第5章数学实验
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背景
数学实验一般从问题出发，借助计算机，通过学生亲自设 计和动手，体验解决问题的过程．数学实验是未来科学不可缺 少的方法．数学实验的环境是计算机和数学软件．目前，数学 类科技应用软件有: MATLAB，Xmath， Reduce， Mathematica，Maple，MathCAD等．这些软件都是功能强大 的数学通用系统，它们的内部函数几乎包括了数学、物理中的 所有函数，而且还允许自定义函数．同时，它们还有简单易学、 易用的特点．通常，使用者只需输入一条命令而不用编制大量 的程序即可解决许多数学问题．
二、微积分运算的注意事项
非数值的微积分运算，在MATLAB中称为符号 运算，使用时有以下要求： (1)均需使用命令“sym”或“syms”创建符号变量和
符号表达式，然后才能进行符号运算； (2) 先创建符号变量，然后才能创建符号表达式；
三、极限运算
求表达式极限的命令用“limit”，基本用法见下表
diff(S,'x',n)
求表达式S关于x的导数 求表达式S关于x的n次导数
例1、求函数f (x) = ax2+bx+c的导数。
解 输入及结果如下：
>>syms a b c x >>f1=diff('a*x^2+b*x+c') f1=2*a*x+b >>f2=diff('a*x^2+b*x+c',2) f2=2*a >>f3=diff(f,a) f3=x^2 >>f4=diff(f,a,2) f4=0
例1 给定 =150,300,450,600 , 计算 sin 的值
alpha=[15, 30, 45, 60]*pi/180;
sin(alpha) ans =
0.2588 0.5000 0.7071
0.8660
利用冒号表达式创建向量 x = x0:step:xn 当步长 step=1 时可省略为 x = x0:xn 当步长 step 为负数时 x0 应大于 xn
附录：MATLAB软件中部分常用函数表
MATLAB 典 型函数
abs(x)
含义 求绝对值
MATLAB 典型函数
tan(x)
含义 正切值
sqrt(x)
求平方根值 cot(x)
余切值
exp(x)
指数运算 atan(x)
反正切值
sin(x)
正弦值
acot(x)
反余切值
coswenku.baidu.comx)
余弦值
log(x)
自然对数
例5、求函数 lim ln(cot x) 的极限。
x00 ln x
解 输入及结果如下：
>>syms x >>limit(log(cot(x))/(log(x)),x,0,'right') ans = - 1
练习、1.已知，y=x，y=sinx,画出 x的图象， sin x
并分析其极限．
2.并求以下函数的极限：
例3、求函数 lim ( 2x 3) x1 的极限。
x 2x 1
>>syms x >>limit(((2*x+3)/(2*x+1))^(x+1),x,inf)
例4、用导数定义求函数 f (x)=cos(x)的导数。 解 输入及结果如下：
>>syms t x >>limit ( (cos (x+t)-cos (x) )/ t, t,0) ans = - sin(x)
例2 用基本绘图方法绘衰减振荡函数 y = e– 0.5xsin 5x
的图形并用虚线表示振幅衰减情况。
1
x=0:0.1:4*pi; 0.5
y= exp(-0.5*x) ; y1=y .*sin(5*x); 0
plot(x,y1,x,y,’--r’,x,-y,’--r’) -0.5
-1 0 2 4 6 8 10 12 14
>>syms a b c x >>f = sym ('a*x^2+b*x+c'); >>f1 = limit (f,x,2) f1 = 4*a+2*b+c >>f2 = limit (f,b,3) f2 = a*x^2+3*x+c
sin x
例2、求函数 lim
的极限。
x→0 x
>>syms x； >>P=sin(x)/x >>limit(P)
1
（1）lim x 2e x2 x0
（2）xlim 0 arctan x 2
3.[传染病分析] 某实验室用500只老鼠做某一传染性 疾病实验，以检验它的传播理论．由实验分析得到 天后，感染数目的数学模型 N ．5问00：
1 99 e0.2t
(1) 实验开始时，有多少只老鼠感染此疾病? (2) 什么时候有一半的老鼠感染此疾病? (3) 预测当 t 时，传染病的传播数量．
表达式
输入命令格式
备注
lim f (x) xa
lim f (x) x a lim f (x) x a
limit (f,x,a) limit (f,x,a,’left’) limit (f,x,a,’right’)
若a=0，且是对x求极限， 可简写为limit(f) 趋于a的左极限
趋于a的右极限
例1、求函数f (x) = ax2+bx+c的极限。 解 输入及结果如下：
————MATLAB 工作界面和窗口——
MATLAB (MATrix LABoratory ) 一种解释式语言.易学易用、代码短效率高、 具有强大的数值计算和绘图功能、扩展性强.
