分组分解法2PPT课件
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
沪教版(五四学制)七上：6分组分解法课件(2)
因式分解： x2 y2 6x 6 y 2xy 8
练习1：因式分解 (1)4x2 4xy y2 4x 2 y 3 (2)x5 x4 x3 x2 x 1 (3)x2 (x y z) xyz (4)a2 b2 x2 y2 2ab 2xy
“三一” 分组
把x+3看 成整体
因式分解： (x 3)2 2(x 3) y y2 1
解：原式 (x 3 y)2 1 (x 3 y 1)(x 3 y 1) (x y 4)(x y 2)
因式分解： (x 3)2 2xy 6 y y2 1 解：原式 (x 3)2 2(x 3) y y2 1
考虑拆项
解：原式 a3 2a2 a2 4
(a3 2a2 ) (a2 4)
a2 (a 2) (a 2)(a 2)
(a 2)(a2 a 2)
分解到底了吗？
(a 2)(a 2)(a 1)
(a 2)2 (a 1)
十字相乘法
还有其他方法吗？
练习2：因式分解
x2 2x a2 2a
因式分解： x2 y2 3x 3y 2xy 2
解：原式 x2 2xy y2 3x 3y 2 (x y)2 3(x y) 2 (x y 2)(x y 1)
因式分解： x2 2xy y2 1
解：原式 (x2 2xy y2 ) 1
(x y)2 1 (x y 1)(x y 1)
因式分解： x2 3x 2
解：原式 (x 2)(x 1)
把x+y看 成整体
因式分解： (x y)2 解： (x y)2 3x 3y 2
解：原式 (x y)2 3(x y) 2 (x y 2)(x y 1)
代数第二册第八章第3节分组分解法(二)拆项、配方、换元
课程信息【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法(二)拆项、配方、换元二. 重点、难点拆项、配方、换元是因式分解常用到的技巧，这些技巧在今后的数学学习中还将大量用到。
拆项主要是把系数适当的拆分，再重新分组达到分解的目的。
配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的关键。
换元法的本质就是把相同的部分看作一个整体，这个整体有单个字母的作用。
以下是配方常用的公式2 2 2a b = (a b) -2ab2 2(a b) -4ab 二(a -b)(a -b)2 4ab 二(a b)2a(a 1)(a 2)(a 3) 1 = (a2 3a 1)2a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 = (a2 a 1)2【典型例题】2［例1］分解因式：(a b -2ab)(a b -2) (1 -ab)分析：此题无公因式可提，也无法运用公式，只有两项也无法分组，但要把每一项乘开则太麻烦，注意到a b，ab把它们看作一个字母，用换元法即可。
解：设= a b，y = ab则原式=(x -2y)(x -2) (1 -y)22 2=x _2xy _2x 4y 1 _2y y=x2 -2xy y2 -2x 2y 1= (x-y)2 -2(x-y) 1= (x-y -1)22=(a b -ab -1)二[(a —ab) 一(1 —b)]2= (a-1)2(b-1)22 2[例2]分解因式：(1 - 2a - a )b a(a - 1)(2b -1)分析：此多项式展开后，项数较多，不易找到分解的方法，可把其中a-1看做一个整式，减少展开后的项数，简化问题。
解:令a _1 =x贝卩1 _2a_a2 =(a_1)2 _2a2 =x2 _2a2•••原式二(x2 -2a2)b ax(2b2 -1)2 2 2=x b - 2a b 2ab x - ax2 2 2=(x b -ax) (2ab x-2a b)=x(xb - a) 2ab(bx - a)=(xb - a)(x - 2ab)= [(a —1)b —a] [a —1)+2ab]=(ab - a -b)(a 2ab -1)说明：换元时可以进行部分换元，分解因式后再还原。
【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT
知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中 不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可 提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分 组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上 述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式 分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.
分组分解法PPT课件
=(a+b)² -c² =[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b+c)(a43;3a-3分解因式
解：2x² -5x-ax+3a-3 =(2x² -5x-3)+(-ax+3a) =(x-3)(2x+1)-a(x-3) =(x-3)[(2x+1)-a] =(x-3)(2x+1-a)
` 定义：利用分组来分解因式的方
法叫做分组分解法。
例1、把x³ -x² +x-1分解因式。
解：x³ -x² +x-1
=(x³ -x² )+(x-1) =x² (x-1)+(x-1) =(x-1)(x² +1)
思考：本例能否按第1，3项，第2，
4项分组来分解呢？
例2 把a² +2ab+b² -c² 分解因式。
小结：1、要准确分组。 2、分解因式，一般应先考虑能否提取 公因式，然后考虑运用公式法和十字 相乘法,在不能运用上述方法分解时,再 考虑用分组分解法 3、分解因式必须进行到每个因式都不 再能分解为止。
.
