2020高考数学圆锥曲线最值问题大题精做理科

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2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教学案含解析理

第2课时范围、最值问题范围问题【例1】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y a 2＋x b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围[解] (1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a －c ＝3－2，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2，x 1x 2＝13＋k2. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤12|AB |，解得k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－413]∪[413，＋∞)． [规律方法] 求参数范围的四种方法1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解. 2不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围. 3判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围. 4数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．[解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1，∴由λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2＞14， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.最值问题►考法1 【例2】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋－12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] ►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [解] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. ►考法3 建立函数关系利用导数求最值问题【例4】 (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A －12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32k 2＋1. 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －1k ＋12k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.[规律方法] 圆锥曲线中最值问题的解决方法1代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.2几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.(2019·邢台模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫032.则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.故△AOB 面积的最大值为22.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

2020高考数学复习--专题03 最值问题(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

专题03 最值问题最值（含范围）问题是解析几何中常见的问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现.求最值的思维导图如右最大最小为最值单调二次不等式几何有界也有用具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k +=++=+=+，同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k +=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα，所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求某量最值化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α，当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=. 注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t=+， 2214()816AB DE t t+=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，得.当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，得. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U .要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？03m <<x 120AMB ∠=otan 60a b ≥=o ≥01m <≤3m >y 120AMB ∠=otan 60ab≥=o ≥9m ≥就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3.解2 (,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin +=1r θϕ=（），即3455x ,y ==.另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y +例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是．的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线220x y +-=的距离，d ==()22min45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13xy+=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ =-⋅u u u r u u u r+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++. 联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，，解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++.因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ PA PB =-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.第（2）题可设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，则23sin 23AB MC OM OC AB θ==+. 223OC AB=+⋅，只要求sin θ的最小值，即只要求OC AB的最小值.(2) 设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，且223sin 2233AB MC OC OM OC AB ABθ===++⋅.设1122(,),(,)A x y B x y，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x +--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+.联立方程221124x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注211k OCAB +=22= 令21112,1(0,1)t k t t =+>∈，，则211=2t k -，代入上式整理得OC AB =. 当且仅当112t=，即2t =时OC AB的最小值23，此时1k =.思路点拨第（1）题直接计算可得。

2020版数学高中考前理科第三篇热点2圆锥曲线的最值与范围问题

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值
阅卷人运算过程较长,数据整理复杂,所以提醒求解时要目标明确,步骤清晰
范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数
所以 △PQG 的面积 S = 12|PQ ‖ PG|=
范围求解.
( ( ) ) (1+8k2k(12)+(2k2+)k2)=1+82k1k1++kk 2.
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1.圆锥曲线中的最值问题的三种解决方法 (1)代数法,从代数的角度考虑,通过建
设t=k+k1 ,则由k>0 得t≥2,当且仅当k=1
考场技法
1.圆锥曲线中的最值问题分类 (1)涉及距离、面积的最值以及与之相关
的一些问题.
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(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有
(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),
动点 M(x,y)① 满足直线AM 与BM 的斜率之积
交点. 3.求解这种问题时应注意挖掘题目中的隐
含条件,寻找量与量之间的转化关系.
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2020年高考数学真题汇编10 圆锥曲线理( 解析版)

2020高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。

6223【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2020高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

(高中段)大题考法第二课时题点突破圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

题型二范围问题 [典例] (2018·浙江高考)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2＝4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15围问题的 5 种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2)设直线 MN 的方程为 y＝kx＋12(k<0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立y＝kx＋12， y2＝x，
消去 x 可得 ky2－y＋12＝0，
则y1＋y2＝1k， y1y2＝21k.
易知 P(1,1)，A(x1，x1)，Bx1，xy21，则 S1＝12(y1－x1)(1－x1)，S2＝12x1－xy21x1，
因此SS21＝y1－x1x－1xy121－x1x1＝y1－y21y－12yy1122－y21y21，
因为y1y＋1y2y2＝2，则 y2＝2y1y－1 1，
yy122＝
y12 y1
＝y1(2y1－1)，
2y1－1
由此可得SS21＝1－y12y21＝y112－1 1，
因为 y1∈0，12，

2020年高考数学圆锥曲线中的最值问题(共16张PPT)

x
y
t cos 1 t sin
代入
2x2
y2
2
0
得
(1 cos2 )t2 2sin t 1 0
设
P, Q
对应的参数为 t1, t2
，则 t1
t2
2 cos 1 cos2
, t1t2
1
1 cos2
所以| PQ || t1 t2 |
(t1
t2 )2
4t1t2
1
22 cos2
因为
PQ
的最大值为__________.
解析：题目中点 P 是一动点，点 B 是椭圆的右焦点，因此在椭圆上的一个动点和焦点的连线经常需要考虑这个点和另外一个焦点，即把动点放到焦点三角形中考虑，因
为 PF PB 2a 10，所以 PB 10 PF, PA PB PA PF 10 ，接下来需要求 PA PF 10 的最大值。因为如果 P, A, F 能构成三角形， PA PF AF ，因此当取得最大值时 P, A, F 三点共线， PA PF 10 AF 10 15
例 3：已知 P(x, y) 是抛物线上的点，则 (x 3)2 ( y 2)2 x 的最大值是________.
解析： (x 3)2 ( y 2)2 x (x 3)2 ( y 2)2 (x 1)2 y2 1 题目转化为点 P(x, y) 到点 A(3, 2) 的距离减去到点 M (1, 0) 的距离加 1 因此当 A, M , P 三点共线时取得最大值，最大值为| AM | 1，剩余步骤省
4x
2b
0
令 0，则b 2
则直线 y 2x 2 与 y 2x 2 之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积的最大值。
例 7：点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 1)2 ( y 4)2 1，则| PQ |的最小值为 2

