定积分几何意义的动态演示

定积分几何意义的动态演示

------兼谈几何画板的制图方法

孙国庆 沿河县第二中学 565300

定积分是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2中的重要内容，它的几何意义是：如果在区间],[b a 上函数)(x f 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰b

a dx x f )(表示由直线0,,===y

b x a x 和)(x f y =所围成的曲边梯形（图1）的面积.为了求曲边梯形的面积，主要采取“分割、近似代替、求和、取极限”等步骤来完成，在教学过中如果借助几何画板，可以形象直观地展示“以直代曲”“逼近”的过程，为帮助学生理解定积分的定义.本文拟借助几何画板求以2)(x x f =为曲边的曲边梯形面积的过程，渗透“以直代曲”的方法和极限思想.

一．用几何画板制作曲边梯形

步骤1.单击“图表”中的“正方形网格”，在横坐标轴上

“构造”线段AB ，分别“度量”出点A 、B 的值作为区间[b a ,]. 步骤2.在线段AB 上“构造”一点C ，并“度量”点C 的

“横坐标”得C x 的横坐标值.

步骤3.在“图表”中“新建函数”2)(x x f =，单击“度量”

中的“计算”，在“新建计算”框中点击2)(x x f =，再点击C x 点“确定”得函数2)(x x f =的纵坐标值.

步骤4.先后选中度量值C x 、2

C x ，单击“图表”中的“绘

制点”，得函数2)(x x f =图象上的一个点1C .

步骤5.先后选中点C 和1C ，单击“构造”中的“轨迹”，得函数2)(x x f =在区间[b a ,]上的图象.

步骤6.重复步骤3、4分别得出点A 、B 在函数图象上的

对应点1A 、1B ，再分别“构造”线段1AA 、1BB ，得曲边梯形11A ABB （如图1）. 二、对曲边梯形进行均匀分割

步骤1.在线段AB 上“构造”一点D ，重复上述“一”中的步骤6画线段1DD .

步骤2.“度量”线段AB 的长度，在“图表”中“新建参数”n 作为分割数，这里不妨设为6=n ，在“度量”中“计算”51=-n （在后续制图过程中作为迭代次数），再计算出n AB 的值； 步骤3.选中n

AB ，在“变换”中“标记距离”，选中点D ，

点击“变换”中的“平移”(垂直距离设为0)得点E ，重复步

骤1得线段1EE ；

步骤4.选中n

AB ，在“变换”中“标记距离”，选中点线段1DD ，点击“变换”中的“平移”得点1D 与1EE 重合，记为点F ，构造线段F D 1，得四边形1DEFD ；

步骤5.顺次选中、D 、E 、F 、

1D ，“构造”四边形1DEFD 的内部；选项中四边形1DEFD 的内部，在“度量”中“计

算”四边形1DEFD 的面积，并将标签改为0S ，“度量”坐标

原点和横坐标上的单位点的距离OG ，“计算”

OG

S 0，并将标签改为S . 步骤6.在“图表”中“新建参数”0=T ，在“度量”中“计算”T S +,得图2 步骤7.顺次选中点D 、参数T 、迭代次数1-n ，并按住shift 键，点击“变换”中的“带参数的迭代”，使之分别从E D →、T S T +→的原象到象的映射；

步骤8.对点D 进行分离，点击点D ，单击“编辑”中的“从线段中分离点”,如图4。

步骤9.对点D 与A 进行合并，分别选中点D 、A ，单击“编辑”中的“合并点”，如图5.

三、动态演示

1、改变分割次数，可以发现，随着分割次数的不断增加，

其小矩形的面积之和越接近于曲边梯形的面积，如取

1000=n 时，如图6，

2、拖动点A 或B 可以改变区间的大小，如将点拖到与原点重合时，得到如图7所示的面积。

四、制图说明

几何画板一个最重要的特点是，在运动中保持几

何关系的不变性，本文在制图过程运用了几何画板中

的大部分功能，如“编辑”菜单中对点的分离与合并

功能，“构造”菜单中线段的构造及多边形内部的构

造，“变换”菜单中的平移功能和带参数的迭代功

能，“度量”菜单中的计算功能，“图表”菜单

中的绘制点功能、新建参数、新建函数功能及绘制新函数功能等等。

同时利用“带参数的迭代”功能可以看出，当n越大，曲边梯形的面积T

S 的值越趋近于0.33,如图8所示.

综上所述,几何画板是一个功能强大的数学辅助教学软件,充分利用它在运动中保持几何关系的不变性,可以形象直观地解决数学教学中的有关问题,从而达到事半功倍的效果.