✓矩阵的数值运算、数值分析、数值模拟 ✓数据可视化、绘制 2维/3维 图形 ✓可以与FORTRAN、C/C++做数据链接 ✓几百个核心内部函数
asin(x)
反正弦值
Log10(x)
常用对数
acos(x)
反余弦值
第二章 5一.2元微微分分实学验及其应用
一、微分实验 二、微分的综合实验
一、微分与导数运算
求导数用命令“diff”，相关的语法见下表
输入格式
含义
diff(f) 或diff(f,x) diff(f,2) 或 diff(f,x,2) diff(f,n) 或 diff(f,x,n) diff(S,'x')
✓几十个工具箱(信号处理、自动控制、···)
工作空间浏览
命令历史窗口 命令窗口
MATLAB桌面
第5二.1 章Matla一b元简微介分及学极及限其实应验用
一、向量的创建与作图 二、微积分运算的注意事项 三、极限运算 附录：MATLAB常用数学函数
一、向量的创建与作图
方括号直接输入法是创建向量(和矩阵)的常用方 法，输入时将向量元素用方括号“[ ]”括起来, 元素之间用逗号（或空格）隔开.
数学实验一般从问题出发，借助计算机，通过学生亲自设 计和动手，体验解决问题的过程．数学实验是未来科学不可缺 少的方法．数学实验的环境是计算机和数学软件．目前，数学 类科技应用软件有: MATLAB，Xmath， Reduce， Mathematica，Maple，MathCAD等．这些软件都是功能强大 的数学通用系统，它们的内部函数几乎包括了数学、物理中的 所有函数，而且还允许自定义函数．同时，它们还有简单易学、 易用的特点．通常，使用者只需输入一条命令而不用编制大量 的程序即可解决许多数学问题．
二、微积分运算的注意事项
非数值的微积分运算，在MATLAB中称为符号 运算，使用时有以下要求： (1)均需使用命令“sym”或“syms”创建符号变量和
符号表达式，然后才能进行符号运算； (2) 先创建符号变量，然后才能创建符号表达式；
三、极限运算
求表达式极限的命令用“limit”，基本用法见下表
diff(S,'x',n)
求表达式S关于x的导数 求表达式S关于x的n次导数
例1、求函数f (x) = ax2+bx+c的导数。
解 输入及结果如下：
>>syms a b c x >>f1=diff('a*x^2+b*x+c') f1=2*a*x+b >>f2=diff('a*x^2+b*x+c',2) f2=2*a >>f3=diff(f,a) f3=x^2 >>f4=diff(f,a,2) f4=0
例1 给定 =150,300,450,600 , 计算 sin 的值
alpha=[15, 30, 45, 60]*pi/180;
sin(alpha) ans =
0.2588 0.5000 0.7071
0.8660
利用冒号表达式创建向量 x = x0:step:xn 当步长 step=1 时可省略为 x = x0:xn 当步长 step 为负数时 x0 应大于 xn
附录：MATLAB软件中部分常用函数表
MATLAB 典 型函数
abs(x)
含义 求绝对值
MATLAB 典型函数
tan(x)
含义 正切值
sqrt(x)
求平方根值 cot(x)
余切值
exp(x)
指数运算 atan(x)
反正切值
sin(x)
正弦值
acot(x)
反余切值
coswenku.baidu.comx)
余弦值
log(x)
自然对数
例5、求函数 lim ln(cot x) 的极限。
x00 ln x
解 输入及结果如下：
>>syms x >>limit(log(cot(x))/(log(x)),x,0,'right') ans = - 1
