浙江人教A版数学高二选修2-2学案第一章导数及其应用习题课导数的应用

学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．
知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )
f ′(x )的正负 f (x )的单调性 f ′(x )>0 单调递增 f ′(x )<0
单调递减
知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，
(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 知识点三 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．
(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
类型一 构造法的应用 命题角度1 比较函数值的大小
例1 已知定义在(0，π
2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )成
立，则( ) A.2f (π6)>f (π4
)
B.3f (π6)>f (π3
)
C.6f (π6)>2f (π4)
D.3f (π6)<f (π
3
)
答案 D
解析 由f ′(x )sin x >f (x )cos x ， 则f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， 构造函数g (x )＝f (x )sin x
，
则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x
sin 2x .
当x ∈(0，π
2)时，g ′(x )>0，
即函数g (x )在(0，π
2)上单调递增，
∴g (π6)<g (π3)，∴3f (π6)<f (π3)，
故选D.
反思与感悟 此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小． 跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )
x <0，
若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 1
2)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )
A ．a <c <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <a <b
答案 B
解析 令g (x )＝xf (x )， 则g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，
∴g (x )是偶函数．g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∵f ′(x )＋f (x )
x
<0，
∴当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0， 当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵1
2<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g (1
2)．
∵g (x )是偶函数，
∴g (－2)＝g (2)，g (ln 1
2
)＝g (ln 2)，
∴g (－2)<g (ln 12)<g (1
2)．
故选B.
命题角度2 求解不等式
例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x 的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2) C ．(0，＋∞) D ．(2，＋∞)
答案 C
解析 设g (x )＝f (x )
e x ，则g ′(x )＝
f ′(x )－f (x )e x
.
∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在定义域上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2， 则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，
∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.
反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．
跟踪训练2 定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<1
3，则不等式
f (l
g x )>
lg x ＋2
3
的解集为________． 答案 (0,10)
解析 ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－1
3<0，
∴f (x )－x ＋2
3
在R 上为减函数．
设F (x )＝f (x )－x ＋2
3，则F (x )在R 上为减函数．
∵f (1)＝1，
∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.
由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋2
3>0，
∴F (lg x )>F (1)．
∵F (x )在R 上单调递减，∴lg x <1，∴0<x <10， ∴原不等式的解集为(0,10)．
类型二 利用导数研究函数的极值与最值
例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；
(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．
解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.
②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.
(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．
在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，
解得－2<c ≤0. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练3 已知a ，b 为常数且a >0，f (x )＝x 3＋3
2(1－a )x 2－3ax ＋b .
(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；
(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－23
2，求a ，b 的值．
解 (1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )(x ＋1)，
令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 因为a >0，所以x 1<x 2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1，a ) a (a ，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x ＝－1时，f (x )有极大值2，即3a ＋2b ＝3.
(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在(a ，3]上为增函数， 所以f (a )为最小值，f (a )＝－12a 3－3
2a 2＋b .
即－12a 3－32a 2＋b ＝－23
2.又由b ＝3－3a 2，
于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0， 即(a ＋1)3＝27，所以a ＝2，b ＝－32
.
当a >3时，由(1)知f (x )在[0,3]上为减函数，即f (3)为最小值，f (3)＝－23
2，
从而求得a ＝107
48，不合题意，舍去．
综上，a ＝2，b ＝－3
2.
类型三 数形结合思想的应用
例4 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：
①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f (x )在x ＝－1
2处取得极大值；
④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法是________． 答案 ①④
解析 对于①，由图象知，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )>0，∴f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．对于②，当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，故f ′(x )<0.所以当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)，(0,1)上是减函数．对于③，由②知f (x )在(－1,0)上单调递减，∴x ＝－1
2不是极值点，由①②知④是正确的，故填①④.
反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意
(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．
(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．
跟踪训练4 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )
答案 A
解析 ∵函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )， 且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x >－2时，f ′(x )>0；
当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当x <－2时，f ′(x )<0. ∴当－2<x <0时，xf ′(x )<0； 当x ＝－2时，xf ′(x )＝0； 当x <－2时，xf ′(x )>0. 由此观察四个选项，故选A.
1．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )
A.43
B.7
3 C.83 D.163
答案 C
解析 由题意可知f (0)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0， 可得1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2， 所以函数的解析式为f (x )＝x 3－3x 2＋2x . f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，
令3x 2－6x ＋2＝0，可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝2
3，
所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝4－2×23＝83
. 2．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b ) D ．af (b )≤bf (a ) 答案 A
解析 设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，
∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数． ∵a <b ，∴g (a )≥g (b )，即af (a )≥bf (b )． 故选A.
3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝1，对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x ＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)
解析 设F (x )＝f (x )－(3x ＋4)， 则F (－1)＝f (－1)－(－3＋4)＝1－1＝0.
又对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，∴F ′(x )＝f ′(x )－3>0， ∴F (x )在R 上是增函数， ∴F (x )>0的解集是(－1，＋∞)， 即f (x )>3x ＋4的解集为(－1，＋∞)．
4．已知函数f (x )＝x 3－1
2x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范
围是________________________________________________________________________． 答案 (7，＋∞)
解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0， 得x ＝－2
3
或x ＝1.
