隐函数的导数
隐函数的导数
dy dx
x0
6x y 5 x
x0 y 2
2 . 5
求隐函数在某一 点处的导数时应 特别注意什么？
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y e 例2 求方程 xy e 0所确定的隐函数 y f ( x ) 的导数．
解 方程两边同时对 x求导数，利用复合函数的求导法则
（注意，这里 y 是 x的函数），得
解 将方程的两边取对数，得
ln y x ln x,
由这个方程能说 y 隐函数！ 是 x 的函数吗？
上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 y ln x x ln x 1, y x
对数 求导法
于是
y y ln x 1 x x ln x 1 .
解 由隐函数的求导法，得 于是
1 y cos y y 0,
下面应怎 么办？
1 y , 1 cos y
上式两边再对 x求导，得
(1 cos y )x 1 sin y y y ( )x , 2 2 1 cos y (1 cos y ) (1 cos y )
(a 0, b 0)
解
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
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x 4cos t , 例8 已知椭圆的参数方程为 y 6sin t , 求它在 t 相应的点处的切线方程． 4
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求一般幂指函数 y u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0) 的导数时，同样可以用 y e v ( x ) ln u( x ) ，也可以利用复 上述 “对数求导法”．但注意到 合函数求导法则求导．如
隐函数的导数
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin d y dy sin cos d dx dx cos sin d 当 时对应点 M ( 0 , ) , 2 2
1 d2 y 2 dx f (t )
x t 2 2 t (0 1) 2 例6. 设由方程 t y sin y 1
确定函数 y y (x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
(t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
注意 : 已知
?
例4. 设抛射体轨迹的参数方程
x f (t ) d2 y . , 且 f (t ) 0 ,求 2 y t f (t ) f (t ) dx
d y t f (t ) t, 解: d x f (t )
为由参数方程所确定的函数. 例如
x 2t , y t2,
2
x t 2
消去参数
x 2 x yt ( ) 2 4
2
1 y Hale Waihona Puke 2问题 消参困难如何求导？
若参数方程 关系,
可确定一个 y 与 x 之间的函数
可导, 且
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
隐函数的导数
例如,
求 y′
例1. 求由方程 的导数 y′
例2. 求由方程
确定的隐函数
确定的隐函数
x2 y2 3 3 ) 处的切线方程。 1 在(2, 例 3．求椭圆 2 16 9
例4. 求由方程
的二阶导数 y ″
确定的函数
二、对数求导法
例5．求yx sin x (x>0)的导数。
例 6．求函数 y
例如
x 2t , 2 y t ,
2
x t 2
消去参数 t
x 2 x 1 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
2
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且(t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
dy (t ) 若 y(t)，x(t)，则 dx (t )
结束
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
第五节、隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数
对数求导法
由参数方程所确定函数的导数
一、隐函数的导数
定义: 设在方程 F ( x , y ) 0 中 , 当 x 取某区
间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y 的值存在, 那么就说方程F ( x , y ) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x ) .
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
隐函数的导数
§2.６隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一.隐函数的导数1.显函数；y=f(x)等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：Ｆ(x,Y)=0也表示函数，确定了y=y(x). 显化——化隐函数为显函数。
有时不容易，甚至不可能。
但实际中需求其导数。
2.隐函数的求导方法由于F(x,y)=0确定了y=y(x),故在F(x,y)=0中，把y 看成x 的函数，则将F(X,Y)=0的两边同时对X 求导后再解出.y '如：122=+y x 两边对x 求导有yx y y y x -='∴='⋅+022例1：y=cos(x+y)求x y '()()()()y x y x y y y x y +++-='∴'++-='sin 1sin 1sin例2：y y x yx x yx y xy y x xyarctg'+⋅+=-'⋅++=221)(11ln 222222yx yx y x -+='ex:='=--='=-++y e xy xe ye y ex y y x xyxy xy,11,0例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()())4(214211,41,41,42042213-=+--=-∴-∴±==-='='+x y x y P P y x yxy y y x 又 例4：求由方程0sin 21==-y y x ，确定的隐函数的二阶导数xd yd 22。
ydx dy y y y cos 220cos 211-=='⋅+'- ()()()()32222cos 2sin 4cos 2cos 22sin 2cos 2cos 2cos 22y y y yy y y y dx d dx y d -=--⋅=-'⋅'--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法先在y=f(x)两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
隐函数的导数
例9
求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t )
在t
2
处的切线
方程
.