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中的最值和范围问题(高二)

圆锥曲线中最值和范围问题班级________姓名___________学号_________【问题呈现】1．椭圆14922=+y x 上一动点M 满足：21MF F ∠为钝角，则M 点横坐标的取值范围_______． 2．已知点3(,0)2A ，P 是抛物线24y x =上一动点，则PA 的最小值为___________． 3．椭圆1422=+y x 上一动点P ，则P 到直线04:=-+y x l 的距离最小值为：________．4．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为__________．5．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=交于A ,B 两不同点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为_______．【方法小结】求解范围问题的一般方法：（1）结合定义，利用图形找出几何量的有界性；（2）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0；（3）函数法是探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．（4）利用代数基本不等式．代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题．【典题剖析】例1已知圆⊙8)1(:22=++y x C ，)0,1(-C 动圆与⊙C 相切且过定点)0,1(B ；（1）求动圆圆心的轨迹E 方程；（2）过点),0(t D ，11<<-t 倾斜角为 45的直线l 与轨迹E 交于N M ,两点，求N M C B ,,,四点围成的四边形面积的最大值。

(完整版)2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练,推荐文档

2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】
题型一求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程．【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲线的右支，
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；

【高考复习】2020年高考数学(理数)圆锥曲线中的最值范围证明问题大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 圆锥曲线中的最值范围证明问题大题1.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=6，直线y=kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k=24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；(3)在(2)的条件下，设P(x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．2.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b≥1)的离心率为22，其右焦点到直线2ax ＋by －2=0的距离为23.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－13的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆恒过定点．3.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)，定义椭圆C 的“相关圆”方程为x 2＋y 2=a 2b 2a 2＋b2.若抛物线y 2=4x的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形． (1)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(2)过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．证明：∠AOB 为定值．4.已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0且a ，b 2均为整数)过点⎝⎛⎭⎪⎫2，62，且右顶点到直线l ：x=4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与椭圆Ω交于点A ，B ，l 2与椭圆Ω交于点C ，D.求四边形ACBD 面积的最小值．5.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→=0.证明：|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列，并求该数列的公差．6.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1=0和抛物线E ：y 2=2px(p>0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17. (1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点O 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ，设点M 为圆C 上一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 的方程．7.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M(－a ，b)，N(a ，b)，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形． (1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值．8.已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→=λF 1B ―→，且2≤λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．9.已知椭圆的离心率为，且点P(2，1)为椭圆上一点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C 交于A,B 两点，求△PAB 的面积的最大值．10.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：12222=+by a x (a>b>0)的离心率是23，抛物线E ：x 2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D.直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求21S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.答案解析1.解：(1)由题意得c=3，根据2a ＋2c=16，得a=5.结合a 2=b 2＋c 2，解得a 2=25，b 2=16.所以椭圆的方程为x 225＋y216=1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y2b2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．所以x 1＋x 2=0，x 1x 2=－a 2b2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为F 2A ―→=(x 1－3，y 1)，F 2B ―→=(x 2－3，y 2)，所以F 2A ―→·F 2B ―→=(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9=0.即x 1x 2=－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a2=－8，结合b 2＋9=a 2，解得a 2=12，所以离心率e=32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y23=1，由题可知A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，k 1=y 0－y 1x 0－x 1，k 2=y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2=y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21=－14，即k 2=－14k 1，由－2<k 1<－1可知，18<k 2<14. 即直线PB 的斜率k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14. 2.解：(1)由题意，e=c a =22，e 2=a 2－b 2a 2=12，a 2=2b 2.所以a=2b ，c=b.又|2ac －2|4a 2＋b2=23，a>b≥1，所以b=1，a 2=2，故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2=1.(2)证明：当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2=1.当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132=169，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1)．下证Q(0,1)符合题意．