新教材人教A版必修第二册 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课件(42张)
2022版新教材数学必修第二册人教A版课件-6.3.4-平面向量数乘运算的坐标表示
基础认知·自主学习
首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在 北京 700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中 轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.
【问题 1】如何判断两条直线平行或重合呢？
【解析】设P(x，y)，则O→P ＝(x，y)， 因为O→B ＝(4，4)，且O→P 与O→B 共线， 所以4x ＝y4 ，即x＝y. 又A→P ＝(x－4，y)，A→C ＝(－2，6)，且A→P 与A→C 共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0， 解得x＝y＝3， 所以P点的坐标为(3，3).
三点共线问题
①已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？ ②已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线 CD吗？
【解析】①因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，A→C ＝(1－(－1)，5－(－1)) ＝(2，6)， 所以 2×4－2×6≠0，所以A→B 与A→C 不共线， 所以 A，B，C 不共线， ②因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， C→D ＝(2－1，7－5)＝(1，2). 又 2×2－4×1＝0，所以A→B ∥C→D .
【备选例题】 已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分 A→B 的比λ.
【解析】设P(x，y)，则由 A→P ＝λ P→B 及定比分点坐标公式得：(x，y)＝
21＋＋3λλ，11－ ＋λλ ， 又因为P点在直线l上，
1－λ
2＋3λ
所以 1＋λ
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】两个向量共线的坐标表示(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )．(2)若用坐标表示，可写为 (x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎨⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，可得向量 a ，b (b≠0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2.( )(3)若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量．( )(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )(5)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝－12.( ) 2.已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________．【经典例题】题型一 向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b →＝λa →验证． (2)判断AB →∥CD →，只要把点的坐标代入公式x 1y 2－x 2y 1＝0，看是否成立．【跟踪训练】1 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．题型二 三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种： 一是直接用AB→与＝λAC →；二是利用坐标运算.例2已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断A ，B ，C 三点之间的位置关系。
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
数学人教A版必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件
练习巩固
练习1：已知a = (−1,2)，b = (2,1)，求：
(1)2a + 3b；
1
2
(2)a − 3b；
1
3
(3) a − b.
解：(1)2a + 3b = 2(−1,2) + 3(2,1) = (−2,4) + (6,3) = (4,7).
当在线段上时， = 2，
∴( − 3, + 4) = 2(−1 − , 2 − )，
1
，
3
− 3 = −2 − 2，
=
1
∴
，解得
. ∴点的坐标为( , 0).
3
+ 4 = 4 − 2，
= 0，
当在延长线上时， = −2，
∴( − 3, + 4) = −2(−1 − , 2 − )，
y
(2)当P是线段P1 P2 的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：(2)如图，当是线段1 2 的一个三等分点时，有两种情况，
即1 =
1
2 或1
2
如果1 =
P1
= 22 .
1
2 ，那么
2
= 1 + 1 =
1
3
l
P
x
O
1
1 + 1 2
3
2
3
y
1
3
21 +2 21 +2
,
)
3
3
= 1 + (2 + 1 ) = 1 + 2 = (
1 +22 1 +22
22 ，那么点的坐标是(
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件
数
.
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x_1_y_2_－__x_2y__1 ＝0 时，向量a，b(b≠0)共线.
易错辨析
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则xy11＝xy22 ×.(
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线 的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练
已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断A→B与A→C
→ 解 因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
→ AC＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，
→→→ AC＝OC－OA＝(1－2k，－3)，
→→ 由题意可知AB∥AC，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
解得 k＝－14(k＝1 不合题意，舍去).
反思感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. 提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
解析 3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以0－(－10－30k)＝0，
解得 k＝－13.
→
→
→
(2)已知OA＝(k,2)，OB＝(1,2k)，OC＝(1－k，－1)，且相异三点
A，B，C
共线，则实数
k＝_－__14___.