解
dy
dy dx
dt dx
a
a
sin t a cos
t
sin t dy 1 cos t dx
t os
1.
dt
当 t 时,
x a(
1),
y a.
2
2 所求切线方程为
2 ya
x a(
y的导数 y, y x0 .
x 0, y 0
解 设想把xy e x e y 0所确定的函数y y( x)
代入方程, 则得恒等式
xy e x e y 0
恒等式两边同时对x求导,得
( xy)x (e x )x (e y )x (0)
因为y是x的函数,
所以 e y是x的复合函数,
用复合函数求导法,
如
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x ,
y
x sin x .
方 法 先在方程两边取对数,
然后利用隐函数的
求导法求出导数.
--------对数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例7 解
设
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2 e
x
1
,
求y.
等式两边取对数得
ln
定义 由二元方程 F ( x, y) 0 所确定的函数
y y( x) 称为 隐函数(implicit function).
y f ( x)的形式称为 显函数.
F( x, y) 0
y f ( x) 隐函数的 显化.
隐函数的导数
存在且可导， 则
dy
dy
dx
dt dx
( t ) ( t )
dt
6
例4.
求椭圆
x y
a cost bsin t
在t
4
相应的点处的切线方程.
解
t
4
相应的点为: M
2a , 2
2b 2
dy dx
( b sin t ( a cos t
) )
(x 3)( x 4) , 求 y
解 两边取对数 ,得
ln y 1 [ln( x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 4)]
2
方程两边对
x
求导,
得
1 y
y
1 2
x
1
1
x
1 2
1 x3
x
1 4
所以 y 1
2).两边对 x 求导; 3).两边同乘以 y 得 y 4).将 y结果表示为 x的显函数.
5
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t)
变量 x, y 之间的函数关系也可以由参数方程
确定. 求 dy
y
(t)
dx
设 (t), (t)均可导， x (t)的反函数t 1(x)
y
x
y y(cos x ln x 1 sin x ) xsinx (cos x ln x 1 sin x )
x
x
另解 y xsinx esinxln x
y (esinxln x ) esinxln x (sin x ln x)
第四节 隐函数的导数
x2 y2 处的切线方程 求椭圆 + = 1 在点 ( 2 , 3 3 ) 处的切线方程. 例2 2 16 9 解 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 + y ⋅ y′ = 0 8 9 3 9 x =− ∴ y′ x = 2 = − x=2 4 16 y y = 3 3 y=3 3
2
2
3 3 故切线方程为 y − 3 = − ( x − 2) 2 4
说明: 说明:
1) 对幂指函数 y = u v 可用对数求导法求导 :
ln y = v ln u 1 u ′v y ′ = v′ ln u + y u u ′v v y ′ = u ( v′ ln u + ) u
注意
′ = u v ln u ⋅ v′ + vu v −1 ⋅ u ′ y
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便
a b x ( a > 0 , b > 0 , a ≠1) 例如, 例如 y = b b x a
两边取对数 a ln y = x ln + a [ ln b − ln x ] + b [ ln x − ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y′ = ln − + b x x y
即
3x + 4 y − 8 3 = 0
例3
求 y = x sin x ( x > 0) 的导数 .
解 两边取对数 , 化为隐式
ln y = sin x ⋅ ln x
两边对 x 求导
∴
1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x y x sin x sin x y ′ = x (cos x ⋅ ln x + ) x
隐函数的导数
隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
二、隐函数的导数 例：求方程 x2 y2 R2 ( y 0) 所确定的隐函数y=y(x) 的导数。
约定：隐函数的导数中允许含有y. 隐函数求导法则；视y=y(x) , 应用复合函数的求导法
答案：
1.y xsin x (cos x ln x sin x) x
2.y
x2 3 1 x
3 x (3 x)2
2 x
1 1 x
1 3(3
x)
2 3(3
x)
直接对方程F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐
函数的导数。
例：sin y xe y 0 ，求y.
例:设曲线方程为x3 y3 3xy , 求过曲线上点( 3 , 3)
的切线和法线方程。
22
练习：
1．xy e y 5x ln y ，求y . 2． y sin( x y) ，求y .