练习、1.已知，y=x，y=sinx,画出 x的图象， sin x
并分析其极限．
2.并求以下函数的极限：
例3、求函数 lim ( 2x 3) x1 的极限。
x 2x 1
>>syms x >>limit(((2*x+3)/(2*x+1))^(x+1),x,inf)
例4、用导数定义求函数 f (x)=cos(x)的导数。 解 输入及结果如下：
>>syms t x >>limit ( (cos (x+t)-cos (x) )/ t, t,0) ans = - sin(x)
例2 用基本绘图方法绘衰减振荡函数 y = e– 0.5xsin 5x
的图形并用虚线表示振幅衰减情况。
1
x=0:0.1:4*pi; 0.5
y= exp(-0.5*x) ; y1=y .*sin(5*x); 0
plot(x,y1,x,y,’--r’,x,-y,’--r’) -0.5
-1 0 2 4 6 8 10 12 14
>>syms a b c x >>f = sym ('a*x^2+b*x+c'); >>f1 = limit (f,x,2) f1 = 4*a+2*b+c >>f2 = limit (f,b,3) f2 = a*x^2+3*x+c
sin x
例2、求函数 lim
的极限。
x→0 x
>>syms x； >>P=sin(x)/x >>limit(P)
1
（1）lim x 2e x2 x0
（2）xlim 0 arctan x 2
3.[传染病分析] 某实验室用500只老鼠做某一传染性 疾病实验，以检验它的传播理论．由实验分析得到 天后，感染数目的数学模型 N ．5问00：
1 99 e0.2t
(1) 实验开始时，有多少只老鼠感染此疾病? (2) 什么时候有一半的老鼠感染此疾病? (3) 预测当 t 时，传染病的传播数量．
表达式
输入命令格式
备注
lim f (x) xa
lim f (x) x a lim f (x) x a
limit (f,x,a) limit (f,x,a,’left’) limit (f,x,a,’right’)
若a=0，且是对x求极限， 可简写为limit(f) 趋于a的左极限
趋于a的右极限
例1、求函数f (x) = ax2+bx+c的极限。 解 输入及结果如下：
————MATLAB 工作界面和窗口——
MATLAB (MATrix LABoratory ) 一种解释式语言.易学易用、代码短效率高、 具有强大的数值计算和绘图功能、扩展性强.
✓矩阵的数值运算、数值分析、数值模拟 ✓数据可视化、绘制 2维/3维 图形 ✓可以与FORTRAN、C/C++做数据链接 ✓几百个核心内部函数
asin(x)
反正弦值
Log10(x)
常用对数
acos(x)
反余弦值
第二章 5一.2元微微分分实学验及其应用
一、微分实验 二、微分的综合实验
一、微分与导数运算
求导数用命令“diff”，相关的语法见下表
输入格式
含义
diff(f) 或diff(f,x) diff(f,2) 或 diff(f,x,2) diff(f,n) 或 diff(f,x,n) diff(S,'x')
✓几十个工具箱(信号处理、自动控制、···)
工作空间浏览
命令历史窗口 命令窗口
MATLAB桌面
第5二.1 章Matla一b元简微介分及学极及限其实应验用
一、向量的创建与作图 二、微积分运算的注意事项 三、极限运算 附录：MATLAB常用数学函数
一、向量的创建与作图
方括号直接输入法是创建向量(和矩阵)的常用方 法，输入时将向量元素用方括号“[ ]”括起来, 元素之间用逗号（或空格）隔开.