抛体运动(运动的合成与分解+平抛运动+斜抛运动)

第一章抛体运动
第一节曲线运动
1、定义
物体运动轨迹是曲线的运动，叫做曲线运动。

Eg：过山车的运动。

2、曲线运动的速度方向
质点在做曲线运动时，在某一点位置的速度方向就是曲线在这一点的切线方向。

注：因为曲线运动的速度方向时刻在变化，所以曲线运动是一种变速运动。

3、曲线运动的条件
（牛顿第二定律：要使物体的速度发生改变，必须对物体施加力的作用。

）
当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。

注：（1）加速度方向与合外力方向一定相同；
（2）质点作曲线运动时，受到合外力和相应的速度一定不为零，并总指向曲线内侧。

（3）重点掌握两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动；另一种是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。

4、曲线运动的判断
物体是否做曲线运动关键是看：物体所受合力或加速度的方向与速度方向的关系，若两方向共线就是直线运动，不共线就是曲线运动。

【知识拓展】
在曲线运动中：
（1）当力与速度间的夹角等于90°时，作用力仅改变物体速度的方向，不改变速度的大小，例如匀速圆周运动；
（2）当夹角小于90°时，作用力不仅改变物体运动速度的方向，并且增大速度的量值；（3）当夹角大于90°时，同样改变物体运动速度的方向，但是却减小速度的量值。

在曲线运动中物体运动到某一点时，物体所受的合外力可以分解为沿速度方向和垂直速度方向两个分量，其中沿速度方向的分量改变速度的大小，垂直速度的分量改变速度的方向。

曲线运动中速度的方向时刻在变，因为速度是个矢量，既有大小，又有方向，只要两者中的一个发生变化我们就是就表示速度矢量发生变化。

从对加速度的定义（速度变化与发生这一变化所用时间的比值叫做加速度）可知做曲线运动的物体就具有了加速度，所以曲线运动是
变速运动。

第二节运动的合成与分解
1、位移的合成与分解
一个物体同时发生两个方向的位移，它的效果可以用合位移来替代。

由分位移求合位移叫做位移的合成；
一个物体运动的合位移也可以用两个分位移来替代。

由合位移求分位移叫做位移的分解。

注：位移的合成与位移的分解都遵循矢量合成的平行四边行定则。

2、运动的合成与分解
已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

注：速度的合成和分解都遵循矢量合成的平行四边行定则。

【知识拓展】
（1）进行运动的合成与分解，就是对描述运动的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用平行四边形定则求和或求差。

运动的合成与分解遵循如下原理：
①独立性原理：构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其他分运动的存在而发生改变；
②等时性原理：合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义；
③矢量性原理：描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量的运算。

（2）合运动的性质可由分运动的性质决定：两个匀速直线运动的合成仍是匀速直线运动；匀速直线运动与匀变速直线运动的合运动为匀变速运动；两个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动。

（3）运动的合成与分解问题的思路与方法
分析与求解的思路与方法可概括为：一个法则，两个原则；一个分清，四个注意。

一个法则：就是分运动的速度（或加速度、位移）与合运动的速度（或加速度、位移）之间，满足平行四边形定则。

若以表示分运动的速度（或加速度、位移）矢量为邻边做平行四边形，则平行四边形的对角线就是表示合运动速度（或加速度、位移）的矢量，这是运动的合成；若以表示合运动的速度（或加速度、位移）矢量为对角线，沿分运动速度（或加速度、位移）方向做出邻边构成平行四边形，则平行四边形的邻边就是表示两个分运动速度（或加速度、位移）的矢量，这是运动的分解。

两个原则：①分解运动（速度、加速度、位移）时，遵守按效果分解的原则。

就是按实际运动造成的两个运动效果确定分运动的方向。

②简化原则。

是指将一个复杂的运动分解为两个较简单的运动。

一个分清：是指运动分解时，分清楚哪个运动是合运动？哪个运动是分运动？一般来说，质点实际进行的运动，也就是我们看到的运动是合运动，与这个运动的两个运动效果相对应的运动是分运动。

