初等数论练习题及答案

初等数论练习题一

一、填空题

1、τ(2420)=27；ϕ(2420)=_880_

2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.

3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.

4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t Z 。.

6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。 8、⎪⎭

⎫

⎝⎛10365 =-1。 ·

9、若p 是素数，则同余方程x p 1

1(mod p )的解数为p-1。

二、计算题 1、解同余方程：3x 2

11x 200 (mod 105)。 解：因105 = 357，

同余方程3x 211x 200 (mod 3)的解为x 1 (mod 3)， 同余方程3x 211x 38 0 (mod 5)的解为x 0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2

11x 200 (mod 7)的解为x 2，6 (mod 7)，

故原同余方程有4解。

作同余方程组：x b 1 (mod 3)，x b 2 (mod 5)，x b 3 (mod 7)，

其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，

(

由孙子定理得原同余方程的解为x

13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解

1

107421

7271071107713231071107311072107

7107310721077

32107422

1

10721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）

）（）（（

）（解：

故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 解：易知1271≡50（mod 111）。

由502≡58（mod 111），503≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111） 从而5056≡16（mod 111）。

故（127156+34）28≡（16+34）28≡5028≡70（mod 111） 三、证明题

|

1、已知p 是质数，（a ，p ）=1，证明：

（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。

证明：由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a ≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n

2a ≡1(mod 2n+2)。 (1)

证明 设a = 2m 1，当n = 1时，有

a 2 = (2m 1)2 = 4m (m 1)1 1 (mod 23)，即原式成立。

设原式对于n = k 成立，则有k

a 2 1 (mod 2k +2) k

a 2= 1

q 2k +2，

其中q Z ，所以1

2+k a

= (1q 2k +2)2 = 1q 2k +3

1 (mod 2k +3)，

其中q 是某个整数。这说明式(1)当n = k 1也成立。

|

由归纳法知原式对所有正整数n 成立。

3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1

C - （-1 ）k (mod p )。

证明：设A=!

)()2(1C 1k k p p p k p ---=- ）（ 得：

k!·A =（p-1）(p-2)…（p-k ）≡（-1）(-2)…（-k ）(mod p ) 又（k!，p ）=1，故A=k p 1

C - （-1 ）k (mod p )

4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。 说明：因为84=4×3×7，所以，只需证明：

p 6≡1(mod 4) p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7) 同时成立即可。 证明：因为84=4×3×7及p 是不等于3和7的奇质数，所以

（p ，4）=1，（p ，3）=1，（p ，7）=1。

—

由欧拉定理知：p (4)≡p 2≡1(mod 4)，从而

p 6≡1(mod 4)。

同理可证：p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7)。故有p 6≡1(mod 84)。

注：设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 168)。（见赵继源p86）

初等数论练习题二

一、填空题

1、τ(1000)=_16_；（除数函数：因数的个数）σ(1000)=_2340_.（和函数：所有因数的和）

2、2010!的规范分解式中，质数11的次数是199__.

3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n

22+1，这种数中最小的合数Fn 中的n=5。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是x ≡29(mod 31)___ 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为

(2)+(3)+…+(m )。

?

6、设7∣(80n -1)，则最小的正整数n=_6__.

7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__559__. 8、⎪⎭

⎫

⎝⎛10146=_1__. 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为n .

二、计算题 1、试求2004

2003

2002被19除所得的余数。

解：由2002≡7 (mod 19)20022≡11(mod 19)20023≡1 (mod 19) 又由≡22004≡（22）1002≡1 (mod 3)可得：

2004

2003

2002≡20023n+1≡(20023)n ×2002≡7(mod 19)

2、解同余方程3x 14

4x 10

6x 18 0 (mod 5)。

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