线性代数课件42线性代数方程组的解

当 l = 0 时， r(A) = 1， r(A,b) = 2 ，无解.
1 1 1 0 ( A, b) 1 1 1 3 1 1 1 0
1 1 1 0 r ~ 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 l l 1 l 1 r ( A b) 1 1 l 1 3 ~ 0 l l 3l 1 0 0 l (3 l ) (1 l )(3 l ) 1 1 l l
1 1 0 1 l ( A, b) 1 1 l 1 3 1 1 1 l l
解2 因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的 充要条件是 |A| ≠ 0 ．
1 l | A | 1 1
1
1
1 l 1 (3 l )l 2 1 1 l
于是当 l ≠ 0 且 l ≠−3 时，方程组有唯一解． 余下的步骤同解法1
解
对系数矩阵施行初等行变换
1 2 2 1 r 2r 1 2 2 1 1 2 0 3 6 4 A 2 1 2 2 r3 r1 0 3 6 4 1 1 4 3
1 2 2 1 r 2r r3 r2 2 1 0 1 2 4 3 r2 ( 3) 0 0 0 0 故 r(A)=2, 又n=4, 方程组有非零解且带有 n-r(A)=2常数. 与原方程组同 5 解的方程组 x1 2 x3 x4
5 3 称非零解向 x1 2 量1， 2 构 x2 2 4 或 c1 c2 x3 1 3 成该方程组的 0 基础解系 0 x4 1
1 2 1 1 1 1 2 1 A b 4 6 2 2 6 9 7 3
解
2 1 r 4 0 ~ 4 0 9 0
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
x3 4 x1 得与原方程组同解的方程组 x2 x3 3 x4 3
1 0 1 1 1 l l 1 l 1 r ( A b) 1 1 l 1 3 ~ 0 l l 3l 1 0 0 l (3 l ) (1 l )(3 l ) 1 1 l l
于是 当 l ≠ 0 且 l ≠−3 时，r(A) = r(A,b) = 3 ，有唯一解．
若记它的矩阵形式为
Ax O
问题 对齐次方程组，在何种情况下有非平凡解，以 及怎样表示出其所有的解？
定理 m×n齐次线性方程组存在非平凡解的充分必要条 件是系数矩阵之秩小于未知数个数，即 r(A) ＜n，且在能 得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数.
证明 对m n的系数矩阵A,可建立标准形
0 3 0 4 0 1 1 1
x1 = 3，x2 = −4，x3 = − 1，x4 = 1．
例 求解非齐次线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 x x 2x x 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 2 4 4 9
说明 齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解 . A=PNQ,其中P,Q分别是m阶、n阶的满秩矩阵
例 求3×4齐次方程组的解 方程组Ax=0,可写成PNQx=0 ,若记 Qx= y(y是
x1 2 x2 2 x3 x4 0 一一对应的n维向量,因有x=Q-1y)则可将 Ax= 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x PNy =0,即Ny=0. 1 x 2 4 x3 3 x 4 0
解 增广矩阵
1 2 1 1 1 1 2 1 ( A b) 4 6 2 2 6 9 7 3
2 1 r 4 0 ~ 4 0 9 0
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
r(A) = r(A, b) = 3 < 4（未知数的个数） 故原线性方程组有无穷多解．
r(A) = 2，r(A, b) = 3 ， r(A) < r(A, b)， 第 3 行对应的方程是 0 = 2，产生矛盾， 故原线性方程组无解．
例 求解非齐次线性方程组
2 x1 x2 5x3 x4 x 3x 6x 4 1 2 2 x 2 x 3 2 x4 x1 4 x2 7 x3 6 x4 8 9 5 0
于是 当 l ≠ 0 且 l ≠−3 时，r(A) = r(A,b) = 3 ，有唯一解．
当 l = 0 时， r(A) = 1， r(A,b) = 2 ，无解. 当 l = −3 时， r(A) = r(A,b) = 2 ，有无限多解．
2 1 1 0 1 0 1 1 r ( A, b) 1 2 1 3 ~ 0 1 1 2 1 1 2 3 0 0 0 0
解 增广矩阵
1 5 1 8 1 2 r 1 3 0 6 9 0 ( A b) ~ 0 2 1 2 5 0 6 0 0 1 4 7