四个注意：①注意合运动与分运动等时性：两个分运动的时间与合运动的时间相等。

即合运分运动同时发生同时结束。

②注意分运动的独立性：一个分运动的速度、加速度、位移不受另一分运动的影响。

③注意合运动与分运动的等效性：合运动与两个分运动是等效的。

可以用合运动替代两个分运动，也可用两个分运动替代合运动。

④注意运动量的矢量性：描述合运动、分运动的物理量，如速度、加速度、位移，都是矢量。

运用平行四边形法则分析求解合运动或分运动的速度、加速度、位移时，不但要求出大小还要求出方向。

Eg1:关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（B D）
A、两个直线运动的合运动一定是直线运动
B、两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C、两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D、两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
注：关于互成角度的两个初速度不为0的匀变速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是抛物线运动。

当合加速度a和合初速度v共线时，物体做直线运动；当a与v不共线时，物体做抛物线运动（不是平抛）
Eg2:典型的运动合成问题——小船渡河
（小船渡河时，同时参与两个运动，一是相对水面的横渡运动，二是随水的漂流运动，这两个运动的合运动，就是船相对于河岸（大地）的运动，也就是岸上观察者看到的实际运动。

）小船在宽度为200m的河横渡，水的流速是v1=2m/s，船在静水中的速度是v2=4m/s。

（1）要使船渡河的航程最短，船应如何渡过？
（2）要使船渡河的时间最短，船应如何渡过？
解析：（1）船的航程，就是渡河过程中相对于河岸的位移大小，也就是小船合运动位移的大小。

当小船的实际航向，即合速度方向垂直河岸时航程最短，等于河宽。

欲使小船合速度方向垂直河岸，由平行四边形法则可知，小船相对水面的速度方向应斜向上游。

（2）欲使小船渡河时间最短，由分运动与合运动的等时性可知，只要使任一分运动的时间最短即可。

由于小船相对水面分运动速度恒定，当这一分运动的位移最小时，渡河时间最短。

当小船相对水面的速度垂直河岸时，这一分运动的位移最小，等于河宽d。

小结：①当小船相对水面的速度方向垂直河岸时，渡河时间最短。

②当小船相对水面的速度大于水的流速时，小船沿斜向上游一定角度航行，可使合运动的速度方向垂直河岸，航程最小，渡河的最小位移即为河的宽度。

如下图所示，根据三角函数关系有V C cosθ-V S=0。

所以θ＝arccos V S/V C，因为0≤cosθ≤1，所以只有V C>V S时，船才有可能垂直于河岸横渡。

③当小船相对水面的速度小于或等于水的流速时，不论船的航向如何，总是会被水冲向下游，合运动的速度方向不会垂直于河岸，但小船沿斜向上游一定角度航行，也可使渡河的航程（和运动的位移）最小，此时最短航程大于河宽。

如下图所示，设船头V C与河岸成角，合速度V与河岸与a角。

可以看出a角越大，船漂下的距离X越短。

以V S的矢尖为圆心，以V C为半径画圆，当V与圆相切时，a 角最大，根据cosθ＝V C/V S，船头与河岸的夹角应为：θ＝arccos V C/V S
Eg3:运动分解的典型问题——牵连运动问题
（一个物体通过绳子牵引另一物体运动，或者一个物体通过连杆带动另一物体运动，两物体运动方向不在一条直线时，两物体的速度大小不相等，如果按牵引或推动运动的效果，将牵引物体或带动物体的速度分解，或将两物体的速度同时分解，其中一个分速度的大小等于被牵引或推动物体的速度大小，或者一个物体的某个分速度等于另一物体的某个分速度。

）
如图1所示，人在岸上以速度v o匀速直线前进，通过定滑轮牵引水面上的小船A靠岸。

求：当绳子与水平方向的夹角为θ时，小船运动的速度大小。

图1
解析：将小船视为质点，它被牵引后沿水面的运动，造成两个效果，一是使绳子与竖直方向的夹角变小，相当于绳子绕定滑轮顺时钟转动，小船具有垂直于绳子斜向下的分速度。

二是使定滑轮右边的绳子变短，相当于绳子与小船的连接点沿绳子斜向上运动，小船具有沿绳斜向上的分速度。

如图2所示，可将小船的速度v分解为垂直绳子斜向下的速度v1和沿绳子斜向上的速度v2。

由于绳子不收缩，也没被拉断，小船的分速度v2等于岸上拉绳人的速度v o，即：。

当绳子与水平方向的夹角为θ时，由平行四边形
法则有：。

解得：。

图2
小结：分析求解牵引或带动运动问题，一是正确辨析合运动与分运动；二是依据合运动的效果确定分运动的方向；三是寻找出两物体合速度或分速度间的相等量，一般来说，绳（或杆）两端沿绳（或杆）方向的速度相等。