当AB 不垂直于坐标轴时，设直线AB 方程为y=kx －13，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx －13，得(1＋2k 2)x 2－43kx －169=0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2=4k＋2k2，x 1x 2=－16＋2k2， ∴QA ―→·QB ―→=(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1) =x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)=x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43 =(1＋k 2)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169=(1＋k 2)－16＋2k 2－43k·4k ＋2k 2＋169 =－16－16k 2－16k 2＋＋2k 2＋2k2=0，故QA ―→⊥QB ―→，即Q(0,1)在以AB 为直径的圆上．综上，以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)． 3.解：(1)因为抛物线y 2=4x 的焦点(1,0)与椭圆C 的一个焦点重合，所以c=1. 又椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2=1，“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2=23.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x=63，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，－63，则∠AOB=π2. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(kx ＋m)2=2，即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2=0，Δ=16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)=8(2k 2－m 2＋1)>0，即2k 2－m 2＋1>0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.因为直线l 与“相关圆”E 相切，所以|m|1＋k2=m21＋k 2=23，即3m 2=2＋2k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2=(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m2=＋k22－1＋2k2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2=3m 2－2k 2－21＋2k 2=0，所以OA ―→⊥OB ―→，所以∠AOB=π2. 综上，∠AOB=π2，为定值．4.解：(1)由题意，得2a 2＋32b 2=1，且|4－a|=2，若a=2，则b 2=3；若a=6，则b 2=2717(舍去)，所以椭圆Ω的方程为x 24＋y23=1.(2)由(1)知，点F 的坐标为(1,0)．当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB|=4，|CD|=3或者|AB|=3，|CD|=4，此时四边形ACBD 的面积S=12×4×3=6.当l 1，l 2的斜率均存在时，设直线l 1的斜率为k ，则k≠0，且直线l 2的斜率为－1k.直线l 1：y=k(x －1)，l 2：y=－1k(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12=0.由直线l 1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=8k 23＋4k 2，x 1x 2=4k 2－123＋4k 2.|AB|=1＋k 2|x 1－x 2|=1＋k 21＋x 22－4x 1x 2 =1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2=2＋3＋4k 2.以－1k 代替k ，得|CD|=2＋4＋3k2. 所以四边形ACBD 的面积S=12|AB|·|CD|=2＋2＋4k 2＋3k 2≥2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋4k 2＋＋3k 222=2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋22=28849，当且仅当k 2=1，即k=±1时等号成立．由于28849<6，所以四边形ACBD 面积的最小值为28849.5.证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 214＋y 213=1，x 224＋y 223=1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2=k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k =0.由题设知x 1＋x 22=1，y 1＋y 22=m ，于是k=－34m .①由题设得0<m<32，故k<－12.(2)由题意得F(1,0)．设P(x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)=(0,0)．由(1)及题设得x 3=3－(x 1＋x 2)=1，y 3=－(y 1＋y 2)=－2m<0.又点P 在C 上，所以m=34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP ―→|=32，于是|FA ―→|=1－2＋y 21=1－2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214=2－x 12. 同理|FB ―→|=2－x 22.所以|FA ―→|＋|FB ―→|=4－12(x 1＋x 2)=3.故2|FP ―→|=|FA ―→|＋|FB ―→|，即|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB ―→|－|FA ―→||=12|x 1－x 2|=121＋x 22－4x 1x 2.② 将m=34代入①得k=－1，所以l 的方程为y=－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14=0.故x 1＋x 2=2，x 1x 2=128，代入②解得|d|=32128.所以该数列的公差为32128或－32128.6.解：(1)x 2＋y 2＋2x －2y ＋1=0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2=1，则圆心C 的坐标为(－1,1)． ∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴|CF|= ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋12＋－2=17，解得p=6. ∴抛物线E 的方程为y 2=12x.(2)显然直线l 的斜率非零，设直线l 的方程为x=my ＋t(t≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t ，得y 2－12my －12t=0，Δ=(－12m)2＋48t=48(3m 2＋t)>0， ∴y 1＋y 2=12m ，y 1y 2=－12t ，由OA ⊥OB ，得OA ―→·OB ―→=0，∴x 1x 2＋y 1y 2=0，即(m 2＋1)y 1y 2＋mt(y 1＋y 2)＋t 2=0，整理可得t 2－12t=0，∵t≠0，∴t=12，满足Δ>0，符合题意． ∴直线l 的方程为x=my ＋12，故直线l 过定点P(12,0)．∴当CP ⊥l ，即线段MP 经过圆心C(－1,1)时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值，此时k CP =1－0－1－12=－113，得m=113，此时直线l 的方程为x=113y ＋12，即13x －y －156=0.7.解：(1)由已知条件，得b=3，且2a ＋2c2×3=33，∴a ＋c=3.又a 2－c 2=3，∴a=2，c=1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23=1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x=my －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9=0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交． ∴y 1＋y 2=6m 3m 2＋4，y 1y 2=－93m 2＋4.∴S △F 2AB=12|F 1F 2||y 1－y 2|=|y 1－y 2|=1＋y 22－4y 1y 2=12m 2＋12＋2=4m 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132=41m 2＋1＋23＋12＋，令t=m 2＋1≥1，设f(t)=t ＋19t ，易知t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，函数f(t)单调递减，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞时，函数f(t)单调递增， ∴当t=m 2＋1=1，即m=0时，f(t)取得最小值，f(t)min =109，此时S △F 2AB 取得最大值3.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y23=1.(2)由题意得直线l 的方程为y=k(x ＋1)(k>0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9=0，Δ=144k 2＋144>0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2=6k 3＋4k 2，y 1y 2=－9k23＋4k2，又AF 1―→=λF 1B ―→，所以y 1=－λy 2，所以y 1y 2=－λ－λ2(y 1＋y 2)2，则－λ2λ=43＋4k 2，λ＋1λ－2=43＋4k2，因为2≤λ<3，所以12≤λ＋1λ－2<43，即12≤43＋4k 2<43，且k>0，解得0<k≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.9.解：10.(2)①证明:设P(m,0.5m2)(m>0)，由x2=2y，可得y′=x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－0.5m2=m(x－m).即y=mx－0.5m2.。