r(A) = r(A, b) = 4（未知数的个数）， 故原线性方程组有唯一解．
பைடு நூலகம்
0 1 0 0
0 0 1 0
例
设有线性方程组
x2 x3 0 (1 l ) x1 x1 (1 l ) x2 x3 3 x1 x2 (1 l ) x3 l
问l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解； (3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解． 解1 对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．
x1 2x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 5 x3 3 x4 2 2 x x 2 x 2 x 3 2 3 4 1
解 增广矩阵
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( A b) 3 1 5 3 2 ~ 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 0 0 0 0 2
1 l
l
1 0 1 1 1 l l 1 l 1 r ( A b) 1 1 l 1 3 ~ 0 l l 3l 1 0 0 l (3 l ) (1 l )(3 l ) 1 1 l l
分析 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取什么值时， 第2、3行是非零行． 在第2、3行中，有5处地方出现了l ，要使这5个元素等 于零， l =0，3，−3，1 ． 实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从 方程组有唯一解入手．
3 x 2 x 4 x 2 3 4 3
1 0 2 5 3 0 1 2 4 3 0 0 0 0
5 x1 2 x3 x4 0 3 x 2x 4 x 0 2 3 4 3
5 x1 2 x3 x4 3 根据 x 2 x 4 x 2 3 4 3
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 2 3 4 1
令 x3 c1 , x4 c2， 则方程组的通解为
5 x1 2c1 3 c2 x 2c 4 c 1 2 2 3 x3 c1 x 4 c2
1 1 1 l 1 l 1 1 1 1 1 l
0 r r 1 1 1 l l 1 3 3 ~ 1 1 l 1 3 1 l l 1 1 0
1 1 0 1 l 1 1 l 1 3 1 1 1 l l 1 1 1 l l r1 r3 ~ 1 1 l 1 3 1 l 1 1 0
Ax b
矩阵Am n为系数矩阵，分块矩阵 A [ A b] 为增广矩阵， 与之具有相同系数矩阵的方程组
Ax 0
为其对应齐次方程组(也称为导出组).
非齐次方程组不一定有解，而有重要的相容性定理
定理 对非齐次方程组 Ax b 的相容性,有如下结论：
(1) 当 r ( A) r ( A) 时，方程组相容，即有解.具体为 若 r ( A) r ( A) n, 则方程组有惟一确定的解.
1 r2 r1 ~ 0 r3 (1 l ) r1 0 1 r3 r2 ~ 0 0
l l 3l l l (2 l ) l (1 l ) 1 1 l l l l 3l 0 l (3 l ) (1 l )(3 l ) 1
齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是
线性方程组的理论基础, 它们在实际应用与研究上都 十分重要, 必须熟练掌握. 一个存在解的线性代数方程组称为是相容的,否则就 是不相容或矛盾方程组.
1、齐次方程组的解的结构与性质
设有m×n齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am 1 x1 am 2 x2 a1n xn 0 一定有零解， a2 n xn 0 总相容 amn xn 0
取x3作自由变量，则
x1 x3 4 x2 x3 3 x 3 4
x1 1 4 x 令x3 = c， 2 c 1 3 ，c R x3 1 0 则其通解为 0 3 x4
若r ( A) r ( A) n, 方程组有无限多个解，其通解式中
带有n-r(A)个任意常数. （n 表示未知数的个数） (2) 当 r ( A) r ( A) 时，方程组不相容，即无解. 方法 判定 r ( A)和r ，只需对增广矩阵实施初等行变换至行 ( A) 阶梯形矩阵即可看出
例 求解非齐次线性方程组
c1和c2为两个任意常数
c11 c22
2、非齐次方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am 1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
一般m n非齐次线性代数方程组的矩阵-向量形式为