指数函数讲义经典整理(含答案)

指数函数讲义经典整理（含答案）

一、同步知识梳理

知识点1：指数函数

函数

(01)x

y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R

知识点2：指数函数的图像和性质

知识点3：指数函数的底数与图像的关系

指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如

图所示，则01c d a b <<<<<，

在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大

在第一象限内，“底大图高”

知识点4：指数式、指数函数的理解

① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算

② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视

③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值

④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像

1

2

23,,21x

x y y x y y =⋅===- 等

函数均不符合形式

()

01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数

⑤ 画指数函数x

y a =的图像，应抓住三个关键点：

()()11,,0,1,1,

a a ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

二、同步题型分析

题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域

例1：已知函数，且． （1）求m 的值；

（2）判定f （x ）的奇偶性；

（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

考点：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：

（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；

（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为

，所以

，所以m=1．

（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，

所以f （x ）是奇函数． （3）任

取x1＞x2＞0，则

，

因为x1＞x2＞0，所以

，所以f （x1）＞f （x2），

所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

点评：

本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．

例2：已知函数，

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）证明：f（x）＞0．

考点：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．

专题：

计算题．

分析：

（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．

（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而

．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f

（x）＞0在定义域上恒成立．

解答：

解：（1）该函数为偶函数．

由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）

f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x

=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）

故该函数为偶函数．…（7分）

（2）证明：任取x∈{x|x≠0}

当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，

∈2x﹣1＞0，

故

n为偶数时，=+f（）==；

综上，=．

点评：

本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．

题型2：指数函数的图像变换．

例1：已知函数y=|2x﹣2|

（1）作出其图象；

（2）由图象指出函数的单调区间；

（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．

考点：

指数函数的图像变换．

专题：

综合题；函数的性质及应用．

分析：

（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．

（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．

（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．

解答：

解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：

（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．

（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．

点评：

本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

题型3：指数函数单调性

例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0

（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；

（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

考点：

指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；

（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；

解答：

解：（1）当a＞0，b＞0时，

任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），

∈＜，＜，a＞0，b＞0，

∈a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，

∈f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

故函数f（x）在R上是增函数；

当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；

（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），

则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），

若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；

若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；

故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．

点评：

本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．

例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．

（1）试求f（x）的表达式；

（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；

（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．

考点：

指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．

专题：