模糊推理以及逻辑运算(重点参考第5页后的内容)

y为B
B ( y)

B ( y ) sup [ A ( x ) A B ( x, y )]
*
x A

关于 B ( y)的计算
1 假定 对x x, A* ( x ) 1; 对 x x, A* ( x ) 0, ） x U ; 2) A B ( x, y )用极小 (min) 三角范式计算。
1. 直接 基于模糊规则的推理
• 当模糊推理的输人信息是量化的数值时，可以 直接基于模糊规则作推理，然后把推理结论综 合起来，典型的推理过程可以分为两个阶段， 其中第一阶段又分为三个步骤，表述如下： （1）计算每条模糊规则的结论：①输入量 模糊化，即求出输入量相对于语言变量各定性 值的隶属度；②计算规则前提部分模糊命题的 逻辑组合（合取、析取和取反的组合）；③将 规则前提逻辑组合的隶属程度与结论命题的隶 属函数作min运算，求得结论的模糊程度。
x，y
1 1 1
x，y
{ [ A ( x) B ( y )] [ A2 ( x) B2 ( y ) C2 ( z )]}
（11 12 C1 } （ 21 22 C2 } { ） { ）
模糊推理可以分几步： 1）计算兼容度； 2）求激励强度； 3）求定性（演译）结果； 4）求总输出结果。
Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 A B ( x, y ) min[ A ( x), B ( y )] ˆ A B ( x, y ) [ A ( x) B ( y )] ˆ
这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。
隐含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。 逻 辑 关 系 用 真 值 表 示
不在教书，是教师；
在教书，不是教师。
p q T T F F T F T F
pq pq
T F F F T T T F
p q p q ~ p
T F T T
T F F T
F F T T
传统命题逻辑的基本公理：
1。 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2。 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3。 合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复（隐含） ( p q) ~ [ p (~ q)] ( p q) (~ p) q (~ p) q
或
A B ( x, y ) 1 [ A ( x) (1 B ( y ))] A B ( x, y ) min[(1, (1 A ( x) B ( y ))]
在连续域情况下，应用于推理会发生问题！
x为A
If-then规则 A B ( x, y )
模糊推理系统
规则库
精确输入
max[( 1 p ( x)), q ( y )]
pq ( x, y) 1 p ( x)(1 q ( y))
( p q) ~ [ p (~ q)] （乘积）
pq ( x, y) min[( , (1 p ( x) q ( y))] (~ p) q（有界和） 1
B ( y ) sup[ A ( x)☆ A B ( x, y )]
*
xA
*
A* ( x) ☆ A B ( x, y )
(对x x)
1 ☆ A B ( x, y ) min[1, A B ( x, y )] A B ( x, y ) 1 min[ A* ( x), (1 B ( y )) ]
从真值表可以获得证明：
p q p q ~ q p (~ q) ~ [ p (~ q)] ~ p (~ p) q
T T T F T F T T F T F T F T F F T F T T F F T T T F T T
F T F F
隐含隶属函数表达式 pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x), (1 q ( y))] 或 p q ( x, y ) p q ( x, y ) max[ p ( x), q ( y )]
隶属函数的计算
B ( y ) [ A ( x ) B ( y )] [ A ( x ) B ( y ) C ( z )]
x，y x, y
[( A ( x ) B ( y ) A ( x ) B ( y )] C ( z ) {[( A ( x ) A ( x ))]} {[ B ( y ) B ( y )]} C ( z )
p (x) q ( y ) 1- p (x) 1- q ( y ) max[ 1 p ( x), q ( y)]
1 min[ p ( x),1 q ( y)]
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 0 1 1
传统命题逻辑的推理
x y
(1 2 ) c ( z )
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 （规则2 3 ） 结果（结论） x是A, y是B if x 是A1和 y是B1 , then Z是C1 if x 是A2和 y是B2 , then Z是C2 z是 C
C1
p q ,“交” p q , “并”
p q,
“if then”
5)
~p 等效关系 Equivalence p q ，“p即
q”。
一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 2） 前提是假，结论是假； 在教书，是教师； 不教书，不是教师；
3） 前提是假，结论是真。
A (x)
AB ( x, y) min[ A ( x), B ( y)] ˆ
AB ( x, y) [ A ( x) B ( y)] ˆ
x x
模糊隐含
x x
模糊推理
1. 单个前提单个规则:
前提（事实） 1 前提 2 （规则） 结果（结论） x是A if x 是A, then y是B y是B
B ( y ) [ A ( x ) A ( x ) B ( y )]
x
[ ( A ( x ) A ( x ))] B ( y )
x
B ( y)
（m ax m in 复合运算）
2. 多前提单规则
前提（事实） 1 前提 2 （规则 1 ） 结果（结论） x是A, y是B if x 是A 和 y是B, then Z是C z是 C
（2）对所有规则结论的模糊程度作max运算，得到模糊 推理结果。 作为例子，我们观察图7.16所示的模糊控制。设想经 验知识库中包括九条规则，如表7.1所示。描述温差θ、 温度变化率dθ和燃料流量修正量y这三个论域的语言变 量具有相同的定性值和隶属函数，且这三个论域均归 化到实数域［-1,1］上。这些定性值取以下术语： NB（负大），NS（负小）、ZO（零），PS（正 小），PB（正大） 相应的隶属函数如图7.17所示。设模糊控制器当前输入 的数量值为：θ = 0.8，dθ = 0，则有两条规则激活：
1 假言推理 (Modus Ponens) ） 前提（事实） 1 前提 2 （规则） 结论 x是A if x 是 A, then y 是B y是B [( p ( p q)) q]
2) 否定前提的假言推理 前提（事实） 1 前提 2 （规则） 结论
(Modus Tollens)
y不是 B if x 是 A, then y 是B x不 是 A [( q ( p q)) p ]
确逻辑（传统逻辑）的一些概念
命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, 2）析取 Disjunction 3）隐含 Implication 4) 逆操作 Inversion
C2
C1
C2
C
隶属函数的计算
C ( A B) ( R1 R2 ) [( A B) R1 ] [( A B) R2 ] C1 C 2
B ( y) { [ A ( x) B ( y)] [ A ( x) B ( y ) C ( z )]}
0
取上界：
B ( y ) 1 min[ 0, A B ( x x, y )] 1

