二面角及二面角的平面角的有关定义
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如： ①以直线a为棱，以α 、β
？ 为半平面的二面角记作： “α —a—β ”
②以直线l为棱，以平面
ABCD、平面A1B1C1D1为半
？ 平面的二面角记作： “面ABCD—l—面A1B1C1D1” 或“A—l—A1”，等等。
③以直线AB为棱，平面CAB、
平面DAB为半平面的二面角
记作：
？“C—等AB—等D。”
2
∴OA1⊥BD，OC1⊥BD，
∴＜OA 1 ，OC 1 ＞就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∴cos＜OA 1 ，OC 1 ＞＝
OA OC
1
1
| OA | | OC |
1
1
1
＝
2 6
1 6 ＝3 。
22
例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的
中点，求二面角E－FG－A的大小。
解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H，
∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∵A1C1＝
2
a，A1O＝C1O＝
3 2
2
a＝
6 2
a
(
∴cos∠A1OC ＝
6 a)2 ( 6 a)2 (
2
2
2 6 a 6 a
2
2
2a) 2 ＝1
3
∴∠A1OC＝arccos13 。
故二面角
A1－BD－C1
的大小为
1
arcco3s
(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面
与两个半平面的交线所成的角
叫做二面角的平面角。
O 。。
B
或：从二面角的棱上任一点在
两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。
A
β
α
小结： 1.二面角就是用它的平面
角来度量的。一个二面角的平
O。
B
面角多大，我们就说个二面角
1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义
（1）半平面 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
αα
（2）二面角
l
l
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面。
(3)常见二面角的画法
O
B
a
A
β
α
（4）二面角的记法
“面1—棱—面2”
3.有关二面角的题型
例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。
C
分析
AB
D
要求CD 的长，可考虑用向量法，即求|CD |，
要求|CD |，须先用已知向量CA 、AB 、BD
表示它，不难得到：CD =CA +AB +BD
22
2
2
OC 1 ＝(0，1，1) －(1 ，1 ，0)＝（－1 ，1 ，1）
22
22
∴ BD●OA
1
＝－1×1
2
＋（－1）×（－1
2
）＋0×1＝0
BБайду номын сангаас●OC
1
＝（－1）×（－1
2
）＋－1×1
2
＋0×1＝0
OA
1 ●OC
1
＝1
2
×（－1
2
）＋（－1
2
）×1
2
＋1×1＝1
2
｜OA 1 ｜＝｜OC 1 ｜＝ 6
＝62＋42＋82＋2× 6× 8× cos120○
＝62＋42＋
82－
2×
6×
1
8×2
＝68
∴|CD |＝2 17
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求 二解： 面（角方法A一1－） BD－C1 的大小。
由正方 体的 面对 角线 长都相 等可 知， △A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O，连结 A1O、C1O，则 A1O⊥BD，C1O ⊥BD，
当 1、二面角指的是（ ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
堂 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
小
2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上， 角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱
测 ＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。
最后根据 |a |2=a ·a 求出结果.
解：由已知得：
＜ CA ， BD ＞＝180○－60○＝120○，
CA · AB ＝0， AB · BD ＝0 ∴|CD |2＝（CA ＋ AB ＋BD ）2 ＝|CA |2＋| AB |2＋|BD |2＋2CA ·BD
＝|CA |2＋| AB |2＋|BD |2＋2|CA |×|BD |cos＜CA ，BD ＞
①找（或作）出平面角
小
⑴定义法
⑵棱的垂面法
结 ⑶三垂线定理法 ⑷向量法 等
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
作业布置
作
• 课本第47页 4、5（3）
业
连结EH。由EA⊥平面AC及三垂线定理可得：
EH ⊥FG，故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
在 Rt△EAH 中，易得
AH＝ 2 EF，EF＝EA， 2
∴tan∠EHA＝ 2 ，
∴∠EHA＝arctan 2 。
H
1、二面角的定义
本 2、二面角的平面角的定义
节 3、二面角的平面角的求解：
等是角多定少理度的若二一面个角。的两边与
另一个2角.复二的面习两角边回的分平顾别面平角行与且点方（或
O1
。
A
向相同垂，直则平这面两）个的角位相置等无。任何关系， A1
B1
β
只与二面角的张角大小有关。
α
(6)二面角的范围
[0。,180。]
（7）直二面角
平面角为直角 的二面角叫做 直二面角
2. 课 堂 诊 断
。
解：（方法二）
如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，BD
的中点为 O，则
D(0，0，0)，B(1，1，0)， O(1 ，1 ，0)，
22
A1(1，0，1)，C1(0，1，1)
∴ BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
