平面法向量的求法

平面法向量的求法

教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量

教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程：

1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→

a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法

（1）方程法

例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243

AE EB AF FD ====.沿直线EF 将

AEF ∆翻折成EF A '∆，使平面'A EF BEF ⊥平面.

（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；

【评析】

（2）含0速算法

如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。

例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC

，1A A =

AB =，2AC =，111AC =．

（Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．

【评析】

【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,(

(3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α

【评析】

3、应用练习：

如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．