矢量场与标量场以及计算方法
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A Ax (t)ex Ay (t)ey Az (t)ez
其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。
•终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。
z
Z
P(X, Y, Z)
r
Aazz
Aaxx O
Y Aayy
y
X
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
02. 矢量的乘积
•矢量的乘积包括标量积和矢量积。
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量，
B
它等于两个矢量的大小与它
们夹角的余弦之乘积，如图
1-2所示， 记为
Bcos
A
•A·B=AB cosθ
图1-2 标量积
2） 矢量积
任 意 两 个 矢 量 A 与 B 的 矢 量 积 （ Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两 个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其 方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3 所示，记为
表明：标量函数 沿l方向的方向导数就是矢量g在l上的投影。
当 ( g,el ) 0 ，
最大
l
也就是只有当l的方向和g的方向一致时，方向导数才取得最 大值。
l的方向和g的方向垂直时，方向导数为零
l的方向和g的方向相反时，方向导数为-1，取得最小值，此
时 减小的最快
2. 梯度
g
x
ex
y
ey
设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G［a, b］ 内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则 称A为数性变量t的矢性函数。记为
A A(t)
而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐 标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函 数A (t)也可用其坐标表示为
电磁场与电磁波
Vector Analysis（矢量分析）
标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式
1 标量场和矢量场
补充： 01.矢性函数
在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在 大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，一般用
图 1-5 矢量管
矢量管：
通过场域某一曲面s上的所有点的矢量 线的全体构成的管状区域。
0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
1.方向导数：设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l 的变化率称
为方向导数，即
l
（
x
ex
y
ey
(1)它上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的 方向相同
(2)矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互
不相交
其方程为：
A dl 0
在直角坐标下：
二维场 三维场
Ax Ay dx dy Ax Ay Az dx dy dz
图0.1.2 矢量线
•物理意义：矢量线和场量的变化方向一致
图 1-4 矢量场的矢量线
形象描绘场分布的工具——场线
(1) 标量场--等值线(面)
其方程为:
(x, y, z) c
该曲面上任一点的函数值相等 等值面充满了场所在的空间
是单值函数，因此等值面不相交
图0.1.1 等高线
思考 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
3矢量场--矢量线（力线）
目的：形象地描绘矢量场A的分布 特点：
换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示 一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电 位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）
场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间
域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续 的。 若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理
z
ez
grad
——梯度(gradient)
式中
ex
x
ey
wk.baidu.com
y
ez
z
•
del(代尔)
梯度的意义
——哈密顿算子 图0.1.3
”
nabla (那勃拉)”)
等温线分布
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即
最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
☻ 标量场的梯度函数
建立了标量场与矢 量场的联系，这一 联系使得某一类矢 量场可以通过标量 函数来研究，或者 说标量场可以通过 矢量场的来研究。
黑体A表示。
若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的 直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢 量A的方向。
矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。
若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢， 如某物体所受到的重力。
而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会 发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线 物体运动的速度v等。
例如，在直角坐标下：
(x,
y,
z)
4π [(x
1)2
5 (
y
2)2
z2]
标量场
然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要 确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就 需要用一个矢量场来描述。例如电场、磁场、 流速场等等。
A(x, y, z) 2xy2ex x2 zey xyzez
矢量场
2.标量场的等值面
•
C=A×B=enAB sinθ
•
en=eA×eB （右手螺旋）
矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律
A×B= -B×A
C
eann O eaBB
eaAA
B
A
C＝A×B B
A
(a)
(b)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积
(b) 右手螺旋
1. 标量场和矢量场
场： 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量 的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。
在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定
空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描 述， 这些代数变量(即标量函数)所确定的场为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场φ(x, y, z)、高度场等。
z
ez）•（ex
cos
ey
cos
ez
cos ）
cos cos cos
x
y
z
式中 , , 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角
设
g x ex y ey z ez ,
el