答案：
1.y5y xy Nhomakorabea y2 yey 1
2.y cos( x y) 1 cos( x y)
三、对数求导法
例：1. 求y xx的导数.
注：先取对数,再利用隐函数的求导法求导的方法叫 做对数求导法。
2．求 y (sin x)tgx的导数.
3．求 y
(x 1)(x 2) (x 4) 的导数.
(x 3)(x 4)
注：去掉x >4的条件，结果相同。今后用对数求导
法求解时可以略去考虑定义域。
注：对数求导法的适用范围: 1.幂指函数y=u(x)v(x)； 2.含有较多乘、除、乘方或开方运算的函数。
高等数学隐函数求导
（隐函数的显化）
例1. 求由方程
CONTENTS
在 x = 0 处的导数
01
解: 方程两边对 x 求导
02
得
03
因 x = 0 时 y = 0 , 故
04
确定的隐函数
05
例2. 求椭圆
在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即
的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得
关系,
若上述参数方程中
二阶可导,
且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
,可得
例5
解
例6
解
所求切线方程为
?
例7. 设
, 且
求
已知
解:
练习:
解:
注意 :
对谁求导?
求
例8. 设由方程
确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故
1.隐函数求导法则
直接对方程两边求导
第二章
隐函数和参数方程求导
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
)
1
(ln
)
1
(ln
+
+
-
隐函数求导
一、隐函数的导数
第二章
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
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结束
一、隐函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为 隐函数.
y f ( x) 形式的函数称为 显函数 .
F ( x, y) 0
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若 可确定 y 与 x 间的函数关系, y (t ) 称此函数为由此 参数方程所确定的函数 .
例如
x 2 得 , 此参数方程确定的函数 y t ( ) , 2 2 x 即 y y( x ) . 4 问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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三、相关变化率：
解法: 通过建立两个变量之间的关系, 就将它们的 变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率.
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思考与练习
1. 设 y (sin x)
tan x
x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数求导法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
隐函数的导数.ppt
x)
cos(1
x) (1)
所以
y
y
12 2x
3
1 3(x
5)
2 x
cot(1
x)
(2x 3)6 3 x x2 sin(1 x)
5
12 2x
3
1 3(x
5)
2 x
cot(1
x)
练习：用对数求导法求下列函数的导数
（1） y sin x tan x
（2）
y 3 x(x 1) (2 x)(x 3)
(含导数 y的方程)
例1 求由方程y2+3y2x2+xln3=0所确定的函数y=f(x) 的导数yx.
解 按题设，所给方程确定y是关于x的函数， x是自变量，y=f(x)，y2就相当于[f(x)]2， 这样，y2对x求导数时，需用复合函数的导数法则 将方程两端同时对x求导数，得 (y2+3y2x2+xln3)x=(0)
3x2 +ex (1y2 +x2yy ) +(siny) y =0
解出y ，得
y 3x2 ex y2 2xy sin y
学生练习：1.由下列方程确定y是x的函数，求y′
（1） b2 x2 a2 y2 a2b2 0
（2） x y 2 2xey
（3） x2 sin(x y) ln xy
y
b a
2 2
x y
y
1 2e y 2xey 1
y y 2x2 y sin( x y) x3 y cos(x y) x3 y cos(x y) x
例3 求由方程lny=xysinx+1所确定的函数y=f(x)
的导数y及y | x=0
《隐函数导数》课件
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
隐函数求导数的五种方法
4求导"此时6是-"4的函数"求偏导数时"需要把6看作-" 4的函数#
例设方程 求 3
-) P4) N* 6N$+) M%"6c$" 6" 6#
- 4
四微分法
设方程3*
-"4+
确定函数 M%"
4M!* -+
"利用微分形式
不变性"对方程两边同时求微分"此时需要将3看成关于
-"4的一个二元函数#
科教论坛
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科技风 "#"$ 年 % 月