OA 1＝(1，0，1) －(1 ，1 ，0)＝（1 ，－1 ，1）
？ 为半平面的二面角记作： “α —a—β ”
②以直线l为棱，以平面
ABCD、平面A1B1C1D1为半
？ 平面的二面角记作： “面ABCD—l—面A1B1C1D1” 或“A—l—A1”，等等。
③以直线AB为棱，平面CAB、
平面DAB为半平面的二面角
记作：
？“C—等AB—等D。”
2
∴OA1⊥BD，OC1⊥BD，
∴＜OA 1 ，OC 1 ＞就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∴cos＜OA 1 ，OC 1 ＞＝
OA OC
1
1
| OA | | OC |
1
1
1
＝
2 6
1 6 ＝3 。
22
例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的
中点，求二面角E－FG－A的大小。
解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H，
∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∵A1C1＝
2
a，A1O＝C1O＝
3 2
2
a＝
6 2
a
(
∴cos∠A1OC ＝
6 a)2 ( 6 a)2 (
2
2
2 6 a 6 a
2
2
2a) 2 ＝1
3
∴∠A1OC＝arccos13 。
故二面角
A1－BD－C1
的大小为
1
arcco3s
(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面
与两个半平面的交线所成的角
叫做二面角的平面角。
O 。。
B
或：从二面角的棱上任一点在
两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。
A
β
α
小结： 1.二面角就是用它的平面
角来度量的。一个二面角的平
O。
B
面角多大，我们就说个二面角
1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义
（1）半平面 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
αα
（2）二面角
l
l
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面。
(3)常见二面角的画法
O
B
a
A
β
α
（4）二面角的记法
“面1—棱—面2”
3.有关二面角的题型
例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。
C
分析
AB
D
要求CD 的长，可考虑用向量法，即求|CD |，
要求|CD |，须先用已知向量CA 、AB 、BD
表示它，不难得到：CD =CA +AB +BD
22
2
2
OC 1 ＝(0，1，1) －(1 ，1 ，0)＝（－1 ，1 ，1）
22
22
∴ BD●OA
1
＝－1×1
2
＋（－1）×（－1
2
）＋0×1＝0
BБайду номын сангаас●OC
1
＝（－1）×（－1
2
）＋－1×1
2
＋0×1＝0
OA
1 ●OC
1
＝1
2
×（－1
2
）＋（－1
2
）×1
2
＋1×1＝1
2
｜OA 1 ｜＝｜OC 1 ｜＝ 6
＝62＋42＋82＋2× 6× 8× cos120○
＝62＋42＋
82－
2×
6×
1
8×2
＝68
∴|CD |＝2 17
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求 二解： 面（角方法A一1－） BD－C1 的大小。
由正方 体的 面对 角线 长都相 等可 知， △A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O，连结 A1O、C1O，则 A1O⊥BD，C1O ⊥BD，
当 1、二面角指的是（ ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
堂 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
小
2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上， 角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱
测 ＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。
最后根据 |a |2=a ·a 求出结果.
解：由已知得：
＜ CA ， BD ＞＝180○－60○＝120○，
CA · AB ＝0， AB · BD ＝0 ∴|CD |2＝（CA ＋ AB ＋BD ）2 ＝|CA |2＋| AB |2＋|BD |2＋2CA ·BD
＝|CA |2＋| AB |2＋|BD |2＋2|CA |×|BD |cos＜CA ，BD ＞
①找（或作）出平面角
小
⑴定义法
⑵棱的垂面法
结 ⑶三垂线定理法 ⑷向量法 等
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
作业布置
作
• 课本第47页 4、5（3）
业
连结EH。由EA⊥平面AC及三垂线定理可得：
EH ⊥FG，故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
在 Rt△EAH 中，易得
AH＝ 2 EF，EF＝EA， 2
∴tan∠EHA＝ 2 ，
∴∠EHA＝arctan 2 。
H
1、二面角的定义
本 2、二面角的平面角的定义
节 3、二面角的平面角的求解：
等是角多定少理度的若二一面个角。的两边与
另一个2角.复二的面习两角边回的分平顾别面平角行与且点方（或
O1
。
A
向相同垂，直则平这面两）个的角位相置等无。任何关系， A1
B1
β
只与二面角的张角大小有关。
α
(6)二面角的范围
[0。,180。]
（7）直二面角
平面角为直角 的二面角叫做 直二面角
2. 课 堂 诊 断
。
解：（方法二）
如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，BD
的中点为 O，则
D(0，0，0)，B(1，1，0)， O(1 ，1 ，0)，
22
A1(1，0，1)，C1(0，1，1)
∴ BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
OA 1＝(1，0，1) －(1 ，1 ，0)＝（1 ，－1 ，1）