2020年高考山东版高考理科数学 10.4 圆锥曲线的综合问题

2
(1)求C的方程; (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解析
(1)由题意有
a2 a
b2
= 2 2
, a42 + b22 =1,解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为x 2 +y 2 =1.
84
(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代
入x 2 +y 2 =1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
84
故xM=x1 x2
2
= 2kb
2k 2 1
,yM=k·xM+b=2 k 2b1
.
于是直线OM的斜率kOM=xy MM =-2 1k ,即kOM·k=-12 .
消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
得xM= 12 · 4k82k2
3
= 4k 2
4k 2
3
,yM=k(xM-1)=-4 k32k
3
,
同理可得xN= 4
4 3k
2
,yN=- 1 (xN-1)= 3k
k
4 3k
2
,
若M,N关于x轴对称后得到M',N',
则得到的直线M'N'与MN关于x轴对称,
是k>0,k≠3.
由(1)得OM的方程为y=- 9 x.
k
设点P的横坐标为xP.
由

y

9 k

2020年理科数学高考大题专项5 直线与圆锥曲线压轴大题

考情分析必备知识
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为 k(k≠0)的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则所得弦长|P1P2|= 1 + ��2·|x1-x2|或|P1P2|= 1 + ��1��2|y1-y2|. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算(利用两点间距
则
S=2��△��1 =2×
1 2
×|F1F2|×|y1-y2|=2×
3��2��+�� 4=24×
3��22++41.
设 t= ��2 + 1,则 m2=t2-1(t≥1),
所以 S=24× 3��2��+1=24× 3��1+1��,因为 t≥1,所以 3t+1�� ≥4, 所以 S∈(0,6],所以四边形 AMBF1 面积的最大值为 6.
考情概览·备考定向
-16-
题型一
题型二
题型三
解 (1)设切点为 Q x0,��4��02 ,y'=12x,则 k1=��2��0,
∴Q 点处的切线方程为 y-��4��02 = ��2��0(x-x0). ∵直线 l 过点 P,∴-��4��02 = ��2��0(a-x0),解得 x0=2a 或 x0=0.
考情分析必备知识
5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴
的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为
2��2 ��
,过椭圆焦点的弦中通

2020年高考全国ⅰ、ⅱ、ⅲ卷数学(理)圆锥曲线解答题对比

1．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB =．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．2．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D两点，且4||||3CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点．若||5MF =，求1C 与2C 的标准方程．3．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积．参考答案与试题解析1．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆222:1(1)xE y aa+=>的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB=．P 为直线6x=上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：如图示：（1）由题意(,0)A a-，(,0)B a，(0,1)G，∴(,1)AG a=，(,1)GB a=-，218AG GB a=-=，解得：3a=，故椭圆E的方程是2219xy+=；（2）由（1）知(3,0)A-，(3,0)B，设(6,)P m，则直线PA的方程是(3)9my x=+，联立22222219(9)69810(3)9xym x m x mmy x⎧+=⎪⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎪⎩，由韦达定理2222981327399c cm mx xm m--+-=⇒=++，代入直线PA的方程为(3)9my x=+得：269cmym=+，即22327(9mCm-++，26)9mm+，直线PB的方程是(3)3my x=-，联立方程22222219(1)6990(3)3x y m x m x m m y x ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩，由韦达定理22229933311D D m m x x m m --=⇒=++，代入直线PB 的方程为(3)3m y x =-得221D my m -=+，即2233(1m D m -+，22)1mm -+，∴直线CD 的斜率243(3)C D CD C D y y mK x x m -==--， ∴直线CD 的方程是22222433()13(3)1m m m y x m m m ---=-+-+，整理得：243()3(3)2m y x m =--，故直线CD 过定点3(2，0)．【点评】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线方程问题，是一道综合题．2．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D两点，且4||||3CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点．若||5MF =，求1C 与2C 的标准方程．【解答】解：（1）因为F 为1C 的焦点且AB x ⊥轴，可得(,0)F c ，22||b AB a=，设2C 的标准方程为22(0)y px p =>，因为F 为2C 的焦点且CD x ⊥轴，所以(2pF ，0)，||2CD p =，因为4||||3CD AB =，1C ，2C 的焦点重合，所以224223p c bp a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去p ，可得2843b c a=，所以232ac b =，所以22322ac a c =-，设1C 的离心率为e ，由ce a=，则22320e e +-=，解得1(22e =-舍去），故1C 的离心率为12；（2）由（1）可得2a c =，3b c =，2p c =，所以22122:143x y C c c+=，22:4C y cx =，联立两曲线方程，消去y ，可得22316120x cx c +-=，所以(32)(6)0x c x c -+=，解得23x c =或6x c =-（舍去），从而25||5233p MF x c c c =+=+==，解得3c =，所以1C 和2C 的标准方程分别为2213627x y +=，212y x =．【点评】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<15，A ，B 分别为C的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积．【解答】解：（1）由c e a =得2221b e a =-，即21511625m =-，22516m ∴=，故C 的方程是：221612525x y +=；（2）由（1）(5,0)A -，设(,)P s t ，点(6,)Q n ，根据对称性，只需考虑0n >的情况，此时55s -<<，504t<， ||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①，又BP BQ ⊥，50s nt ∴-+=②，又221612525s t +=③，联立①②③得312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，则(3,1)P ，(6,2)Q ，而(5,0)A -，则(8,1)AP =，(11,2)AQ =，15|82111|22APQ S ∆∴=⨯-⨯=，同理可得当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S ∆=，综上，APQ ∆的面积是52．【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．。