可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7. ∴f (x )<m 恒成立时，m >7.
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
课时作业
一、选择题
1．函数y ＝f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)
答案 B
解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′大于或等于0(不恒为0)即可．
∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立． 2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)
答案 A
解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝12x ＋1x >0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f (e)<f (3)．
3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A ．－5
B ．7
C ．10
D ．－19 答案 A
解析 ∵y ′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， ∴函数在[－2，－1]内单调递减， ∴最大值为f (－2)＝2＋a ＝2. ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5.
4.已知定义在R 上的函数f (x )的图象如图，则x ·f ′(x )>0的解集为( )
A ．(－∞，0)∪(1,2)
B ．(1,2)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 A
解析 不等式x ·f ′(x )>0等价于当x >0时，f ′(x )>0，即当x >0时，函数递增，此时1<x <2；或者当x <0时，f ′(x )<0，即当x <0时，函数递减，此时x <0，综上，1<x <2或x <0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
5．若f (x )＝－1
2x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，－1)
答案 C
解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋b
x ＋2
≤0，x ∈(－1，＋∞)， 即f ′(x )＝－x 2－2x ＋b
x ＋2
≤0，
即－x 2－2x ＋b ＝－(x ＋1)2＋1＋b ≤0， ∴1＋b ≤0，b ≤－1.
6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )
A ．a ＋b ＋c
B ．8a ＋4b ＋c
C ．3a ＋2b
D ．c 答案 D
解析 由f ′(x )图象知，f (x )在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f (x )在x ＝0时取得极小值c .
7．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意x ∈R ，都有f ′(x )<1
2，则不等式f (x )>x ＋12的
解集为( ) A ．(1,2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(－1,1)
答案 B
解析 ∵f ′(x )<12，∴f ′(x )－1
2
<0.
设h (x )＝f (x )－12x ，则h ′(x )＝f ′(x )－1
2
<0，
∴h (x )是R 上的减函数，且h (1)＝f (1)－12＝1－12＝12.不等式f (x )>x ＋12，即为f (x )－12x >1
2，即
h (x )>h (1)，得x <1，∴原不等式的解集为(－∞，1)． 二、填空题
8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)
解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a . 由题意得f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4.
由f ′(x )＝3x 2－3>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
9．已知函数f (x )＝x －a x ＋1·e x
在定义域内有极值点，则实数a 的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 f ′(x )＝x ＋1－x ＋a (x ＋1)2·e x ＋x －a x ＋1·e x ＝x 2＋(1－a )x ＋1(x ＋1)2·e x
.因为x 2＋(1－a )x ＋1＝0有两个不
相等且不等于－1的实数根，所以(1－a )2－4＞0且a ≠－1，解得a ＜－1或a ＞3.
10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为______． 答案 [4，＋∞)
解析 ∵x ∈(0,1]，∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4
， 令g ′(x )＝0，得x ＝12
. 当0<x <12
时，g ′(x )>0； 当12
<x ≤1时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(0,1]上有极大值g (12
)＝4，也是最大值． ∴a ≥4.
11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设
a ＝f (0)，
b ＝f (12
)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 答案 c <a <b
解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12
<1， 因此有f (－1)<f (0)<f (12
)， 即f (3)<f (0)<f (12
)，即c <a <b . 三、解答题
12．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32
x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值．
解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32
. 由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，
从而a －12＋32
＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32
x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32
＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2
. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13
(舍去)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．
故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.
13．已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3x ，若x ＝a 是f (x )的极值点，求f (x )在[－2，a ]上的最大值和最小值．
解 由题意知f ′(a )＝3a 2－4a 2＋3＝0，
∴a ＝± 3.
①当a ＝3时，x ∈[－2，3]，
f ′(x )＝3x 2－43x ＋3＝3(x －3)(x －
33)， 此时，由f ′(x )>0，可得－2≤x <
33； 由f ′(x )<0，可得33
<x <3， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－2，
33)， 函数f (x )的单调递减区间为(33
，3)． 又∵f (－2)＝－14－83，f (3)＝0，
极大值为f (33)＝439
. ∴函数f (x )的最小值为－14－83；
函数f (x )的最大值为439
. ②当a ＝－3时，x ∈[－2，－3]，
f ′(x )＝3x 2＋43x ＋3＝3(x ＋3)(x ＋
33
)， 此时，f ′(x )≥0，
∴f (x )在[－2，－3]上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－2)＝－14＋83，
∴f (x )max ＝f (－3)＝0.
四、探究与拓展
14．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且f (x )g (x )
＝a x (a >0且a ≠1)，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a ＝________.
答案 12
解析 令h (x )＝f (x )g (x )
，∵f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )， ∴h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2
<0， ∴函数y ＝a x 在R 上单调递减，∴0<a <1.
∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52
，∴a 1＋a －1＝52， 化为2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝2或12
. ∵0<a <1，∴a ＝12
. 15．已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .
(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
解 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，
得m ≤x ln x
在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2
，故g ′(e)＝0. 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.
故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.
(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．
φ′(x )＝1－2x ＝x －2x
，故φ′(2)＝0. 所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减，
当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.
所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．。