隐函数求导数的五种方法
张亚龙4高改芸4刘 爽
北京科技大学天津学院天津
摘4要针对隐函数求导数问题在隐函数存在定理的基础上总结出求隐函数导数的五种方法同时利用五种方法 分别求解一元隐函数和二元隐函数并分析和比较每个方法的优点与缺点
解两端同时对-求导得)-N) * 6N$ + 6M%"所以 -
例设 求 1 -N_-*-) P-4+M%" ,4# ,-
6M - 6N$
#
解两边同时求微分得 " ,-N-) P$-4,* -) P-4+ M%",-N
两端同时对求导得 所以 4
)4N)* 6N$+ 6M%" 4
46M6N4$#
一"也是高等数学中的一个难点# 利用多元复合函数求偏 导"对于初学者容易出错# 利用隐函数求导数可以求解空
隐函数的求导方法
隐函数的求导方法隐函数是指由两个或多个变量的函数方程所确定的函数。
在一些情况下，我们无法直接通过解方程得到显式函数表达式，而只能得到一个隐函数方程。
对于这种情况，我们需要使用隐函数求导的方法来求隐函数的导数。
一、隐函数偏导数法隐函数偏导数法是根据隐函数方程的特定条件和偏导数的定义，通过求偏导数的方式计算隐函数的导数。
假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。
其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。
步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求偏导数，记为∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
2. 解上述方程，将 dy/dx 表达成∂F/∂x 和∂F/∂y 的比值。
3. dy/dx 就是所求的隐函数的导数。
这种方法对于求解常见的一阶隐函数方程非常有效，但不能用于求解二阶或高阶隐函数方程。
二、全导数法全导数法是通过定义全导数的方式，将隐函数导数表示成全导数的形式。
假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。
其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。
步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
2. 对方程两边同时对 y 求导，得到∂F/∂x * dx/dy + ∂F/∂y = 0。
3.将上述两个方程组成一个方程组，可以用矩阵的形式表示，即：∂F/∂x ∂F/∂y， * ，dx/dy， = ，-∂F/∂y ∂F/∂这个方程组表示了偏导数的关系。
4. 解方程组求出 dx/dy，其值就是所求的隐函数的导数。
全导数法可以用于求解一阶、二阶甚至高阶的隐函数方程，比较灵活和通用。
总结：隐函数的求导方法主要有隐函数偏导数法和全导数法。
隐函数偏导数法适用于求解一阶隐函数方程，而全导数法对一阶、二阶以及高阶隐函数方程均可使用。
在实际应用中，根据具体的问题和情况选择适合的求导方法，能够更加方便地求得隐函数的导数。
隐函数的导数
d dx
dy dx
d dt
(t ) (t )
dt dx
(
t
)
(t) (t 3 (t )
)
(
t
)
.
内容小结
3. 参数方程确定的函数的导数 4. 相关变化率
设 x (t), y (t), x 与 y 之间存在某种
函数关系；因而它们的变化率 dx 与 dy 之间 dt dt
也存在一定的关系，这两个相互关联的变化率 为相关变化率 .
二阶导数
d2y dx 2
.
2. y (1 x2 )tan x , 求 y.
完
1. 求由方程 sin y ln( x y) 所确定函数的
dt dt
间也存在一定关系, 这样两个相互依赖的变化率 称为相关变化率. 相关变化率问题: 研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.
完
例13 河水以 8米 3/秒的体流量流入水库中, 水库形
状是长为4000米, 顶角为120的水槽, 问水深20米
时, 水面每小时上升几米?
x
y)]2
(x
1 y)[2 ln(
x
y)]3
.
完
问题的提出
对数求导法
函数
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1,y
xtan x的求导问题.
对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函
数的求导方法求出导数. 适用于多个函数相乘 和幂
指函数 u( x)v( x)的情形. 设 f ( x) u( x)v( x)(u( x) 0),两边取对数得
xsin x cos
x ln
x
sin x
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。
这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。
高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。
这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。
高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。
例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。
最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。
隐函数的导数
y
[2e2x y y sin(xy)] e2x y x sin(xy)
dy
2
dx (0,1)
2.
