高三数学二轮复习 4-30不等式选讲(选修4-5) 理 人教版

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②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思 想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数 与方程的思想．
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3．比较法 (1)作差比较法 ①理论依据：a>b⇔a－b>0；
a<b⇔a－b<0. ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． (2)作商比较法 ①理论依据：b>0，ab>1⇒a>b；
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类型二 含绝对值不等式的证明 【例 2】 (2011·杭州模拟)已知二次函数 f(x)＝x2＋ ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为 M. (1)试证明|1＋b|≤M； (2)试证明 M≥12； (3)当 M＝12时，试求出 f(x)的解析式．
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[解] (1)证明：∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|， M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|， ∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b| ≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|， ∴|1＋b|≤M.
第四部分 选考内容
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第三十讲 不等式选讲(选修4－5)
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考纲要求
• 1.以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式 的性质相结合．
• 2．以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合 的交、并、补运算．
• 3．以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等 知识为背景考查不等式的常用证明方法．
∴ a ＋ b －( a＋ b)≥0. ba
故 a ＋ b ≥ a＋ b. ba
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证法二：(作商比较法)
∵
a＋ b a＋
b a＝ b
a3＋ ab a＋
b3 ＝ b
a＋ ba＋b－ ab a＋ b
ab
＝a＋b－ ab＝ ab＋ a－ b2
ab
ab
＝1＋ a－ b2≥1， ab
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5．分析法 (1)定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事 实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证 的命题成立， 这种证明方法叫做分析法． (2)思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从 要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等 式，直至找到已知不等式为止.
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(3)当 M＝12时，|f(0)|＝|b|≤12，－12≤b≤12
①
同理－12≤1＋a＋b≤12
②
－12≤1－a＋b≤12
③
②＋③得－32≤b≤－12
④
由①④得 b＝－12，当 b＝－12时，分别代入②③得
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－1≤a≤0 0≤a≤1
⇒a＝0，因此 f(x)＝x2－12.
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类型三 用比较法、综合法证明不等式
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当 a<0 时，不等式的解集为{x|6a<x<－2a}． (3)|f(x)|≤3⇔|ax－2|≤3⇔－3≤ax－2≤3
⇔－1≤ax≤5⇔aaxx≤ ≥－5 1 ，∵x∈[0,1]，
∴当 x＝0 时，不等式组恒成立，当 x≠0 时，不等式组转
化为 aa≤ ≥5x－1x
，
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又∵5x≥5，－x1≤－1， 所以－1≤a≤5 且 a≠0.
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高频考点
类型一 绝对值不等式的解法 【例 1】 已知一次函数 f(x)＝ax－2. (1)当 a＝3 时，解不等式|f(x)|<4； (2)解关于 x 的不等式|f(x)|<4； (3)若不等式|f(x)|≤3 对任意 x∈[0,1]恒成立，求实数 a 的取值范围．
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[解] (1)当 a＝3 时，则 f(x)＝3x－2， ∴|f(x)|<4⇔|3x－2|<4 ⇔－4<3x－2<4⇔－2<3x<6⇔－23<x<2， ∴不等式的解集为{x|－23<x<2}． (2)|f(x)|<4⇔|ax－2|<4 ⇔－4<ax－2<4⇔－2<ax<6， 当 a>0 时，不等式的解集为{x|－2a<x<6a}；
【例 3】
已知
a>0，b>0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
[分析] 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差
或作商比较法，也可用分析法、综合法．
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[证明] 证法一：(作差比较法)
∵
a＋ b
ba－(
a＋
b)
＝ a3＋ b3－ a＋ b ab ab
＝ a＋ b a－ b2 ab
又 a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，
• 4．与数列等知识综合考查不等式的证明方法．
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要点串讲
1.绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且 仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b| ＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
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(2)证明：依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|， 又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|， |f(0)|＝|b|， ∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)| ＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b| ≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥12.
b<0，ab>1⇒a<b.
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②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得 出结论．
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4．综合法 (1)定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种 证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果 法． (2)思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就 是从一个(组)已知的不等式出发，不断地用必要条件代替 前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
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2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0 a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x∈R
{x|x>a 或 x<－a}
R
且 x≠0}
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(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型 不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结 合的思想；