2020届高考数学突破圆锥曲线压轴题专题专题03 最值问题(精讲篇)

专题03 最值问题作者：上海市特级教师文卫星最值（含范围）问题是解析几何中常见的问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现.求最值的思维导图如右最大最小为最值单调二次不等式几何有界也有用具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k+=++=+=+，同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k+=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα，例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求某量最值化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α，当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=.注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t =+， 2214()816AB DE t t +=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤. 当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U .思路点拨要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩ 直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3.解2 (,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin+=1r θϕ=（），即3455x ,y ==.另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y +的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．xy BA –1–2–3–412341234例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线220x y +-=的距离，d ==()22min45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13xy +=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ =-⋅u u u r u u u r+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++.联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，，解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++.因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ PA PB =-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.第（2）题可设SOMθ∠=，则2SOTθ∠=，则23sin23ABMCOM OC ABθ==+.223OCAB=+⋅，只要求sinθ的最小值，即只要求OCAB的最小值.(2) 设SOMθ∠=，则2SOTθ∠=，且223sin2233ABMCOCOM OC ABABθ===++⋅.设1122(,),(,)A x yB x y，联立方程22112xyy k x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x+--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+.联立方程221124x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注 211k OCAB +=22=令21112,1(0,1)t k t t =+>∈，，则211=2t k -，代入上式整理得OC AB =当且仅当112t=，即2t =时OC AB的最小值23，此时12k =±.思路点拨第（1）题直接计算可得。

2020年高考数学试题分项版解析专题10 圆锥曲线(学生版) 理

2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题10 圆锥曲线（学生版）一、选择题:1.(2020年高考新课标全国卷理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 452.(2020年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83. (2020年高考福建卷理科8)双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A ．5B ．24C ．3D ．56.(2020年高考安徽卷理科9)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（）()A 22 ()B 2 ()C 322()D 228. (2020年高考四川卷理科8)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（） A 、22 B 、23 C 、4 D 、259．(2020年高考全国卷理科3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=二、填空题:1. （2020年高考江苏卷8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为．2．(2020年高考北京卷理科12)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。

专题20 圆锥曲线的综合问题(解析版)

