高中数学《椭圆的简单几何性质》PPT课件
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆的简单几何性质 课件
整理得 kAB＝xy22－－xy11＝－396xy22＋＋xy11，
由于 P(4,2)是 AB 的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是 kAB＝－396××84＝－12， 于是直线 AB 的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
小结 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直 线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公 式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端 点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的 关系．
椭圆的简单几何性质
1．点 P(x0，y0)与椭圆xa22＋yb22＝1 (a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔____ax_202_＋__by_202＝__1____； 点 P 在椭圆内部⇔___ax_202＋ ___by_202<_1____； 点 P 在椭圆外部⇔___ax_202_＋__by_202_>_1___.
所以x1＋2 x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12，且满足 Δ>0. 这时直线的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
方法二
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有3x6312x＋622＋y921y9＝22＝11，
两式相减得x22－36x21＋y22－9 y21＝0，
问题 3 如何求最大距离？ 答案 由图可知，k＝－25 时，直线 m 与椭圆的交点 到直线 l 的距离最大．
小结 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转 化为直线与椭圆的位置关系问题． 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相 交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离 ⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式 是最基本的工具．
3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2
y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程 任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程 椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程 椭圆关于原点对称
P1(x, y)
椭圆的简单几何性质ppt课件
解：建系如图，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点
则
a
可设椭圆方程为：x2 a2
y2 b2
1
a b 0
c | OA | | OF2 | | F2A | 6371 439
6810
y
a c | OB | | OF2 | | F2B | 6371 2384 8755
解得 a 7782.5，c 972.5 .
1
复习：
1.椭圆的ห้องสมุดไป่ตู้义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
6
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
4、已知椭圆 则m= 4或－5/4 .
的离心率为1/2，
19
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，
高中数学高二：椭圆的简单几何性质公开课课件(共21张PPT)
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
1.什么是椭圆的顶点？
椭圆与它的对称轴的四个交点
y
2.如何求椭圆的顶点坐标？ A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b)
长轴：线段A1A2
长轴长：2 a ，长半轴长：a
A1 (-a，0) F1
B2 (0,b)
b
a
o c F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
•
11、人总是珍惜为得到。2021/5/11202 1/5/112 021/5/1 1May -2111-M ay -21
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/5/112 021/5/1 12021/5/11Tu esday , May 11, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。202 1/5/112 021/5/1 12021/5/11202 1/5/115 /11/202 1
2.因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关
c
键的要素，随着今后的学习可以看到 还有更重要的几何意义.
a
10
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/5 /11202 1/5/11T uesday , May 11, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/5/1 12021/5/11202 1/5/115 /11/202 1 9:01:03 AM
椭圆的简单几何性质
1
复习回顾：
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数（大于
|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程是：
x2 a2
椭圆的简单几何性质(第1课时)(30张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
椭圆的简单几何性质
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
高二数学《椭圆的简单几何性质》PPT课件
►
► 椭圆标准方程表示的椭圆是关于x轴、y轴及
原点对称的 ► 此时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆 的对称中心即椭圆的中心。
4.离心率
2c c e ► 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 2a a ► e的取值范围：0<e<1
► 椭圆性质
:离心率e
► 离心率e表示椭圆的圆扁度，e越接近1椭圆越
扁，e越接近于0，椭圆就越圆。
四、课堂小结
►比较两种不同的椭圆标准方程所表示的
椭圆几何性质的异同
方程
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y
y2 x2 2 1 2 a b
y
a b 0
图 性
O x O x
象
质
顶点坐标 范 围
（±a，0）、（0，±b）
（0，±a）、（±b，0）
-a≤x≤a -b≤y≤b (±c，0)
2 2
2
2.范围
观察图形
y b
-a
F1
O
F2
a
x
-b
利用方程来判断
椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里
3.对称性
观察图形 ► 利用方程判断椭圆（曲线）的对称性： 若以－y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若以－x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若以－y代y，以－x代x，方程不变，则曲线关于原点对称。
