弹性力学第二章

强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
当i、j、k和l、m、n分别取1，2，3的不 e -δ恒等式： 同值时，总可以通过行列式的行交换及 δ ir δ is δ ik 列交换得到如下形式： eijk ersk = δ jr δ js δ jk
1 0 0
δ11 δ12 δ13 δ kr δ ks δ kk 0 1 0 = δ 21 δ 22 δ 23 = 1 = e123e123 δ ir δ is δ jr δ js δ ir δ is 0 0 1 δ 31 δ 32 δ 33 − δ jk + δ kk (a) = δ ik δ jr δ js δ kr δ ks δ kr δ ks
弹性力学
许强
土木工程学院
第二章 张量知识基础
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 坐标系和矢量 张量的定义 张量代数 二阶张量
§2.5 对称二阶张量的谱表示 §2.6 张量分析 §2.7 积分定理
Chapter 2
第二章 张量知识基础
对给定的数学物理问题可用不同的数学表 示方法描述。为了对复杂的物理现象和工程问 题作出更为系统和真实的描述与研究，采用张 量表述更为方便。因张量分析能以简洁的表达 形式和清晰的推导过程来有效地描述复杂问题 的本质，其具有表达形式统一、物理意义明确 的特点，更重要的是还能清楚地反映出物理规 律的客观性，即和坐标系的选择无关。因此， 张量已成为研究理论物理和连续介质力学的重 要工具。
b × a = (bk ek ) × (a j e j ) = bk a j (ek × e j ) = (a j bk ekji )ei = (− a j bk e jki )ei
e1 e2 e3
∴ b × a = −a × b
叉积运算不满足交换律
u × v = u1 u2 v1 v2
u3 = (u2v3 − u3v2 )e1 + (u3v1 − u1v3 )e2 + (u1v2 − u2v1 )e3 v3
e112 = e111 = 0
eijk对任何两个指标都是反对称的
两个矢量的叉积（矢积）的定义：
因三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基，故有
右手系：
ei × e j = ek
ek = ei × e j
ej
ek ei
左手系： ei
× e j = −ek
O
于是，上两式可用eijk统一写成：
ei × e j = eijk ek = ekij ek
§2.2
张量的定义
12 n
如果在空间任一组基 ei 下，有用 n 个指标编号的 3n个数 Ti i ...i ，当基 3n 矢量按ei ' = β i 'i ei 变换成 ei ' 时， 个数 Ti1i2 ...in按如下规律变换
Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ = β i1′i1 β i2′ i2 ⋅⋅⋅ βin′ in Ti1i2 ⋅⋅⋅in
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
ei
O
ej
ei × e j
(2.6)
右手系
左手系
eijk = eijlδlk = eijl el ⋅ ek = (ei ×e j ) ⋅ ek
= (ek × ei ) ⋅ e j = (e j × ek ) ⋅ ei
∵ eijk = ekij = e jki
(2.7)
a × b = (a j e j ) × (bk ek ) = a j bk (e j × ek ) = (a j bk e jki )ei
具有1个哑标
(2.11)
再利用式（2.11）来论证矢量分析中的一个恒等式：
a × (b × c ) = (a ⋅ c )b − (a ⋅ b) c
(2.14)
坐标变换 ：
固定原点O，把原坐标系转动到新的位置， 得一新的直角坐标系 Ox1' x2' x3' ，其对应的 单位基矢量为ei ' ，如图2.2所示。新的基矢 量 ei ' 可用老的基矢量 ei 表示，老的基矢量 也可用新的基矢量表示，即
(2.8)
= (ui ei ) × (v j e j ) = ui v j ei × e j = ui v j eijk ek
体积 三个矢量a、b和c的混合积是一个标量： [ a, b, c ] = a ⋅ b × c = a × b ⋅ c 三矢量中，两两之间的夹角可任意。 若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。 三个矢量混合积的大小等于以这三个矢量为共点棱的平 行六面体的体积。
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
⎧ 1 ⎪ eijk = ⎨ −1 ⎪ 0 ⎩
当i，j，k为正序排列 当i，j，k为逆序排列 当指标中有两个相等
(2.5a)
或 eijk = 1 (i − j )( j − k )(k − i )
2
(2.5b)
e123 = e312 = e231 = 1 又如： 例如： e213 = e321 = e132 = −1 eijk = −e jik = −eikj = −ekji
T = Tij ei ⊗ e j = T11e1 ⊗ e1 + T12 e1 ⊗ e2 + T13e1 ⊗ e3 + T21e2 ⊗ e1 + T22 e2 ⊗ e2 + T23e2 ⊗ e3 + T31e3 ⊗ e1 + T32 e3 ⊗ e2 + T33e3 ⊗ e3