专题20 圆锥曲线的综合问题命题规律内容典型１圆锥曲线中的弦长（面积）问题 2020年高考全国Ⅲ卷理数20 ２圆锥曲线中的定点问题 2020年高考全国Ⅲ卷理数20 ３圆锥曲线中的最值问题 2020年高考浙江卷21 ４圆锥曲线中的定值问题 2020•山东高考，22 ５圆锥曲线中的取值范围问题 2020•上海高考,20 6圆锥曲线中的证明问题2018年高考全国Ⅲ理数命题规律一圆锥曲线中的弦长（面积）问题【解决之道】圆锥曲线中的弦长（面积）问题，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数20】已知椭圆()222:10525x y C m m +=<<，,A B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且,BP BQ BP BQ =⊥，求△APQ 的面积．【解析】解法一：（1）由c e a =，得2221b e a =-，即21511625m =-，∴22516m =，故C 的方程为221612525x y +=．（2）设点P 的坐标为(,)s t ，点Q 的坐标为(6,)n ，根据对称性，只需考虑0n >的情形，此时55s -<<，504t<． ∵||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+ ①．又∵BP BQ ⊥，∴50s nt -+= ②．又221612525s t +=③．联立①、②、③，可得，312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP =，(11,2)AQ =，∴22215()|82111|22APQ S AP AQ AP AQ =⋅-⋅=⨯-⨯=△．同理可得，当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S =△．综上所述，可得APQ △的面积为52．解法二：（1）222:1(05)25x y C m m +=<<，∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，根据题意画出图形，如图，||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=．设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-， ①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图，(5,0)A-，(6,2)Q，可求得直线AQ的直线方程为：211100x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：5d===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522⨯=．②当P点为(3,1)-时，故5+38MB==，PMB BNQ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图，(5,0)A-，(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d===，根据两点间距离公式可得：AQ==∴APQ面积为：1522=．综上所述，APQ面积为：52．2.【2020年高考天津卷18】已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个顶点为(0,3)A-，右焦点为F，且||||OA OF=，其中O为原点．（Ⅲ）求椭圆的方程；（Ⅲ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】（Ⅲ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅲ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+．将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-．3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． 323AP PB =（1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 4.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2或．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -．由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =±所以，直线PB的斜率为5或5-． 5.【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.6.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．7.．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，圆O 的方程为223x y +=；（2）①；②y =+．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．8.【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）111228或．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以k 的值为111228或．命题规律二圆锥曲线中定点问题【解决之道】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数20】已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图像：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-，∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=．（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+，∴点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭，整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- .整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±. 当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或3.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠. 由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.命题规律三圆锥曲线中的最值问题【解决之道】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【三年高考】1.【2020年高考江苏卷18】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）12AF F ∆的周长226l a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设点(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t =--，令24a x c ==得361232 12(1)Q t t y t t --==--，即123(4,)22t Q t --，123(4,)22t QP t t -=--， 224(2)44OP QP t t t ⋅=-=--≥-，即OP QP ⋅的最小值为4-．（3）设 O 到直线AB 的距离为1d ，M 到直线AB 的距离为2d ，若213S S =，则2111||||322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，由（1）可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，∴135d =，295d =．由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12．当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-，联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Nx y =⎧⎪-=⎨-⎪⎪⎪⎩， ∴(2,0)M 或212(,)77--．当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+，联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得221182404x x ++=，9(3656)0∆=⨯-<，∴无解．综上所述，M 点坐标为(2,0)或212(,)77--． 2.【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅲ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅲ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解析】（Ⅲ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅲ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M m l x y x y λ=+由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩ 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++ 由M 在抛物线上，∴()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++ 22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩ 12101021202222222y y p x x y m y m p mmx p m λλλλλλ∴+=∴+=+++=+∴=+-+由22221{42,22x y x px y px+=⇒+==即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+18p ≥，21160p ≤，p ≤ ∴p的最大值为40，此时(55A ．3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖．设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．4.【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为1+G （2，0）．【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，12212221343242S m S m m m m m =-=--=+++++. 当m =时，12S S 取得最小值1+G （2，0）．命题规律四圆锥曲线中的定值问题【解决之道】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值． (2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为【三年高考】1.（2020•山东高考，22）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点(2,1)A ．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【解析】（1）离心率c e a ==a ∴=，又222a b c =+， b c ∴=，a =，把点(2,1)A 代入椭圆方程得，224112b b+=，解得23b =，故椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4260k x kmx m +++-=，由△222(4)4(21)(26)0km k m =-+->，知2263m k <+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则122421kmx x k +=-+，21222621m x x k -=+，AM AN⊥，∴1(2AM AN x =-，121)(2y x --，21)0y -=，即221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=，22222264(1)(2)()2502121m kmk km k m m k k -∴++---+-+=++，化简整理得，2248321(21)(231)0k km m m k m k m ++--=+-++=， 12m k ∴=-或213k m +=-，当12m k =-时，21y kx k =-+，过定点(2,1)A ，不符合题意，舍去；当213k m +=-时，213k y kx +=-，过定点21(,)33-．设0(D x ，0)y ，则00y kx m =+， ()i 若0k ≠，AD MN ⊥，∴00112kx m k x +-=--，解得20224633k k x k ++=+，20234133k k y k +-=+， ∴22422222002222412422428(21)8()()()()3333339(1)9k k k k k k x y kk k -+++-++-+-=+==+++，∴点D 在以4(3，1)3为半径的圆上，故存在4(3Q ，1)3，使得||DQ =，为定值．()ii 若0k =，则直线MN 的方程为13y =-，AD MN ⊥，1(2,)3D ∴-，||DQ ∴=，为定值．②当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为x t =，(,)M t s ，(,)N t s -，且22163t s +=，AM AN ⊥，∴(2AM AN t =-，1)(2s t --，22231)454202s t t s tt --=--+=-+=，解得23t =或2（舍2)，2(3D ∴，1)，此时||DQ ==，为定值．综上所述，存在定点4(3Q ，1)3，使得||DQ ．2.【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）见解析.【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k <0或0<k <1．又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（1）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线P A 的方程为1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．命题规律五圆锥曲线中的取值范围问题【解决之道】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【三年高考】1.（2020•上海,20）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第一象限），曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b 2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；（3）过点2(0,2)2b D +斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ，并求OM ON 的取值范围．【解析】（1）由A x =，点A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立222222144A A A Ax y bx y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得A y =，2b =；（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，又1||8PF =，24a =，所以2||844PF =-=，因为b =3c =，所以12||6F F =，在△12PF F 中，由余弦定理可得22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=6416361128416+-==⨯⨯，由120F PF π<∠<，可得1211arccos16F PF ∠=；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l 的距离24||b d +== 所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以2OM k b =，并设2:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，可得222244x x b b+=+，可得x b =，2y =，即(,2)M b ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144A A A Ax y b x y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得422A b y a b =+，所以有4244b b<+，解得22b >+22b <-，因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b =+，所以246OM ON b =+>+，则(6OM ON ∈+)+∞．2.【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）]4．【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．命题规律六圆锥曲线中的证明问题【解决之道】圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【三年高考】1.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）y x =或y x =；（2）见解析. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =．（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．2.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-．由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22x FA x ===-，同理2||22x FB =-，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=．① 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||d =或。