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？ 。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？ •这个多项式能否进行因式分解？
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
2[1].4.2分组分解、拆添项法(二).讲义学生版
![2[1].4.2分组分解、拆添项法(二).讲义学生版](https://img.taocdn.com/s3/m/feaa7d699b6648d7c1c74682.png)
板块一：拆项与添项模块一：利用配方思想拆项与添项【例1】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【巩固】 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【例2】 分解因式：4231x x -+；【巩固】 分解因式：42231x x -+；【例3】 分解因式：4224a a b b ++【例4】 分解因式： 12631x x -+例题精讲分组分解、拆添项法【例5】 已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______.【例6】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【例7】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【例8】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【例9】 把444x y +分解因式．【巩固】 分解因式：464x +【例10】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【例11】 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++模块二：拆项与添项【例12】 分解因式：343a a -+【巩固】 分解因式：32265x x x +--【例13】 分解因式：3234x x +-【例14】 分解因式：267x x +-【巩固】 分解因式：398x x -+【例15】 （“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：326116x x x +++【例16】 若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A.0B.1-C.1D.3【例17】 分解因式：323233332a a a b b b ++++++【例18】 分解因式：3333a b c abc ++-.【例19】 分解因式：22268x y x y -++-【例20】 分解因式： 224414x y x y -++【例21】 分解因式：42471x x -+【巩固】 分解因式： 4414x y +【例22】 分解因式：432433x x xx ++++1.分解因式：43221x x x x ++++2.分解因式： 841x x ++3.分解因式： 4224781x x y y -+4.分解因式：51x x ++5.分解因式：541a a ++6.（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+7.分解因式：441x +=__________.课后练习。
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
分组分解法2[下学期]--北师大版-
![分组分解法2[下学期]--北师大版-](https://img.taocdn.com/s3/m/0e3e3ee20242a8956bece42a.png)
把下列各式分解因式： (1)a2+2ab+b2－ac－bc； (2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2； (3)4a2+4a－4a2b+b+1； (4)ax2+16ay2－a－8axy； (5)a(a2－a－1)+1； (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；
运用分组分解法把含有四项的多项 式分解因式，一般来说，可以把多项 式按“两两分组”或“三一分组，分组 的原则是：分组后，各组分别能分解 因式，并且两组之间能继续分解。
解: 45m2－20ax2+20axy－5ay2 2 2 2 =5a(9m －4x +4xy－y ) 2 2 2 =5a[9m －(4x －4xy+y )] =5a[(3m2)－(2x－y) 2] =5a(3m+2x－y)(3m－2x+y)
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n) 分解因式. 解: 2(a2－3mn)+a(4m－3n) =2a2－6mn+4am－3an =(2a2－3an)+(4am－6mn) =a(2a－3n)+2m(2a－3n) =(2a－3n)(a+2m).
分解因式: 2 2 (1)a +2ab+b -ac-bc; 2 2 (2)4a +4a-4a b+b+1; 4 3 2 2 2 (3)a b+2a b -a b-2ab
.
例2 把a4b+2a3b2－a2－2ab2分解因式. 解 ： 原式 = = = = =
例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2 分解因式.
（1）
4.分组分解法及分解因式的方法课件
知1－练
1 多项式x2－4与x2－4x＋4的公因式为( ) A．x＋4 B．x－4 C．x＋2 D．x－2
2 把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因 式，正确的分组方法应该是( ) A．(4x2－y)－(2x＋y2) B．(4x2－y2)－(2x＋y) C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
4.3.3 分组分解法及分解因式的方法
1 课堂讲授 分组分解法
因式分解的方法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复
习
回
顾
1．如何找出多项式的公因式？ 2．公式法的两种情势是什么？
知识点 1 分组分解法
知1－讲
1.定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提 公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解 方式一般分为“1+3”式和“2+2”式 .
