电磁场与电池波第二章 习题解答

φab = ∫ E ⋅ d r = ∫
a
b
JG
G
b
a
ρs a ρs a b dr = ln ε 0r ε0 a
1 1
要使 ρ >b 的区域外电场强度为 0，即：
G JG ρ s a + ρ s b JJ b 2 E= 1 ar =0，得 ρ S1 = − ρ s2 ε 0r a
2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为 Q 的电荷，球壳上又另充了电量为 Q 的电荷，已知内部的电场为 E = ar ( ) 4 ，计算： 球内电荷分布； 球的外表面的电荷分布； 球壳的电位； 球心的电位。 解： （1）由 ∇ ⋅ E =
0
a
⎛r⎞ = ∫ ⎜ ⎟ dr + 2a = 2.2a 0 ⎝a⎠
a
4
2.14 无限大空气平行板电容器的电容量为C0， 将相对介电常数为εr=4 的一块平板平行地 插入两极板之间， 如图题 2.14 所示。 （1） 在保持电荷一定的条件下， 使电容器的电容值升为 ε＝ε0 原值的 2 倍， 问所插入板的厚度d1与电容器两板之间距离d的比 εr＝4 d d1 值为多少？ （2） 若插入板的厚度
G JG ρ S a JJ G JG ρ S a JJ D = 1 ar ， E = 1 ar ε 0r r
当 b<r 时，由
v ∫
S
JG G JG D • dS =q,得 D × 2π r × l = ρ S1 ×2π a × l + ρ S2 ×2π b × l
G JG ρ s a + ρ s b JJ G JG ρ s a + ρ s b JJ 2 2 D= 1 ar ， E = 1 ar r ε 0r
σ 2U σ 1U ， E2 = d 2σ 1 + d1σ 2 d 2σ 1 + d1σ 2
（2）两介质分界面的法线由 1 指向 2 由 ε 2 E2 − ε1E1 = ρ s ，得
ρs =
ε 2σ 1U ε1σ 2U − d 2σ 1 + d1σ 2 d 2σ 1 + d1σ 2
I = σ 1 E1 ，知 S
（1）设单位长度的电荷量为 ρ l ，外加电压为 U，由高斯定理和电通量密度的法向量在两 种媒介分界面上连续的条件可得
G G ρ G ρl G E1 = l aρ 和 E2 = aρ 2περ 2πε 0 ρ
由于
∫
b'
a
G G b G G E1 ⋅d ρ + ∫ E2 ⋅d ρ = U
b'
整理得
ρl =
q2 q2 1 a = (az -a y ) = − (az -a y ) 2 R2 2 4πε 0 R2 4πε 0 R2 2 32 2πε 0
E2 =
E = E1 + E 2 =
1 (-2a x + a y + a z ) 32 2πε 0
2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。 解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面， 由高斯定理 r ≤ a 时， 由
'
2 1 2 E ' (d − d ) + E ' d = U 3 4 3
E' =
则
2U = 2E 0 d
Q0 ρ s S ε 0 E0 = = =2 Q ' ρ 's S ε 0 E '
即极板上的电荷容为原来的 2 倍，故插入介质板前后电容 C ' = 2C 0 2.15 同轴电容器内导体半径为 a， 外导体半径为 b， 在 a<r<b′部分填充介电常数为ε的 电介质， 求： （1） 单位长度的电容； （2） 若a=5 mm、 b=10 mm、 b′=8 mm， 内外导体间所加电压为 10 000 V， 介 质的相对介电常数为εr=5， 空气的击穿场强为 3×106 V/m， 介质的击穿场强为 20×106 V/m， 问电介质是否会被击穿？ 解：
（3）由 J =
I Sσ 1
G=
=
σ 2U d 2σ 1 + d1σ 2
I σ 1σ 2 S = U d 2σ 1 + d1σ 2 Q1 D1S ε 1 E1S ε 1S = = = U1 E1d1 E1d1 d1 Q2 D2 S ε 2 S = = U 2 E2 d 2 d2
（4）电容器的电容相当于两个电容串联，两个电容分别为
空气
b a
v ∫
S
JG G JG JG D • dS =q 及 D = ε E 得，
当 0<r< a 时，由
v ∫
S
JG G D • dS =q=0，得
JG JG D =0， E =0
当 a ≤ r ≤ b 时，由
v ∫
S
JG G JG D • dS =q,得 D × 2π r × l = ρ S1 ×2π a × l
∫
b'
a
G G E1' ⋅d ρ = U 得
ρl b' ln = U 2πε a
所以
ρl =
U .2πε b' ln a
当 ρ = a 时， E1' 最大，
' ∴ E1max =
ρl U = = 4.2 ×106 V/m ' b 2πε a
a ln a
' 由于 E1max 小于介质的击穿场强，所以电介质不会被击穿。
JG Q DΒιβλιοθήκη Baidu ar 4π r 2 JG Q E= ar 4πε 0 r 2