2020高考圆锥曲线试题带答案

一选择题
1. 如果方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是（ 4m m3
A． 3 m 4
B． m 7 2
C． 3 m 7 2
D． 7 m 4 2
2．如图，F1，F2 是双曲线
C：
x2 a2

y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左、右焦
4
2
4
1
A.
B.
C.
D.
5
3
7
2
7.若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是
（ D）
A.( 15 , 15 ) 33
B.(0, 15 ) 3
C.( 15 , 0) 3
D.( 15 , 1) 3
8. 已知直线 l1, l2 是经过椭圆
F2
'( 0 , 6 )
,
设所求双曲线的标准方程为 y 2 a2

x2 b2
1(a

0, b

0) ,
由题意知半焦距 c =6,
2a 4 5 a 2 5 ∴ b 4 ,
故所求双曲线的标准方程为 y 2 x 2 1 . 20 16
考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.
则点 P 的轨迹方程为___ y 4(x 2) _____.
三解答题 1. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 (2, 0), (2, 0) , 并且经过点 ( 5 , 3) , 求它的标准方程.
22
16.由椭圆定义知 2a

5 2

2
2

2020高考数学分项汇编专项09圆锥曲线(含解析)理

得 OQM ONQ ？假设存在，求点 Q 的坐标；假设不存在，说明理由．
x2
【答案】 (1)
y2
m
1, M(
,0) ,(2) 存在点 Q（0， 2）
2
1n
考点： 1. 求椭圆方程； 2. 求直线方程及与坐标轴的交点； 3. 存在性问题 .
椭圆上，假设 | PF1 | 4 ，那么 | PF2 | _________； F1PF2 的小大为 __________.
【答案】 2, 120
考点：圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理
.
4. 【 2018 高考北京理第 13 题】双曲线 x 2 a2
y2 b2
x2 1 的离心率为 2，焦点与椭圆
16. 【 2019 高考北京理第 19 题】〔本小题总分值 14〕
椭圆 C ： x2 2 y2 4 . 〔 1〕求椭圆 C 的离心率；〔 2〕设 O 为原点，假设点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y 2 上，且 OA OB ，试判断直线 AB 与圆 x2 y 2 2 的位置关系，并证明你的结论 .
14. 【 2019 高考北京理第 19 题】〔本小题共 14 分〕
曲线 C : 5 m x2 m 2 y2 8 m R . 〔 1〕假设曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；〔 2〕设 m 4 ，曲线 C 与 y 轴的交点为 A ， B 〔点 A 位于点 B 的上方〕，直线 y kx 4 与曲线 C 交于不同的两点 M ， N ，直线 y 1与直线 BM 交于点 G ，求证： A ， G ， N
10. 【 2018 高考北京理第 19 题】〔本小题共 14 分〕
菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2 3y2 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1．〔Ⅰ〕当直线 BD 过点 (0，1) 时，求直线 AC 的方程；〔Ⅱ〕当 ABC 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值．

【600分考点-700分考法】2020版高考数学(理科)：专题(10)圆锥曲线课件(附答案)

8
考点一椭圆 4．椭圆中的特殊量
9
考点一椭圆
对于椭圆
由焦半径公式
可得，椭
圆上任一点P到焦点F1的最小距离为a－c，最大距离为a＋c，此时点P在长轴的两端点处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论．
(2)椭圆的焦点弦
当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦．当弦过
焦点时，称其为焦点弦．
设
是椭圆
上两点，若弦AB过左焦点F1，则
10
考点一椭圆
(3)椭圆的焦点三角形
设F1，F2为椭圆则△PF1F2为焦点三角形．如图所示，
的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶点的点，
11
考点一椭圆
⑥焦点三角形的周长是2(a＋c)．
⑦若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交线段F1F2于点Q， (角平分线定理)，
求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程．
14
考点一椭圆 2．椭圆系方程
15
考点一椭圆
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－12，0)，(12，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和
19
考点一椭圆
20
考点一椭圆
21
考点一椭圆方法2 椭圆定义的应用
椭圆定义的应用类型及方法
(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆；
(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定
理可求得|PF1|·|PF2|，再结合
进行转化，进而求得

