隐函数的导数

1． 函数求导、参数方程求导

函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式

表达。前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与之对应。例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等。这样的函数称为隐函数。

一般地，如果在方程()0=y x F ，中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0=y x F ，在该区间内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程013=-+y x 解出

31x y -=，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。

但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。

例1 求由方程0=-+e xy e y

所确定的隐函数y 的导数

dx

dy 。 解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。方程左边对x 求导得

()

dx

dy x y dx dy e e xy e dx d y y ++=-+， 方程右边对求导得 ()00='

。 由于等式两边对x 的导数相等，所以

0=++dx dy

x y dx dy e y

， 从而 ()

0≠++-=y

y e x e

x y dx dy 。 在这个结果中，分式中的y 是由方程0=-+e xy e y

所确定的隐函数。

隐函数求导方法小结：

（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如

()y y

y x '='1ln 。

（2）从求导后的方程中解出y '来。

（3）隐函数求导允许其结果中含有y 。但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去。

例2 e e xy y

=+，确定了y 是x 的函数，求()0y '。

解：0='+'+y e y x y y ，y

e x y y +-='，0=x 时1=y ，()e y 1

0-='∴。

自我训练：（1）a y x =+

，求y '。

（2）333a y x =+，求y '。 （3）1ln =+y xy ，求()0y '。 （4）x

y

y x arctan

ln

22=+，求y '。 2． 取对数求导法

对于幂指函数()

()

x v x u y =是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数

为隐函数，从而求出导数y '。

例3 求()0sin >=x x y x

的导数。

解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得x x y ln sin ln ⋅=； 上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得

x

x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='， 于是 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+

⋅='x x x x x x x x x y y x sin ln cos sin ln cos sin 。 由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过

取对数得到化简。

例4 求()()()()

4321----=

x x x x y 的导数。 解：先在两边取对数（假定4>x ），得

()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 2

1

ln -----+-=

x x x x y ， 上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----+-='41312111211x x x x y y ， 于是 ⎪⎭

⎫

⎝⎛-----+-=

'413121112x x x x y y 。

当1

x x x x y ----=

4321；

当32<

x x x x y ----=

4321； 用同样方法可得与上面相同的结果。

注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如x

x x

e

x ln =，

这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求e

x

x e e x y +=的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。 3． 由参数方程确定的函数的求导

若由参数方程()()⎩

⎨

⎧==t y t x ψϕ确定了y 是x 的函数，如果函数()t x ϕ=具有单调连续反函数

()x t ϕ=，且此反函数能与函数()t y ψ=复合成复合函数，那么由参数方程()()

⎩⎨

⎧==t y t x ψϕ所确定的函数可以看成是由函数()t y ψ=、()x t ϕ=复合而成的函数()[]x y ϕψ=。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数()t x ϕ=、()t y ψ=都可导，而且()0/≠t φ。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有

()()t t dt

dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，

即

()()

t t dx dy ϕψ''=。 上式也可写成 dt

dx dt

dy dx

dy =

。 如果()t x ϕ=、()t y ψ=还是二阶可导的，由

()()

t t dx dy ϕψ''=还可导出y 对x 的二阶导数公式： ()()()()()()()

()t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ'⋅'''-'''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1

222， 即 ()()()()()

t t t t t dx y d 322ϕϕψϕψ'''-'''=

自我训练：（1）求⎩⎨

⎧==t

b y t a x sin cos 在4π

=t 处切线方程。