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
知1－讲
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
1．分组分解法的几种情势是什么？ 2．因式分解的一般方法和具体步骤是什么？
1.必做: 完成教材P105复习题T10-12 2.补充: 请完成练习册剩余部分习题
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
9.16分组分解法(2)
活动2
分解因式：
探究新知
完全平方式
用“二二”分组能分解吗？ 多项式有何特征?
(3)
分析:
a2+2ab+b2–1 .
整 体 (a+b)2–1 平方差公式
解：a2+2ab+b2–1 这种分组方法称为“一三”分组． 2 2 =(a +2ab+b ) –1 =(a+b)2 –1 =(a+b+1) (a+b–1)
七年级上册第九章整式
活动1
分ห้องสมุดไป่ตู้因式：
回顾旧知
(1) 2ac–8ad+bc–4bd； 四项式进行“二二”分组 （方法二） 解：（方法一） 2ac–8ad+bc–4bd 2ac–8ad+bc–4bd =(2ac–8ad)+(bc–4bd) =(2ac+bc) + (–8ad–4bd) =2a(c–4d)+b(c–4d) =c(2a+b)–4d(2a+b) =(c–4d)(2a+b) =(2a+b)(c–4d) (2) a2+a–b2+b； 1. 按字母特征,或按系数特征, 解： a2+a–b2+b 或按字母指数特征分组； 2. 产生新公因式； =(a2–b2)+(a+b) 3.继续用提取公因式法； =(a+b)(a–b)+(a+b) 4.分解到不能分解为止． =(a+b)(a–b+1)
活动2
例题1 分解因式：
探究新知
如何分组？ 多项式有何特征? 解：(2) 4m2–n2–2n–1 =4m2– (n2+2n+1) =4m2– (n+1)2 =(2m)2– (n+1)2
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2.已知x－2y=－2b=－4098，
2020年10月2求日 2bx2－8bxy+8by2－8b的值. 12
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2020年10月2日
11
1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3；
(2)a4b－ab4；
(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；
(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；
(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)；
(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
2020(年610月)2日25x2-4a2+12ab-9b2.
5
分解因式: (1)a2+2ab+b2-ac-bc; (2)4a2+4a-4a2b+b+1; (3)a4b+2a3b2-a2b-2ab2.
2020年10月2日
6
例2 把a4b+2a3b2－a2－2ab2分解因式. 解 ： 原式=
=
=
=
(1)a2+2ab+b2－ac－bc；
(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1；
(4)ax2+16ay2－a－8axy；
(5)a(a2－a－1)+1；
(6)20a20年b10(月m2日 2+n2)+mn(a2+b2)；
10
运用分组分解法把含有四项的多项 式分解因式，一般来说，可以把多项 式按“两两分组”或“三一分组，分组 的原则是：分组后，各组分别能分解 因式，并且两组之间能继续分解。
2020年10月2日
3
例1：分解因式： (1)9m2-6m+2n-n2; (2)m2-4x2-4xy-y2;
2020年10月2日
4
练习
把下列各式分解因
(1)x2-;4y;
(3)a3-b3-a+b;
(4)1-m2-n2+2mn;
(5)4mn-4m2+9-n2;
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
13
分组分解法 （二）分组后能运用公式法
2020年10月2日
1
把下列各式分解因式： （1）5ax+6by+10ay+3bx; (2) 5x2+7a-7ax-5x；
多项式x2-y2+x+y怎样分解呢？
2020年10月2日
2
把下列各式分解因式：
(1)(x+y)(x-y)+x+y; (2)x2-y2+x+y; (3)(a-b)2-c2; (4)a2-2ab+b2-c2; (5)c2-a2+2ab-b2
=
2020年10月2日
7
例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2 分解因式.
解: 45m2－20ax2+20axy－5ay2 =5a(9m2－4x2+4xy－y2) =5a[9m2－(4x2－4xy+y2)] =5a[(3m2)－(2x－y) 2] =5a(3m+2x－y)(3m－2x+y)
2020年10月2日
8
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n) 分解因式.
解: 2(a2－3mn)+a(4m－3n) =2a2－6mn+4am－3an =(2a2－3an)+(4am－6mn) =a(2a－3n)+2m(2a－3n) =(2a－3n)(a+2m).
2020年10月2日
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把下列各式分解因式：