第16章 组合变形

Mz 成，已知圆杆直 径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σ t和最大 压应力 σ c 。

解： X A 3kN, YA 4kN
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点
y1 cos z1 sin t ,max M ( ) Iz Iy
y2 cos z2 sin c,max M ( ) Iz Iy
3)最大应力
一.引例
当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或 压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。 如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。
F2 F1
二.偏心拉(压)的应力计算
z
FyF
z
F
yF
F
F
Z
z
Mz
y y
My
z
zF y
y
y
FzF

c
d

c
d
以横截面具有两 对称轴的等直杆承 受距离截面形心为 e (称为偏心距)的 偏心压力F为例，来 说明.
（6）截面为对称图形， 截面核心也成对称图形。
按顺序连接所得到的各载荷点，作出截 面核心。
[例]圆截面的截面核心
（1）作中性轴Ⅰ，
az R, ay
（2）求载荷点① ， 2 iy R2 R zF az 4R 4 iz2 yF 0 ay
z
R
①
R
Ⅰ
y
（3）按对称性求各载 荷点，并依次连接。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
iz2 ay yF
zF 0, az ; zF , az 0 2.作截面核心的方法
z F , az ; zF , az
2 iz z F 0, yF ay az
2
z
② ③
① ④
Ⅱ

h 2 h 2
i
2 y
b 2 Ⅰ 2 h 2 h 12 h 6
y
b 2
(5)中性轴位置变化与截面核心边界变化的关系：
①中性轴为定直线，载荷作用点为一定点；
②中性轴位置绕定点转动，载荷作用点集呈直线

2 2
2
2
k2
1 2 3 2 2 2 0
r 3 1 3 4
2
2
T M 4 W W p
2
2
r3
r4
M T W
2
2

M y max Wy M z max 31900 8540 6 167 10 MPa 6 6 Wz 69210 70.8 10
[ ]
§16-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
一.引例
q
B xF
l
F
A
y 二.应力分析
1.拉伸（压缩）
2.弯曲
3.总应力

§16-6 扭转与弯曲的组合变形
一.引例
传动轴 曲拐
二.弯扭的应力分析
1. 简化外力： P弯曲变形 T=-Pa扭转变形 2. 分析危险截面：
M Pl T Pa
A截面为危险截面
3. 分析危险点：
k1


max min 2
M W T Wt
z
Fz

F
Fy
y
M z Fy (l x) 以z为中性轴弯曲 M y Fz (l x) 以y为中性轴弯曲 M z F cos (l x) M cos
M y F sin (l x) M sin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M z的应力
Mz y M y cos Iz Iz
第16章 组合变形
一、组合变形的概念 二、斜弯曲 三、拉(压)与弯曲的组合
四、扭转与弯曲的组合
§16-1
一.引例
组合变形的概念
• 工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱
• 烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而 引起弯曲， • 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 • 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m

FN A
M W
t FN M c A W
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
例 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚 度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN, 横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度.
F
F
纵向对称面?
F
轴线
平面弯曲——对称弯曲
F
F
纵向对称面?
F
F
轴线
非对称弯曲 1.梁虽有纵向对称面，但载荷不作用在该平面 2.梁没有纵向对称面
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
Fy F cos Fz F sin
C
( y, z )
B
F
D
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F A A
（3） 最大弯曲正应力
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
1.2FR Ay 0.6F max Wz Wz
（4）危险点的应力
FRAy
FNAB
FRAx A F
D
30°
B
c max
0.866F 0.6F 94.37MPa [ ] A Wz
解：(1) 矩形截面：
2、圆截面
[例]跨度L=4m的简支梁截面为32a工字钢，中点受集中力 P=33kN,它与对称轴称15度角，若 [ ] 170MPa 按正应力校核强度。 解：作梁的弯距图 PL 33 4 M max 33kN 4 4 M z max M max sin 0 33sin 15 8.54kN M y max M max cos 33cos150 31.9kN 查表得： Wy 692106 m4 Wz 70.8 106 m4

中性轴
max
注意：若截面为曲线周边时，可作平行于中性轴 之切线，切点应力最大。
三.位移计算
计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法. xy平面内：
Fz

F
Fl 3 fy cos 3EI Z 3EI Z
Fy
Fy l 3
xz平面内：
3 Fz l 3 Fl fz sin 3EI y 3EI y
y
M y的应力
C点总应力：

Myz Iy
c
Mz sin Iy
2.中性轴的位置 中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0’ 由 0，即
y z M ( cos sin ) Iz Iy
y0 z0 M ( cos sin ) 0 Iz Iy
F FzF FyF t c A Wy Wz
0
az
2 iy
zF
§16-5 截面核心
一.截面核心的概念 z z0 z F y0 yF 1 2 2 iy iz 2 2 iy iz z0 y0 az 1 ay yF zF az a y
y
Iz 2 Iy 式中i , i y A A
2 z
三.中性轴与最大应力 1.中性轴方程 中性轴上各点坐标（zo,yo),应力为零
z 0 z F y0 y F 中性轴方程为： 1 2 2 0 iy iz z0 z F y0 yF 2 2 1 iy iz 2 i z0 y0 z 1 式中 a y yF az a y
[例]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ， az , a y 解：
（2）求载荷点① ， 2 i2 b 2 b y zF az 2 12 b 6 iz yF 0 ay （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 （4）求载荷点② ，
y
F
zF
yF z
c
d
F
FzF
FyF
FN F A A

Myz Iy
FzF z Iy
M z y FyF y Iz Iz
z
y

F Myz Mz y A Iy Iz
F FzzF FyyF A Iy Iz F zz F yyF (1 2 2 ) A iy iz
二.组合变形的定义
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲。
定义： 构件同时发生两种或两种以上基本 变形 情况称为组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力称 为复合内力。
在复合内力的计算中，通常都是由力作用 的独立性原理出发的。在线弹性范围内， 可以假设作用在体系上的各载荷中的任一 个所引起的变形对其它载荷作用的影响可 忽略不计。 实验表明，在小变形情况下，这个原理 是足够精确的。因此，可先分别计算每一 种基本变形情况下的应力和变形，然后采 用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引 起的总应力和总变形。