ex cos ey cos ez cos
则有：
l
g el
|
g
| cos( g, el )
其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。
•终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。
z
Z
P(X, Y, Z)
r
Aazz
Aaxx O
Y Aayy
y
X
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
02. 矢量的乘积
•矢量的乘积包括标量积和矢量积。
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量，
B
它等于两个矢量的大小与它
们夹角的余弦之乘积，如图
1-2所示， 记为
Bcos
A
•A·B=AB cosθ
图1-2 标量积
2） 矢量积
任 意 两 个 矢 量 A 与 B 的 矢 量 积 （ Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两 个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其 方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3 所示，记为
表明：标量函数 沿l方向的方向导数就是矢量g在l上的投影。
当 ( g,el ) 0 ，
最大
l
也就是只有当l的方向和g的方向一致时，方向导数才取得最 大值。
l的方向和g的方向垂直时，方向导数为零
l的方向和g的方向相反时，方向导数为-1，取得最小值，此
时 减小的最快
2. 梯度
g
x
ex
y
ey
设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G［a, b］ 内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则 称A为数性变量t的矢性函数。记为
A A(t)
而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐 标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函 数A (t)也可用其坐标表示为
电磁场与电磁波
Vector Analysis（矢量分析）
标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式
1 标量场和矢量场
补充： 01.矢性函数
在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在 大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，一般用
图 1-5 矢量管
矢量管：
通过场域某一曲面s上的所有点的矢量 线的全体构成的管状区域。
0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
1.方向导数：设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l 的变化率称
为方向导数，即
l
（
x
ex
y
ey
(1)它上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的 方向相同
(2)矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互
不相交
其方程为：
A dl 0
在直角坐标下：
二维场 三维场
Ax Ay dx dy Ax Ay Az dx dy dz
图0.1.2 矢量线
•物理意义：矢量线和场量的变化方向一致
图 1-4 矢量场的矢量线
形象描绘场分布的工具——场线
(1) 标量场--等值线(面)
其方程为:
(x, y, z) c
该曲面上任一点的函数值相等 等值面充满了场所在的空间
是单值函数，因此等值面不相交
图0.1.1 等高线
思考 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
3矢量场--矢量线（力线）
目的：形象地描绘矢量场A的分布 特点：
换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示 一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电 位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）
场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间
域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续 的。 若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理
z
ez
grad
——梯度(gradient)
式中
ex
x
ey
wk.baidu.com
y
ez
z
•
del(代尔)
梯度的意义
——哈密顿算子 图0.1.3
”
nabla (那勃拉)”)
等温线分布
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即
最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
☻ 标量场的梯度函数
建立了标量场与矢 量场的联系，这一 联系使得某一类矢 量场可以通过标量 函数来研究，或者 说标量场可以通过 矢量场的来研究。
黑体A表示。
若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的 直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢 量A的方向。
矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。
若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢， 如某物体所受到的重力。
而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会 发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线 物体运动的速度v等。
例如，在直角坐标下：
(x,
y,
z)
4π [(x
1)2
5 (
y
2)2
z2]
标量场
然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要 确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就 需要用一个矢量场来描述。例如电场、磁场、 流速场等等。
A(x, y, z) 2xy2ex x2 zey xyzez
矢量场
2.标量场的等值面
•
C=A×B=enAB sinθ
•
en=eA×eB （右手螺旋）
矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律
A×B= -B×A
C
eann O eaBB
eaAA
B
A
C＝A×B B
A
(a)
(b)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积
(b) 右手螺旋
1. 标量场和矢量场
场： 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量 的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。
在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定
空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描 述， 这些代数变量(即标量函数)所确定的场为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场φ(x, y, z)、高度场等。
z
ez）•（ex
cos
ey
cos
ez
cos ）
cos cos cos
x
y
z
式中 , , 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角
设
g x ex y ey z ez ,
el
ex cos ey cos ez cos
则有：
l
g el
|
g
| cos( g, el )