8.2椭圆的简单几何性质 （一）
一、复习
► 椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。
► 焦点在x轴上的椭圆的标准方程
x2 y2 2 1 2 a b
二、讲授新课
a b 0
► 椭圆标准方程表示的椭圆是关于x轴、y轴及
原点对称的 ► 此时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆 的对称中心即椭圆的中心。
4.离心率
2c c e ► 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 2a a ► e的取值范围：0<e<1
► 椭圆性质
:离心率e
► 离心率e表示椭圆的圆扁度，e越接近1椭圆越
扁，e越接近于0，椭圆就越圆。
四、课堂小结
►比较两种不同的椭圆标准方程所表示的
椭圆几何性质的异同
方程
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y
y2 x2 2 1 2 a b
y
a b 0
图 性
O x O x
象
质
顶点坐标 范 围
（±a，0）、（0，±b）
（0，±a）、（±b，0）
-a≤x≤a -b≤y≤b (±c，0)
2 2
2
2.范围
观察图形
y b
-a
F1
O
F2
a
x
-b
利用方程来判断
椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里
3.对称性
观察图形 ► 利用方程判断椭圆（曲线）的对称性： 若以－y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若以－x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若以－y代y，以－x代x，方程不变，则曲线关于原点对称。
8.2椭圆的简单几何性质 （一）
一、复习
► 椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。
► 焦点在x轴上的椭圆的标准方程
x2 y2 2 1 2 a b
二、讲授新课
a b 0
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
谢谢
短半轴长
4.离心率
我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状
的椭圆的扁平程度相同，扁平程度是椭圆的重要形状特
征，你能用适当的量刻画椭圆的扁平程度吗？
4.离心率
我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状
的椭圆的扁平程度相同，扁平程度是椭圆的重要形状特
征，你能用适当的量刻画椭圆的扁平程度吗？
x2
你认为椭圆上a2
+
y2
b2
= 1(a > b > 0)哪些点比较特殊？为
什么？如何得到这些点的坐标？
y
1
0
2
x
3.顶点研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置
x2
你认为椭圆上a2
+
y2
b2
= 1(a > b > 0)哪些点比较特殊？为
什么？如何得到这些点的坐标？
y
2
1
2
1
2
3.顶点研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置
x2
你认为椭圆上a2
+
y2
b2
= 1(a > b > 0)哪些点比较特殊？为
什么？如何得到这些点的坐标？y Nhomakorabea2
1
2
1
2
0
1
x
线段1 2 、 1 2 分别叫做
椭圆的长轴和短轴，它们的
长分别等于2 和2 ， 和
分别叫做椭圆的长半轴长和
圆越扁平；
越接近0， 越接近0， = 2 − 2 就越近 ，这时椭
圆就越接近圆.
当且仅当 = 时， =0，这时两个焦点重合，图形变
椭圆的简单几何性质课件
∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
离心率
e＝ac＝21m＝
3 2.
m
小结 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标 准形式，不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，才能正确地写 出焦点坐标、顶点坐标等．
直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2，∴P－c，ba2.
又 PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴||FP1FF12||＝||AOOB||，∴2ba2c＝ba，∴b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
∴e2＝15，即
e＝
55，所以椭圆的离心率为
5 5.
小结 求椭圆离心率的方法： ①直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝
1－ba22求解．
②若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成ac的形式，并将其视为整体，
就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
探究点三 求椭圆的离心率
例 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB， 求此椭圆的离心率． 解 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)．
如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
探究点二 由椭圆的几何性质求方程
例2
椭圆过点(3,0)，离心率
e＝
6，求椭圆的标准方程． 3
2.1.2椭圆的简单几何性质_课件-湘教版数学选修1-1
于是a＝5，b＝4，c＝ 25－16＝3.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，
离心率e＝
c a
＝
3 5
，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，
0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
点评 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准情势，然后根据方程 判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何 性质．
①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共 点；
当m＝－ 5 或m＝ 5 时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数
根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共 点；
当m<－ 5或m> 5时，Δ<0，方程③没有实数根，直线与椭
圆没有公共点．
点评 (1)直线与椭圆公共点个数的判断方法为：联立直线与 椭圆方程，消去方程组中的y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方
2b2 r1r2
－1≥
（r12＋2b2r2）2－1＝2ab22－1(当且仅当r1＝r2时取“＝”号)．
由此可知当P点为短轴的端点时θ角最大，设∠F1PF2的最大
角为θ0，当θ0<90°时，椭圆上不存在点P使得∠F1PF2＝90°；当
θ0＝90°，椭圆上存在两个点使得∠F1PF2＝90°；当θ0>90°
2c
对称轴 x轴y轴 ，对称中心原点 e＝ac(0＜e＜1)
自主探究 1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示
可以，由于e＝ac，又c＝ a2－b2，
故e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
2.