Eg4:如图所示的装置中，AB杆水平固定，另一细杆可绕AB杆上方距AB杆高h的O轴转动，两杆都穿过P 环，若使可动细杆绕O轴以角速度W转动，当可动细杆与竖直方向所成的锐角a＝30°时，环的运动速率为 4/3×Wh
解析：OP=h/cos30°
设环在很短时间内从P1运动到P，V1=W×OP=Wh/ cos30°
由运动的分解，V1=Vcos30°,所以V= V1/ cos30°=4Wh/3
第三节平抛运动
1、定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力的作用下所做的运动，叫做平抛运动。

2、平抛运动的特点
平抛运动可以看成是竖直方向和水平方向两个分运动合成的：
（1）在竖直方向上，物体受重力的作用，如果初速度为0，将做自由落体运动；
（2）在水平方向上，如果物体不受力，由于惯性将做保持初速度不变的匀速直线运动。

注：平抛运动的物体，由于所受的合外力为恒力，所以平抛运动是匀变速曲线运动。

3、平抛运动的规律
（1）在水平方向，物体的位移和速度分别为：x=v x t，v x=v0；
（2）在竖直方向，物体做自由落体运动，物体的位移和速度分别为：y=gt2/2，v y=gt
【知识拓展】
（1）平抛运动的时间仅与抛出点的竖直高度有关；物体落地的水平位移与时间（竖直高度）及水平初速度有关；
（2）在任意相等的时间里，速度的变化量相等；
（3）任意时刻，速度偏向角的正切等于位移偏向角正切的两倍；
（4）任意时刻，速度矢量的反向延长线必过水平位移的中点；
（5）从斜面上沿水平方向抛出物体，若物体落在斜面上，物体与斜面接触时的速度方向与水平方向的夹角的正切是斜面倾角正切的两倍；
（6）从斜面上水平抛出的物体，若物体落在斜面上，物体与斜面接触时速度方向与斜面的夹角与初速度无关，只取决于斜面的倾角。

Eg1:在倾角为α的斜面上的P点，以水平速度V0向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点，证明落在Q点物体速度V=V0√1+4tan2α。

解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是l，所用时间为t，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为h=lsinα；水平方向上的位移为s=lcosα。

又根据运动学的规律可得:
竖直方向上，h=gt 2
2
，vy=gt
水平方向上，s=v0t
则，tanα=h/s=vy/2v0,Vy=2Votanα
所以Q点的速度V=V0√1+4tan2α。

Eg2:如下图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为多少？
解析：由于Vy＝gt =2Votanα，则t1:t2=9:16
Eg3:某一平抛的部分轨迹如下图所示，已知X1=X2=a，Y1=b，Y2＝c，求Vo。

（从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解）
解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A到B、B到C 的时间为T，则X1=X2=VoT
又竖直方向是自由落体运动，则△Y＝Y2－Y1＝g T2
代入已知量，联立可得T ＝√
c−b g ,所以Vo ＝a √g c−b
Eg4：从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2S ，在A 点正上方高为2H 的B 点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为S 。

两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易。

如图所示，物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在Y 轴上的抛物线，即可设A 、B 两方程分别为y =ax 2+bx +c ，y =a′x 2+b′x +c′
则把顶点坐标A （0，H ）、B （0，2H ）、E （2，0）、F （，0）分别代入可得方程组，并求出的这个方程组的解的纵坐标y=6H/7，即为屏的高。

Eg5：如下图所示，在倾角为θ的斜面上以Vo 速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？
解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。

取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如上图所示，在轴上，小球做初速度为Vosin θ、加速度为－gcos θ的匀变速直线运动，所以有:
Vy 2−(Vosinθ)2=−2gy cos θ ①
Vy −Vosinθ=−gtcosθ ②
当Vy =0时，小球在y 轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得小球离开斜面的最大距离H ＝y ＝（Vosinθ）2
/2g cosθ
当Vy =0时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。

由②式可得小球运动的时间为t ＝Votan θ/g
第四节 斜抛运动（选学）
1、定义
当不考虑空气阻力时，一个物体沿斜向抛出（斜向上抛或斜向下抛）后的运动，叫做斜抛运动。