2.6 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为 a 和 b（a<b） ，内外导体间为空气。设同轴圆柱导 体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为 ρ S1 和 ρ S2 ，求： 空间各处的电场强度； 两导体间的电压； 要使 ρ > b 区域内的电场强度等于零，则 ρ S1 和 ρ S2 应满足什么 关系？ 解：以圆柱的轴为轴做一个半径为 r 的圆柱高斯面， 由高斯定理
d1 =
2 3 ， 在保持电容器电压不变的
条件下， 电容器的电容量将变为多少？ 解： （1） 设介质板插入前电容器极板电荷为 Q，电容为 C0 ,极板电压为 U，电场强度为 E0 . 插入介质板前后电荷不变，但电容为原来的 2 倍，则平行极板电压为原来的 1/2，由于电荷
不变，则空气中的电场强度不变。 故： E 0 d = U
1 1 E 0 (d − d1 ) + E 0 d1 = U 4 2
解方程得：
d1 2 = d 3
（2）设介质板插入前电容器极板电荷为 Q，电容为 C0 ,极板电压为 U，电场强度为 E0 。插 入介质板前后电压不变， 则平行极板电场强度必然变化。 设插入介质板后空气中的电场强度 为 E ，则 解方程得：
(a z - a x )
E2 =
q2 q2 1 ' R2 = (r - r2 (a z - a y ) )=− 3 3 4πε 0 R2 4πε 0 R2 32 2πε 0 1 32 2πε 0 (-2a x + a y + a z )
得 E = E1 + E 2 = 方法 2：
E1 =
q1 q1 1 a = (a z - a x ) = (a z - a x ) 2 R1 2 4πε 0 R1 4πε 0 R1 2 16 2πε 0
2.17 一个有两层介质（ ε1 ， ε 2 ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 σ 1 和 σ 2 ，电
容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时，求： 电容器的电场强度； 两种介质分界面上表面的自由电荷密度； 电容器的漏电导； 当满足参数是 σ 1ε 2 = σ 2ε1 ，问 G/C=?(C 为电容器 电容) 解： （1）由 E1d1 + E 2 d 2 = U ， J1n = J 2n 即 J1 = J 2 有 σ 1 E1 = σ 2 E2 得： E1 =
v v
由于介质球电荷在导体球外部感应电量为 Q,故导体球外部总电量为 2Q, 故 导体球外表面的面电荷密度为
ρs =
2Q = 2ε 0 4π a 2 Q + Q
4πε 0 r
(3) 球外电位由两部分电荷产生，即
φ=
4πε 0 r
球壳上的电位为
φ r = a = 2a
（4）球心的电位为
φ 球心 = ∫ E ⋅ dl+ φ 球壳
C1 =
C2 =
C=
C1 ⋅ C2 S ε1ε 2 = C1 + C2 d 2ε1 + d1ε 2
当满足参数 σ 1ε 2 = σ 2ε1 时，有 G/C=
σ1 ε1
JG
JJ G r a
JG
JG 6ε r 3 ρv 1 ∂ 2 r ⋅ Er ) = 04 ，得 ρ v = ε 0∇ ⋅ E = ε 0 2 ( r ∂r a ε0
（2） 球内部总电荷为 Q, 因此 Q 与半径 a 的关系：
Q = ∫ ρv dV = ∫ ρ v r 2 sin θ dθ drdϕ = 4πε 0 a 2
2π U 1 b' 1 b ln + ln ε a ε0 b '
所以
C=
ρl
U
=
2π 1
ε
ln
b' 1 b + ln a ε0 b '
（2）
E1 =
ρl U = 2περ ρ ln b ' + ρε ln b r
a
b'
E2 =
ρl U = 1 2πε 0 ρ ρ ( ln b ' + ln b ) εr a b'
v ∫
S
JG G JG JG D • dS =Q，及 D = ε E 得，
v ∫
JG G Q 4 D • dS = × π r 3 ，得 S 4 3 3 πa 3
JG Qr D= ar 4π a 3 JG Qr E= ar 4πε 0 a 3
r>a 时， 由
v ∫
S
JG G D • dS =Q，得
第二章 习题解答
2.1 两点电荷 q1=8 C， 位于 x 轴上 x=4 处， q2= - 4 C， 位于 y 轴上 y=4 处， 求 z 轴上 点(0, 0, 4)处的电场强度。
解： 方法 1： 由 E1 =
q1 4πε 0 R1
3
R1 =
q1 4πε 0 R1
3
(r - r1' ) =
1 16 2πε 0
当 ρ = a 时， E1 最大， E1max = 1.26 × 106 V/m 由于 E1max 小于介质的击穿场强，所以电介质不会被击穿。 当 ρ = b ' 时， E2 最大， E2 max = 3.94 × 106 V/m 因为 E2 大于空气的击穿场强，故空气介质被击穿。 空气击穿后，电介质承受全部电压， 由