2020新教材人教A版必修第二册第六章 6.3 6.3.4
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示知识点二 平面向量共线的坐标表示已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 是线段P 1P 2的中点，则点P 的坐标为□02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；若P 是线段P 1P 2上距P 1较近的三等分点，则P 点的坐标为□03⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；若P 是线段P 1P 2上距P 2较近的三等分点，则P 点的坐标为□04⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.1．线段定比分点的坐标公式 (1)线段定比分点的定义如图所示，设点P (x ，y )是线段P 1P 2上不同于P 1，P 2的点，且满足|P 1P →||PP 2→|＝λ，即P 1P →＝λPP 2→，λ叫做点P 分有向线段P 1P 2→所成的比，P 点叫做有向线段P 1P 2→的以λ为定比的定比分点．(2)定比分点的坐标表示设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎨⎧x －x 1＝λ(x 2－x )，y －y 1＝λ(y 2－y )，当λ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ.则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地，①当λ＝1时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，这就是线段P 1P 2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P 在P 1P 2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 2．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．3．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(1，－2)，则a ＝－2b .( ) (2)已知A (0,2)，B (4,4)，则线段AB 的中点坐标为(2,3)．( )(3)已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则C 点的坐标可能是(9,1)．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 时，有x 1x 2＝y 1y 2成立．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14) D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)(2)已知向量a ＝(2，－3)，若a ＝2b ，则b ＝( ) A ．(4，－6) B ．(－6,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 (3)若平面内三点A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则m 为( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2(4)已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标为________．答案 (1)D (2)C (3)A (4)(1，－1)题型一 向量数乘运算的坐标表示例1 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． (3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．在▱ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对称中心为O ，则CO →等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1,10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.题型二 向量数乘运算的简单应用例2 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[解析] 因为c ＝λ1a ＋λ2b ，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.[答案] D利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解 (1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理，可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)， 又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.题型三 向量共线例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________；(2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解析] (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)， 所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． 因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.(2)解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， 因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．解法二：由题意知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)， 因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． [答案] (1)2 (2)见解析向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . (2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.答案 1解析 因为a －2b ＝(3，3)与c ＝(k ，3)共线，所以3k ＝3×3，故k ＝1.题型四 点共线问题例4 (1)若点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝________；(2)设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x －1,4)．因为点A ，B ，C 共线，所以AB →与AC →共线． 所以7×4－72(x －1)＝0，解得x ＝9.(2)解法一：若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线，则存在实数λ，使得AB →＝λAC →，因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)． 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)． 即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ(10－k )，－7＝λ(k －12)，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． 解法二：由题意知AB →，AC →共线， 因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． [答案] (1)9 (2)见解析三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解 (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )． ∵AB →∥CD →， ∴x 2＝4，x ＝±2.(2)由已知得BC →＝(2－2x ，x －1)， 当x ＝2时，BC →＝(－2,1)，AB →＝(2,1)，∴AB →和BC →不平行，此时A ，B ，C ，D 不在一条直线上； 当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)， ∴AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线．又AB →∥CD →，∴A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． 综上，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.题型五 定比分点坐标公式例5 线段M 1M 2的端点M 1，M 2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M 1M →＝－2MM 2→，则点M 的坐标为( )A ．(3,8)B ．(1,3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)[解析] 设M (x ，y )，利用线段定比分点的坐标公式， 得x ＝1＋(－2)×21＋(－2)＝3，y ＝5＋(－2)×31＋(－2)＝1.[答案]C定比分点的两个特殊情况(1)中点坐标公式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y＝y 1＋y 22.(2)重心坐标公式：在△ABC 中，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 满足P 1P →＝λPP 2→，求λ及y 的值．解 解法一：因为P 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，y －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2，PP 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8－12，3－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2＝λ－172，3－y )．,根据向量相等，得⎩⎨⎧－52＝－172λ，y －2＝λ(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.解法二：因为P 1(3,2)，P 2(－8,3)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，所以点P 分P 1P 2→所成的比λ＝12－3－8－12＝517. 由定比分点的坐标公式得y ＝2＋517×31＋517＝4922. 题型六 向量共线的应用例6 在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．[解] ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4，3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)． ∵OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54. 同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， 而AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.① 而CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②由①②，得x ＝127，y ＝2. ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.[变式探究] 若将本例中的“OC →＝14OA →”改为“OC →＝13OA →”，其他条件不变，再试求M 点的坐标．解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，又OC →＝13OA →， ∴C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，同理D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 设M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72，∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20，①又∵CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －53，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43，C ，M ，B 三点共线，∴43x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －53＝0，即x －3y ＋5＝0，②由①②解得，x ＝85，y ＝115， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，115.由向量共线求交点坐标的方法如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．解 ∵OP →与OB →共线，故设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝(4λ－4,4λ)，AC →＝(2－4，6－0)＝(－2,6)． 由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0.解得λ＝34.∴OP →＝(4λ，4λ)＝(3,3)．故点P 的坐标是(3,3)．1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2 答案 A解析 a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.2．设点P 是P 1(1，－2)，P 2(－3,5)连线上一点，且P 2P →＝－12PP 1→，则点P 的坐标为( )A ．(5，－9)B ．(－9,5)C ．(－7,12)D ．(12，－7)答案 C解析 ∵P 2P →＝－12PP 1→，∴P 2是P 1P 的中点，∴P (－7,12)．故选C.3．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点的坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)答案 C解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋6)，AB →＝(－8,8)．∵A ，B ，C 三点在同一条直线上，∴x －3－8＝y ＋68，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x ＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.4．与a ＝(12,5)平行的单位向量为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.5．平面内给出三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求解下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解 (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)∵a ＋k c ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，又(a＋k c)∥(2b－a)，∴2(3＋4k)＝－5(2＋k)，∴k＝－1613.。
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1. 对于平面内的任一向量a，由 平面向量基本定理可得，有且 只有一对实数x、y，使得
y yj a
a=xi+yj。我们把有序数对（x，
xi
y）叫做向量a的坐标，记作a= j
（x，y）
Oi
x
2. 向量的坐标运算： ar (x1，y1)
r b (x2，y2 )
ar ar
a b
思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
结论r : 设r a =(x1，y1),b =(x2，y2),（其 中 b 0）,当且仅当
x1y 2 -x2y1 = 0
向量 a与向量 b 共线。
r rr r 即：a / /b(b 0) x1y2 x2 y1 0
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除，Q rr
y1,
y2有可能为
0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
不能, Q x1, x2有可能为 0 .