如图所示，椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线 段或量？ 提示 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第一课时 椭圆的简单几何性质》课件
(2)依题意可设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则 c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
[方法技巧] 利用性质求椭圆方程的方法与步骤
(1)方法：利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定 系数法．
(2)步骤：①确定焦点位置； ②根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得 参数．
[对点练清] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6；
(2)过点(3,0)，离心率
e＝
6 3.
解：(1)设椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，由
[答案] (1)D (2)D
[方法技巧] 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 若已知 a，c 可直接利用 e＝ac求解．若已知 a，b
直接法 或 b，c 可借助 a2＝b2＋c2 求出 c 或 a，再代入公 式 e＝ac求解 若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b， c 的关系式，借助 a2＝b2＋c2，转化为关于 a，c
解：(1)由题设条件知，点 M23a，13b，
又 kOM＝105，从而2ba＝105.进而 a＝ 5b，c＝ a2－b2＝2b，
故
e＝ac＝2
5
5 .
(2)证明：由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为a2，－b2， 可得―NM→＝a6，56b.又―A→B ＝(－a，b)， 从而有―A→B ·―NM→＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2)，
焦点 的位置
焦点在 x 轴上
椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
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圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
[3]e与a,b的关系: e c
a2 b2
b2
1
a
a2
a2
9
问：对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
C 更接近于圆的是2
。
10
标准方程 范围
14
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 的离心率
e 3 ,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
15
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点 P 3 2, 4
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
焦点坐标
(c,0)、(-c,0)
半轴长
离心率
a、b、c的 关系
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
c2 a2 b2
11
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b e c (0<e<1)
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
6
3、椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
⑵ x2 y2 1 或 100 64
94
y2 x2 1 100 64
⑶ x2 y2 1
36 32
y2
x2
或 145 290 1
4
9
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
16
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，
解： ⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的
坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是
椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为x2 y2 1
y2 b2
1(a
b
0)
的左焦点
F1(c, 0),
A(a, 0), B(0,b)是两个顶点，如果到直线AB的距
b
离为 7 ，则椭圆的离心率e=
.
(3)设M为椭圆
x2 a2
y2 b2
上1 一点，
F1、F2为椭圆的焦
点， 如果 MF1F2 75o, MF2F1 15o，求椭圆的离心率。
18
小结：
1
知识储备案：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2 a2 b2
焦距是： 8
4
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (0, 4) 。顶点坐标是： (3, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 。
外切矩形的面积等于：
60
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 9
2、确定焦点的位置和长轴的位置
13
课本例题 例5 电影放映灯泡的反射面是旋转椭圆面的一部分。
过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一 个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的 光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知 BC F1F2 ,| F1B | 2.8cm,| F1F2 | 4.5cm. 建立适当的坐标 系，求截口BAC所在椭圆的方程。
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
8
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
a
(e越接近于1越扁)
a、b、c的关系 c2 a2 b2
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
12
例1已知椭圆方程为
它的长轴长9是x：2+2105y。2短=轴2长2是5,： 6 。
Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
17
例3：(1)椭圆
x2 a2
B2
A1
F1
b
oc
a A2 F2
B1
4
2、椭圆的对称性
x
x
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
5
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
19
则(4)∠P为F1椭PF圆2的x4最2 大y32值是1上任意. 一点，F1、F2是焦点，
20
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
2
y
B2
A1
ba
A2
F1 O c F2
x
找出a、b、c所表示的线段。B1
△B2F2O叫椭圆的特征三角形。
3
二、椭圆
简单的几何性质
1、范围：
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 的坐标？ 问题2：指出椭圆上点的横坐标的范围？ 问题3：指出椭圆上点的纵坐标的范围？ 结论：椭圆中 -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤b. 椭圆落在x=± a, y= ± b组y 成的矩形中
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
7
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2