y
1
xe
y
,
求
d2y dx2
解 : 两边对x求导得 : y e y xey y, 得
y
1
ey xe
y
d 2 y e y y(dx2
(1 xe y )2
1 2
从而
y|x005
下页
例例33 求椭圆 x2 y2 1 在 (2, 3 3) 处的切线方程
16 9
2
解 把椭圆方程的两边分别对x求导 得
从而
x 2 y y 0 89 y 9x
16y
当 x2 时
y3 2
3 代入上式得所求切线的斜率
k y|x2
3 4
所求的切线方程为
y3 2
3 3 (x2) 4
确定的
设xj(t)具有反函数tj1(x) 且tj1(x)与yy(t)构成
复合函数yy[j1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导 则
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
y (t) j(t)
dt
dy
即
dy dx
y (t) j(t)
或
dy dx
dt dx
dt
下页
若 xj(t)和 yy(t)都可导
❖隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程
中把隐函数的导数解出
例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 解 方程中每一项对x求导得
(ey)(xy)(e)(0)
即
eyyyxy0
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1． 函数求导、参数方程求导
函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式
表达。
前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
用这种方式表达的函数叫做显函数。
有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与之对应。
例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等。
这样的函数称为隐函数。
一般地，如果在方程()0=y x F ，中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0=y x F ，在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程013=-+y x 解出
31x y -=，就把隐函数化成了显函数。
隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。
但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。
下面通过具体例子来说明这种方法。
例1 求由方程0=-+e xy e y
所确定的隐函数y 的导数
dx
dy 。
解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。
方程左边对x 求导得
()
dx
dy x y dx dy e e xy e dx d y y ++=-+， 方程右边对求导得 ()00='。
由于等式两边对x 的导数相等，所以
0=++dx dy
x y dx dy e y
， 从而 ()
0≠++-=y
y e x e
x y dx dy 。
在这个结果中，分式中的y 是由方程0=-+e xy e y
所确定的隐函数。
隐函数求导方法小结：
（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如
()y y
y x '='1ln 。
（2）从求导后的方程中解出y '来。
（3）隐函数求导允许其结果中含有y 。
但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去。
例2 e e xy y
=+，确定了y 是x 的函数，求()0y '。
解：0='+'+y e y x y y ，y
e x y y +-='，0=x 时1=y ，()e y 1
0-='∴。
自我训练：（1）a y x =+
，求y '。
（2）333a y x =+，求y '。
（3）1ln =+y xy ，求()0y '。
（4）x
y
y x arctan
ln
22=+，求y '。
2． 取对数求导法
对于幂指函数()
()
x v x u y =是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数
为隐函数，从而求出导数y '。
例3 求()0sin >=x x y x
的导数。
解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。
为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得x x y ln sin ln ⋅=； 上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得
x
x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='， 于是 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
⋅='x x x x x x x x x y y x sin ln cos sin ln cos sin 。
由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过
取对数得到化简。
例4 求()()()()
4321----=
x x x x y 的导数。
解：先在两边取对数（假定4>x ），得
()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 2
1
ln -----+-=
x x x x y ， 上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----+-='41312111211x x x x y y ， 于是 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-----+-=
'413121112x x x x y y 。
当1<x 时，()()()()
x x x x y ----=
4321；
当32<<x 时，()()()()
x x x x y ----=
4321； 用同样方法可得与上面相同的结果。
注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。
例如x
x x
e
x ln =，
这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求e
x
x e e x y +=的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。
3． 由参数方程确定的函数的求导
若由参数方程()()⎩
⎨
⎧==t y t x ψϕ确定了y 是x 的函数，如果函数()t x ϕ=具有单调连续反函数
()x t ϕ=，且此反函数能与函数()t y ψ=复合成复合函数，那么由参数方程()()
⎩⎨
⎧==t y t x ψϕ所确定的函数可以看成是由函数()t y ψ=、()x t ϕ=复合而成的函数()[]x y ϕψ=。
现在，要计算这个复合函数的导数。
为此，再假定函数()t x ϕ=、()t y ψ=都可导，而且()0/≠t φ。
于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有
()()t t dt
dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，
即
()()
t t dx dy ϕψ''=。
上式也可写成 dt
dx dt
dy dx
dy =。
如果()t x ϕ=、()t y ψ=还是二阶可导的，由
()()
t t dx dy ϕψ''=还可导出y 对x 的二阶导数公式： ()()()()()()()
()t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ'⋅'''-'''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1
222， 即 ()()()()()
t t t t t dx y d 322ϕϕψϕψ'''-'''=
自我训练：（1）求⎩⎨
⎧==t
b y t a x sin cos 在4π
=t 处切线方程。
（2）
()
()
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
t
b
y
t
t
a
x
cos
1
sin
，求
2
2
dx
y
d。