《一元二次方程》培优竞赛

《一元二次方程》培优
【知识要点】：
1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法
2、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2
＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2
＋bx ＋c = 0没有实数解．
3、一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1
=，
x 2
那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，
其成立的前提是0∆≥．
3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．
【精选题型】：
1、已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．
2 、若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)
12
11
x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
3、已知关于x 的方程2
2
(2)04
m x m x ---=．
（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．
4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．
（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；
（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52
22
1=+x x 时求m 的值
（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【拓展练习】:
1．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则12
11
x x +的值为( )A ．2 B ．2-
C ．
12 D ．92
2．若t 是一元二次方程2
0 ax bx c ++=的根，则判别式2
4b ac ∆=-和完全平方式
2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大
小关系不能确定
3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ． m ＜
14 B 。

m ＞－14 C ．m ＜14，且m ≠0 D 。

m ＞－1
4
，且m ≠0 4．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．
5、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．
6、已知关于x 的方程2
30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程
22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
7、若12,x x 是关于x 的方程22
(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；（2）若
121
2
x x =，求k 的值．
8、若 x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实
数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－3
2
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221
x x
x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12x x λ=，试求λ的值．
第一讲 一元二次方程的求根
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，两边直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最通用、最具有一般性的方法．
【例1】满足1)
1(2
2
=--+n n n 的整数n 有 个．
思路点拨： 分三类情形讨论：①指数为0； ②底数为1；③底数为—1．
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A ． 一4 B ．8 C ．6 D ．0
思路点拨： 本题出现了x 的3次方，但无法用立方和差公式来解答，如果通过解方程求出1x 、2x 再代入计算，则计算繁难，因此把要求的代数式3次降为2次，再降为1次，这就是我们的思路。

具体做法是利用根的定义及变形，使多项式降次，因为0312
1=-+x x ，因此有1213x x -=，同理2223x x -=．
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．
思路点拨：因不知晓原方程的类型，是一元一次还是一元二次，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论．
【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
学历训练
1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．
2．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a
3．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。

则代数式a
20001200012000
3+
+
+
的值为 ． 4．解下列关于x 的方程：
(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)062
=--x x ；
5．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．对于方程x 2
-2|x|+2=m ，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )
A ．1 n ．2 C ．3 D ．2．5
7．自然数n 满足1616247
2)22()22(2
-+--=--n n
n n n n ，这样的n 的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．4
8．已知
m 、n
是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求
)82002)(62000(22++++n n m m 的值．
第二讲 一元二次方程根的判别式
△=ac b 42
-叫做一元二次方程ax 2
＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式，当△>0时，此方程有 两个不相等的实数根；当△=0时，此方程有两个相等的实数根；当△<0时，此方程没有实数根；
【例1】：已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．
思路点拨：利用判别式建立关于k 的不等式组，提醒同学运用判别式解题时需要特别注意的是二次项系数不为0的隐含条件的制约；
【例2】 已知三个关于y 的方程：02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( )
A ．2≤a
B ．41≤
a 或21≤≤x C ．1≥a D ．14
1
≤≤a 思路点拨：先分别求出每个方程有实数解时a 的取值范围，再把任意两个取值范围结合
进行分类讨论．
【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，
(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长． 思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值．
【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根． 思路点拨 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．
学力训练 1．已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = ．
2．若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
3．已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简
4422+-+--k k k = ．
4．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )
A ．43<
m B ．43≤m C ．43>m 且2≠m D ．4
3
<m 且2±≠m
5．已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无
法确定
6．如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )
A ．没有实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．只有一个实数根
7．若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 ．
8．a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根．
(1)求证：0842=--b a ；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值．
第三讲 一元二次方程的根与系数的关系————韦达定理
对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ，设它的两个根为x 1、x 2 ，
则x 1＋x 2=a
b -
，x 1•x 2=a c ．
【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．
思路点拨：所求的代数式是关于α、β的非对称式，因此要通过根的定义和韦达定理代入求值。

【例2】如果a 、b 是两个不同的数，且01132
=+-a a ，01132
=+-b b ，那么b
a a
b +的值为
思路点拨：由于两个等式结构相同，可把a 、b 看作为方程01132
=+-x x 的两个不同实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．
【例3】 已知关于x 的方程：04
)2(2
2
=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．
【例4】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程
04
7
)21(222=+-+-m mx x 的两个根．(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形？
并说明理由． (2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝
1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (年哈尔滨市中考题)
思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．
学历训练 1．已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14
212
1<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．
2、已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．
3、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．
4、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是
5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．2
5
C ．5
D ．2
6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥43 C ．14
3
≤<m D ．43≤m ≤1
7、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．
8、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不
相等的实数根1x 、2x ． （1）若62
2
2
1=+x x ，求m 的值；（2）求2
2
212111x mx x mx -+-的最大值．。