高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题05三角函数与解三角形A辑(解析版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题05三角函数与解三角形A 辑

历年联赛真题汇编

1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB

的取值范围是( ) A ．(0,+∞) B ．(0,

√5+12

) C ．(

√5−12

,

√5+12

) D ．(

√5−12

,+∞)

【答案】C

【解析】设a ，b ，c 的公比为q ，则b =aq,c =aq 2， 而sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB =

sinAcotC+cosAsinC sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)sin(B+C)

=

sin(π−B)sin(π−A)

=

sinB sinA

=

b a

=q ，

因此，只需求q 的取值范围，因为a ，b ，c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a ，b ，c 要构成三角形的三边，必须且只需a +b >c 且b +c >a ， 即有不等式组{a +aq >aq 2aq +aq 2>a

，

即{q 2−q −1<0q 2+q −1>0 ，解得{

1−√5

2

2q >√5−12

或q <−

√5+12

， 从而

√5−12

√5+12

.

因此所求的取值范围是(√5−12

,

√5+12

).

故选C ．

2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a 的值等于( )

A ．−1

2

B ．12

C ．−1

D ．1

【答案】C

【解析】令c =π，则对任意的x ∈R ，都有f(x)+f(x −c)=2， 于是取a =b =1

2,c =π，则对任意的x ∈R ，有af(x)+bf(x −c)=1，

由此得

bcosc a

=−1.

故选C ．

更一般地，由题设可得f(x)=√13sin(x +φ)+1，f(x −c)=√13sin(x +φ−c)+1， 其中0<φ<π

2

，且tanφ=2

3

，

于是可化为√13asin(x +φ)+√13bsin(x +φ−c)+a +b =1，

即√13asin(x +φ)+√13bsin(x +φ)cosc −√13bcos(x +φ)sinc +(a +b −1)=0. 所以√13(a +bcosc)sin(x +φ)−√13bsinccos(x +φ)+(a +b −1)=0. 由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有{a +bcosc =0①

bsinc =0②a +b −1=0③ .

若b =0，则由式①知a =0，显然不满足式③.故b ≠0. 所以，由式②知sinc =0，故c =2kπ+π或c =2kπ(k ∈Z ).

当c =2kπ时，cosC =1，则式①，③矛盾.故c =2kπ+π(k ∈Z )，cosc =－1. 由式①，③知a =b =1

2，所以

bcosc a

=−1.

3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形

D ．答案不确定

【答案】C

【解析】令∠ABC =α，过A 作AD ⊥BC 于D .

由|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⩾|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |推出|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−2tBA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +t 2|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2⩾|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2， 令t =

BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC

⃑⃑⃑⃑⃑ |BC

⃑⃑⃑⃑⃑ |2，代入上式，得|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−2|BA

⃑⃑⃑⃑⃑ |2cos 2α+cos 2α|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |2⩾|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2， 即|BA

⃑⃑⃑⃑⃑ |2sin 2α⩾|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2，也即|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |sinα⩾|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |， 从而有|AD

⃑⃑⃑⃑⃑ |⩾|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，由此可得∠ACB =π

2. 故选：C.

4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A

1，B 1，C 1.则

AA 1⋅cos A 2+BB 1⋅cos B 2+CC 1⋅cos C

2

sinA+sinB+sinC

的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．8

【答案】A

【解析】如图，联结BA 1，则AA 1=2sin (B +A

2)=2sin (

A+B+C 2

+B 2

−C 2

)=2cos (B 2

−C

2

)，