由此可知，一个三维的二阶张量有九个分量和九个基，它们都是随 坐标转换而改变的。但作为整体，张量 T = Tij ei ⊗ e j = Tij ei e j 则与坐标 选择无关。 需要指出：若i≠j，则 ei ⊗ e j ≠ e j ⊗ ei
⎧ 1 Kronecker delta 符号 ： ei ⋅ e j = δ ij = ⎨ ⎩ 0
i= j
(2.3)
i≠ j 点积或标量积：两个矢量乘积的结果是一个标量，如a﹒b= ajej﹒bkek
= ajbk（ej﹒ek）
强调一点：在一个表达式或方程中，若出现哑标，则该哑标所采用的字母 只要与同一表达式或方程中的自由指标和其它哑标所采用的字母不同即可。
例1. 证明 eijk 是一个三阶张量（置换张量）。 证：根据式（2.7），有
x3
§2.1
P
坐标系和矢量
e3
e1
x1
O
r
e2
图2.1
自由指标 如： xi′ = aij x j 指标定义： 哑标 i 为自由指标，j 为哑标。
x2
说明：1. 自由指标在表达式或方程中可以多次出现，
但不得在同一项内重复出现两次。2. 哑标是指在表达 式的某项中，某指标重复出现一次，且仅一次重复。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矢量a和b的点积可用分量表示为： a ⋅ b = ai ei ⋅ b j e j = ai b j ei ⋅ e j = ai b jδ ij = ai bi 矢量的模（大小）为 ： a = a = a ⋅ a = ai ai
(2.4)
置换符号 （permutation symbol）的定义 ：
说明：i，j，k的正序排列对应右手系， 逆序排列对应左手系。
δ ir δ is δ jr δ js δ ir δ is = − +3 δ jr δ js δ ir δ is δ jr δ js
由式（2.11）很容易得到如下表达：
eijk erjk = δ irδ jj − δ ijδ jr = 3δ ir − δ ir = 2δ ir
具有2个哑标
(2.12) (2.13)
=−
δ ir δ is δ ir δ is δ ir δ is − +3 δ jr δ js δ jr δ js δ jr δ js
eijk eijk = 2δ ii = 6
具有3个哑标
δ ir δ is = = δ irδ js − δ isδ jr δ jr δ js
即： eijk ersk = δ irδ js − δ isδ jr
零阶张量 如 一阶张量 二阶张量
标量 矢量 应力
一个n阶张量可表示成：
T = Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein
实际上， ei1
(2.20)
⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = ei1 ei2
ein
其中 ei1 ei2 ein 表示把n个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为 构成张量的基，亦称之为基张量，这种基张量共有3n个分量。 如，一个二阶张量可表示为
c = ck ek b = bje j [a ,b ,c ] = [b ,c , a ] = [c , a , b] = a ⋅ (b × c ) = a ⋅ (b j ck e j × ek ) = a ⋅ (b j ck e jki ei ) = ai b j ck e jki ei ⋅ ei = ai b j ck eijk
(2.15)
e 2′
e3
e1′
O
e1
e3′
e2
用ej点积式（2.15）的第一式的两边，得
ei′ ⋅ e j = βi′k ek ⋅ e j = β i′k δ kj = βi′j
(2.16)
β i′j 为变换系数
即 任一矢量u的坐标变换：
利用（2.15），从上式可得
(2.17)
即
(2.18)
当坐标系选定之后，一个矢量u完全由它的三个分量ui确定,当坐标系变换时，这 些分量必须按式（2.18）变换。因此可以给出矢量的新定义：对给定的坐标系， 有三个分量ui（i=1,2,3）；在进行坐标变换时，可按式（2.18）的第一式进行坐 标变换以获得新坐标系下的三个分量，则这三个分量作为一个有序整体并称为一 个矢量。故在应用中将ui简称为矢量。 矢量的分量ui随坐标系变化，但矢量u本身与坐标系变化无关。
沿坐标轴xi的正方向 u = u1e1 + u2 e2 + u3e3 = ∑ ui ei = ui ei i =1 取单位基矢量ei，则 3 任一矢量u可表示成： r = x e + x e + x e = ∑ x e = x e 1 1 2 2 3 3 i i i i
i =1
(2.1)
(2.2)
Einstein求和约定：同一项中如出现两个（仅两个）相同的字母所表示的指标，则这种 指标被称为哑标；表示该项要对哑标在取值范围内求和。 对于弹性力学三维问题，指标的取值范围为1，2，3；二维问题指标的取值范围为1，2。 故通常约定：如果不标明指标的取值范围，则以拉丁字母（i，j，k， …）所表示的指标视 为三维问题的取值范围；以希腊字母（α，β，…）所表示的指标视为二维问题的取值范围
12 n
12 n
(2.19)
12 n
则称具有 3n 个数 Ti i ...i 的有序集合为一个n阶张量。称 Ti i ...i 为对应基 下的张量分量，有时也简单地称 Ti i ...i 为n阶张量。 矢量的三种 1.黑体字母 符号表示： 2.用基矢量的线性组合 3.张量记法，亦分量记法
强调：对于任意n阶的张量，有与上述三种 形式对应的表达如下 1.黑体字母，T 2.张量记法，亦分量记法，如式（2.19） 3.并矢记法，如