 2=140。

【答案】 被除数 140，除数 70 【解析】 （139-3）÷（ 1+3） =34巩固】（ ☆☆☆）被除数，除数，商三个数的和是139，已知商是 3，求被除数和除数是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】☆ ☆☆ 【题型】解答 【解析】 （139-3）÷（ 1+3） =34 【答案】 34模块二、差倍问题15 箱，白粉笔的箱数比彩色笔的 4 倍还多 3箱，学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱．12÷3＝4（箱）， （4）白色粉笔的箱数： 4＋15＝19（箱）．15 箱，白粉笔的箱数比彩色笔的 4倍少 3 箱，学校买来白粉题型】解答【解析】把彩笔看做 1倍数， （白笔＋ 3）就相当于彩笔的 4倍，即彩笔比 （白笔＋ 3）少 3倍，注意此时白笔 比彩笔多 15＋ 3＝ 18 箱．彩色粉笔的箱数 18÷3＝6（箱），白色粉笔的箱数： 6＋15＝21（箱）． 答案】 21 箱例 7 】 （☆☆） 有两根同样长的绳子， 第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根长的 3 倍， 两根绳子原来各长多少米？．【考点】等差数列应用题 【难度】☆ ☆ 【题型】解答 【解析】如上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12 米，第二根绳子又接上 14米后， 第二根的长度是第一根的 3 倍.应该把变化后的第一根长度看作 1 倍，而 12+14=26（米），正好 相当于第一根绳子剩下的长度的2 倍.所以，当从第一根截去 12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。