2、斜抛运动的特点
水平方向速度不变，竖直方向仅受重力，加速度为g 。

注：斜抛运动由于只受重力的作用，加速度的大小和方向都不会发生改变，因而是匀变速曲线运动。

3、斜抛运动射程的影响因素
斜抛运动的射程跟初速度和抛射角有关。

当初速度的方向一定时，初速度越大，射程就越大；如果抛射点与落地点在同一水平面上，而且空气阻力的影响可以忽略，此时当初速度大小一定时，当抛射角为45°时，射程最大。

思考：如何证明？
【知识拓展】
斜抛运动的求解：
在求解斜抛运动时，可将斜抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动进而进行求解。

速度：V X ＝Vcos θ；V y ＝Vsin θ-gt
位移：x= Vcos θ·t ；y= Vsin θ·t －
gt 22 可得t ＝ x Vcosθ，代入y 可得：y ＝ xtan θ－gx 22v (cosθ)，这就是斜抛物体的轨迹方程。

从上式可以看出：（1）x ＝ v 2sin2θg 是水平方向的最大射程；
（2）飞行时间：t =
2vsinθg
Eg1：一物体做斜抛运动（不计空气阻力），在由抛出到落地的过程中，下列表述中正确的是（D ）
A、物体的加速度是不断变化的
B、物体的速度不断减小
C、物体到达最高点时的速度等于零
D、物体到达最高点时的速度沿水平方向
Eg2：斜抛运动和平抛运动的共同特点是（）A、加速度都是g B、运动轨迹都是抛物线
C、运动时间都与抛出时的初速度大小有关
D、速度变化率都随时间变化
解析：物理学中的斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度或速度变化率都是相同的，都为重力加速度，因此选项A正确、选项D错误。

它们的轨迹均为抛物线，选项B正确。

斜抛运动的时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与高度有关，与初速度无关，故选项C错误。

答案：AB
Eg3：A、B两物体初速度相同，A沿与水平方向成θ角的光滑斜面上滑；B与水平方向成θ角斜上抛。

它们所能达到的最大高度分别为HA和HB。

则下列关于HA和HB的大小判断正确的是（）
A、HA＜HB
B、HA＝HB
C、HA＞HB
D、无法确定
解析：假设初速度为V0，在光滑斜面上时，对物体A进行受力分析可以得到物体的加速度a＝mgsinθ/m
＝gsinθ，物体在斜面上运动的长度为L，则V02＝2gLsinθ，离地面的高度h＝Lsinθ＝V02
2g
，斜向上抛时，
B物体竖直分速度Vy＝V0sinθ，上升的高度h’=V02(sinθ)2
2g
＜h。

答案：C
Eg4：斜向上抛出一球，抛射角α＝60°，当t＝1秒时，球仍斜向上升，但方向已跟水平成β＝45°角。

（g取10 m/s2）
(1)球的初速度V0是多少？
(2)球将在什么时候达到最高点？
解析:(1)斜抛物体经t秒时在x、y方向的分速度Vx＝V0cosα；V y＝V0sinα-gt
当t＝1秒时，速度与水平方向夹角为β＝45°，即V0sinα−gt
V0cosα
＝tan45°
解得V0＝10（√3+1）m/s
(2)设经过时间t到达最高点，则V y＝V0sinα-gt＝0
解得t= 1
2
（3+√3）s
Eg5：如下图所示，一架飞机距地面的高度为h，以匀速V1水平飞行．今有一高射炮要击中飞机，设高射炮炮弹的初速度为V0，与水平方向的夹角为α，并设发射时飞机在高射炮的正上方，空气的阻力可不计，那么要击中飞机，V0必须满足什么条件？并讨论V0和α的关系。

解析：炮弹击中飞机必须满足的第一个条件是：V0cosα＝V1，即在同一时刻炮弹和飞机的横坐标相等。

炮弹击中飞机的第二个条件是炮弹飞行的最大高度hmax≥h。

由两个条件得V0cosα＝V1①
2ghmax＝(V0sin α)2②
所以(V0sin α)2≥2gh
所以，击中条件是V0cosα＝V1和V0sin α≥√2gh
V1、α不同，V0就不同，但是整体要满足上面两个推论结果。