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2020高考数学圆锥曲线最值问题大题精做理科
1.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，B 为其短轴的一个端点，1F ，2F 分别为其左右两个
焦点，已知三角形
12BF F 121
cos 3
F BF ∠=．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线22:0,3l y kx m m k ⎛
⎫=+≠≠ ⎪⎝
⎭与椭圆C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，M 为线段PQ
的中点，
且22
12
3x x +=，求OM PQ ⋅的最大值．
2.已知点()1,0F -，直线:4l x =-，P 为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫
-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围．（O 为坐标原点）
3.如图，已知抛物线2:2C y px =和()2
2:41M x y -+=，过抛线C 上一点()()
000,1H x y y ≥作两条直线与M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为
17
4
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；（3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．
4.已知直线2
p
y x =-
与抛物线()2:20C y px p =>交于B ，D 两点，线段BD 的中点为A ，点F 为C 的焦点，且OAF △（O 为坐标原点）的面积为1．（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点()2,2G 作斜率为()2k k ≥的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线OM ，ON 分别交直线2y x =+于P ，Q 两点，求PQ 的最大值．
1.【答案】（1）22132x y +=；
（2）5
2
．【解析】（1）由22222122
22411
cos 3233
a c c F BF a c a a -∠==⇒=⇒=，222
b
c =，
12121cos sin 3F BF F BF ∠=⇒∠=
，
结合1222132F BF S a a ===△，22b ⇒=，
故椭圆C 的方程为22
132
x y +=．
另解：依题意：12
122
F BF S cb bc =⨯==△2212
12212cos 2cos
1233F BF b F BF a ∠∠=-=⇒=，解得2
3a =，2
2b =，故椭圆C 的方程为22
132
x y +=．
（2）联立
()()222222222
3263602432032236
y kx m
k x kmx m Δk m k m x y =+⇒+++-⎧⎨⎩=⇒=+->⇒+>+=．且122632
km
x x k -+=+，21223632m x x k -=+；
依题意()()
()
()222
22
12
12122
22
626323332
32m km x x x x x x k k
--+=⇒+-=⇒-
=++，
化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；
设()00,M x y ，由()()22
112222
012121222
120222362233236
x y x y y x x y y k x x y x y ⎧⎪⎨+=-⇒-=--⇒==--+=⎪⎩，又00y kx m =+，解得31,2k M m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
22222943142k m OM m m +-⇒=
=， ()()
()
()
()2222
2
222
2
122
2
222243222111251132432k m m PQ k
x x k
OM PQ m m m k +-+⎛
⎫⎛⎫=+-=+=
⇒⋅=-+≤
⎪⎪⎝
⎭⎝⎭+， 52OM PQ ⋅≤
．当且仅当221132m m -=+
，即m =时，OM PQ ⋅的最大值为5
2
． 2.【答案】（1）22143x y +=；
（2）30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
．【解析】（1）设动点(),P x y ，则()4,M y -，
由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，2214PF PM ∴=，
即2
214PF PM ∴=，()222
1144
x y x ∴++=+，化简得22143x y +=．
（2）由（1）知轨迹C 的方程为22143x y +=，
当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭， 13
22
OAB S AB OF ∴=
⋅=△，当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为()10x my m =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22
1
14
3x my x y ⎧⎪
⎨-+=⎪⎩=，得()
2234690m y my +--=．则21441440Δm =+>，122634m y y m +=+，12
29
34
y y m -=+，
1211122
OAB
S OF y y =⋅-=⨯△
=
=，
令()211m t t +=>
，则
OAB S ==△，
令()196f t t t =++，则()21
9f t t
'=-，当1t >时，()0f t '>，
()1
96f t t t
∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f
∴>=，32OAB S ∴<=△，综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
．
3．【答案】（1）2y x =；（2）1
4
-；（3）11-．
【解析】（1）∵点M 到抛物线准线的距离为17424p +
=，∴1
2
p =，即抛物线C 的方程为2y x =．
（2）∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点()4,2H ，∴HE HF k k =-，设()11,E x y ，()22,F x y ，∴
1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴12
2222
12H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-．21212221212111
4
EF y y y y k x x y y y y --=
===---+．（3）设点()
()2,1H m m m ≥，2
42716HM m m =-+，2
42715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为()()2
2
242715x m y m m m -+-=-+，……①
M 方程：()2
241x y -+=．……②
①-②得：直线AB 的方程为()()
()22422442714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距()15
41t m m m
=-
≥， ∵t 关于m 的函数在[)1,+∞单调递增，∴min 11t =-． 4．【答案】（1）24y x =；（2
）【解析】（1）设()11,B x y ，()22,D x y ，则
12
12
1y y x x -=-．由2112y px =，2
2
22y px =两式相减，得()()121212()2y y y y p x x -+=-． ∴12121222x x y y p p y y -+=⋅
=-，所以点A 的纵坐标为12
2
y y p +=， ∴OAF △的面积1122
p
S p =⨯⨯=，解得2p =．故所求抛物线的标准方程为24y x =．
（2）直线l 的方程为()22y k x -=-．
由方程组()2224y k x y x
-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，得24880ky y k --+=．设2
33,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，244,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则344y y k +=，348
8y y k =-．
直线OM 的方程为34
y x y =
，代入2y x =+，解得3324y x y =-，所以33328,44y P y y ⎛⎫ ⎪--⎝
⎭．同理得44428,44y Q y y ⎛⎫
⎪--⎝⎭
．
所以
48
4PQ y ===-
== 因为2k ≥，所以1102k <≤，所以当11
2
k =，即2
k =时，PQ 取得最大值。