说明二点： 1）对 x x 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定
模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2）对 x x 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1， 来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。
称为工程隐含
用真值表表示：(精确隐含)
A (x) B ( y)
1 1 0 0 1
B ( y)
min[ A ( x), B ( y)] A ( x) B ( y)
1 0 1 0 1
1 0 0 0 1
B ( y)

1 0 0 0 1
A (x)
B ( y)

模糊推理
模糊推理有多种模式，其中最重要的且广泛应用的是基于模糊规则的 推理。模糊规则的前提是模糊命题的逻辑组合（经由合取、析取和取反 操作），作为推理的条件；结论是表示推理结果的模糊命题。所有模糊 命题成立的精确程度（或模糊程度）均以相应语言变量定性值的隶属函 数来表示。 模糊规则由应用领域专家凭经验知识来制定，并可在应用系统的调试 和运行过程中，逐步修正和完善。模糊规则连同各语言变量的隶属函数 一起构成了应用系统的知识库。基于规则的模糊推理实际上是按模糊规 则指示的模糊关系作模糊合成运算的过程。 建立在论域 U1，U2，…，Un上的一个模糊关系 是笛卡尔积 U1×U2×…×Un上的模糊集合。若这些论域的元素变量分别为 ，则R的 隶属函数记为 。模糊关系 可形式地定义为 在模糊推理中，尚未建立一致的理论去指导模糊关系的构造。这意味 着存在着多种构造模糊关系的方法，相关的模糊合成运算方法也不同， 从而形成了多种风格的模糊推理方法。不过，基于max-min原则的算法占 居了目前模糊推理方法的主流。尽管这些算法不能说是最优的，但易于 实现并能有效地解决实际问题，因此它们已广泛地应用于模糊推理。