参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)

【知识要点】

一、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t

的函数()()x f t y g t ì=ïí=ïî，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t ì=ïí=ïî

所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，

那么方程()

()

x f t y g t ì=ïí

=ïî叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程

而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程． 二、常见曲线的参数方程：

（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin cos 00r y y r x x （θ为参数）；

（2）椭圆122

22=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；

（3）双曲线122

22=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θ

θtan sec b y a x （θ为参数）；

（4）抛物线2

2y px =参数方程2

22x pt y pt

⎧=⎨=⎩ (t 为参数）；

（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）.

三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：

（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元）. （2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数.

（3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式22

sin cos 1a a +=消去参数.

温馨提示：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围.

【题型讲评】

【例1】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩

⎪

⎨⎧

+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ）

A. 122=-x y

B. 122=-y x

C. )2|(|122≤

=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x

【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、

的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y

、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.

【反馈检测1】参数方程11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（ ）

A ．一条直线

B ．一个半圆

C ．一条射线

D ．一个圆

【例2】参数方程22sin 1cos 2x y θ

θ

⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）化为普通方程是（ ）

A ．240x y -+=

B ．2+40x y -=

C ．[]240,2,3x y x -+=∈

D ．[]2+40,2,3x y x -=∈

【解析】2cos 212sin θθ=- ,22

112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2

y

θ∴=-

,代入 22sin x θ=+可得22

y x =-

,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈ ,[]2

2sin 2,3θ∴+∈,即

[]2,3x ∈.

所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 【点评】本题使用是三角恒等式消参. 【反馈检测2】设曲线C 的参数方程为θθ

θ

⎩⎨

⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，

则曲线C 上到直线l 的距离为

10

10

7的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【例3】 若直线1,x t y a t

=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩α

α

（α为参数）所截的弦长为

，则a 的

值为( )

A ．1 或5 B.1- 或5 C.1 或5- D.1- 或5-

【反馈检测3】点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θ

θ

=-+⎧⎨=⎩ (θ为参数,R θ∈)上,则y x 的取值范围是 .

【例4】椭圆

的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点 ， 求OAB ∆的最小面积 .

【解析】 设切点为(cos ,sin )P a b θθ ， 则切线方程为

cos sin 1x y a b

θθ

+=. 令0y =, 得切线与x 轴交点(

,0)cos a A θ；令0x =,得切线与y 轴交点(0,)sin b B θ