非线性系统分析方法

在奇点邻域，其线性化方程为
在奇点
x 0 x 0
邻域
f
(x, x) x
x0 0 x0 0
0.5
f (x, x)
x
x0 0 2x 1 x0 0 1
x0 0
x0 0
线性化方程为 x 0.5x x 0
特征根为
0.5 j 3.75
s1,2
2
奇点类型为不稳定焦点
6. 极限环
•
x
x 0
•
x
x 0
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
3.相轨迹的运动特性 ➢相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹
右行；
右行
下半平面的相轨迹 左行；
过实轴相轨迹斜率 为。
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
•
f (x, x)
•
x
•
x
增幅、增速
增幅、恒速
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
x (0.5 3x2 )x x x2 0
解：由 x 0
f
(
x,
x)
0
奇点为 x 0 x 0
x 0 x 1
M
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和
死区
非线性特性
继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法
(e)eeek0Me,,
,
e e0 e e
e e e0 e e0
➢间隙特性
f(e) k +M
-e
+e0 e
-e0 0 +e
-M
f (e)
+M -e 0
+e e -M
f (e)
e 0
饱和间隙
继电间隙 齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
Gc(s)
Go(s)
-M
死区（不灵敏区）
➢死区特性
f (e)
-e k e 0 +e
f (e)
+M
-e
e
0 +e -M
f (e) +M +e0
-e k e
0 +e
-e0
-M
线性+死区 继电+死区 饱和+死区
0, f (e) ke,
e e
e f(ee)
wk.baidu.com
M
0,
M
, ,
M ,
e ef e
•
x/ 0
x 0
•
x
x 0
•
(0,10) x
x 0 相平面 (0,-10)
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,
x)
0
➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
增幅、减速
0 垂直穿越 x
左行
➢相轨迹的对称性
• x 轴对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于x 轴
•
•
x
轴对称
•
•
若 f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于
•
x
轴
•
x
x 0
•
x
x 0
• 原点对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于原点
相平面
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
相平面
x&
x 0
➢等倾线法作图
••
•
x f (x, x) 0
思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程
•
•
d x f (x, x)
dx
•
x
则
•
•
x f (x, x) 0
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
•
• f (x, x)
x
A
如何画出所有相轨迹？
•
• f (x, x) x
给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1 0
不稳定焦点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
••
在相平面上画一条线，在这条线上的所有的
点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该
线称为等倾线。改变的值，便可以作出若
干条等倾线充满整个相平面。
例7-1：二阶线性定常系统
•• •
x x x 0
试用等倾线法作该系统的相平面图。 解：
等倾线方程为 •
1
x x
1
α
-1 -2 -3 0 1 2
•
1
x x
1 等倾线斜率 ∞ 1 1/2 -1 -1/2 -1/3
典型非线性环节
M
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
继电特性
M M
2.典型的非线性特性 ➢继电特性
M, e 0
f
(e)
M,
e0
➢饱和特性
M ,
f (e)
ke
,
M ,
e e0 e0 e e0
e e0
f(e)
+M k -e0
e
0 +e0
-M
R(s) +-
e +M k f(e)
C(s)
•
x
x 0b
a<0
x0 b
•
x
bx 0
a>0
2.相轨迹作图
➢解析法作图（适用方程不显含 x）
••
x f (x) 0
相轨迹方程
••
x d x f (x)dx
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图
••
x 02 x 0
解：
f (x) 02 x
••
x d x 02 x dx
得椭圆方程
x2 02 x2 c2
描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法
微分几何方法
3）仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹)
二阶微分方程
••
•
x f (x, x) 0
系统变量 x x
•
系统变量及其导数随时间变化
x
在相平面上描绘出来的轨迹。
0
相轨迹
x
相平面
例：一阶线性系统
•
x ax 0, 画出其相平面图。 解：
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
不满足叠加定理 不能采用线性化方法处理问题 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，
初条件有关，平衡点可能不唯一
自持振荡问题— 非线性系统特有的运动形式