例6.
rrr
r
已知a / /b,且a =(4,2),b =(6,y),求y的值;
rr
u = 2a - br,且m// u,求r x的值. x = - 2r r
2. 已知向量a = (3, 4),b = (cosa ,sin a ),且a // b,
求tan a的值.
tan a = 4
r
3
3、与a (12,5)平行的单位向量是（ C ）
（A）（12 ，5） 13
（B）（ 12， 5 ） 13 13
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)
线的判断方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、逻
辑推理）
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的
课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.
∴ = Ԧ + Ԧ = Ԧ + Ԧ
故 = ，
即“实数与向量的积的坐标等
于用这个实数乘原来向量的相应
坐标.”
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例6 已知 = ， ， = −， ，求3+4
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
例8 已知 −, − , = , , = , ,
判断, , 三点的位置关系.
方法提示：这两道题考察了向量共线（平行）的坐标表示.
用坐标可表示为 , = , = ，
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
⇔ = ⇔ − =
五
探究新知2——平面向量共线的坐标表示（互学）
（二）平面向量共线的坐标表示
七
成果展示2(迁移变通)
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
解：∵已知 = ， ， = ， , 且 ∥
∴满足 = × （交叉相乘积相等）
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)
,
)或
3
3
P1
P2
l
P
O
x
y
探究：当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x
y
x1 x2
1
y1 y2
1
(定比分点公式)
x1 x2 y1 y2
问题1：已知,
Ԧ ，其中≠ 0，则两个向量共线的条件是什么？
Ԧ =
问题2：如何用坐标表示两个向量共线？
设Ԧ = (1 , 1 ), = (2 , 2 ), ≠ 0
用坐标表示(1 , 1 ) = (2 , 2 ),
1 = 2
1 = 2
消去λ，得1 2 − 2 1 = 0
1
x1 x2 y1 y2
,
)
解法1： OP (OP1 OP2 ) (
2
2
2
x1 x2 y1 y2
∴点P 的坐标为 (
,
)
2
2
解法2： 设P( x, y )，
由P1P PP2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y )
x1 x2 y1 y2
3
1
2
1
21 + 2 21 + 2
= 1 + (2 − 1 ) = 1 + 2 = (
,
)
3
3
3
3
3
21 +2 21 +2
点P的坐标为(
,
)
3
3
人教版数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示课件
1
1
A. a＋ b
2
4
2
2
C. a＋ b
3
3
B．
D．
1
a＋
3
1
a＋
2
5
b
6
3
b
4
因为DE＝EC.
所以
1
＝ (
2
1
2
1
＋)＝
3
4
＝ ＋ ＝ a＋ b.
1
)＝ (
2
1
＋
2
＋)
法二
2．已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点
即ቊ
1=6−
=1
解得ቊ
=5
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，
则
1
－
＝________．
2
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
2−
得
4
=
3+2
所以 ＝. 因为DE＝EC，所以
1
2
1
3
a＋ b.
2
4
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
1
1
3
)＝ ＋
2
2
4
＝
1
1
＝ ＝ ，
2
2
1
＋ ( － )＝
2
1
2
＋ (－
法一
跟踪训练
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设 ＝a，
6.3.2-4平面向量的正交分解、坐标表示、坐标加减运算-高中数学必修第二册课件(共48张ppt)
例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:
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必备知识生成
【情境探究】 1.平面向量的数乘运算 (1)设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量λa(λ∈R)如何用基底i,j 表示? 提示:λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j. (2)向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似? 提示:类似.先算数乘,再算加减,有括号的先算括号里的.
2.向量共线的坐标表示
已知下列几组向量:
①a=(0,3),b=(0,6).
②a=(2,3),b=(4,6).
③a=(-1,4),b=(3,-12).
④ a (1 ,1),b ( 1 , 1).
2
2
回答下列问题:
(1)上面几组向量中,a,b有什么关系?
提示:①②中b=2a,③中b=-3a,④中b=-a.
1.若将本例条件“| AP|=2| PB|”改为“ AP =3 PB ”,其他条件不变,求点P的 坐标.
【解析】因为 AP=3 P,B
关键能力探究
探究点一 向量共线的判定及解决点共线问题
【典例1】(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则
C点的纵坐标为 ( )
A.-13
B.9
C.-9
D.13
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 AB与CD平行吗?直线AB平行于 直线CD吗?
x1 x2
即yy12x，1y2-x2y1=0.
【知识生成】 1.平面向量的数乘运算的坐标表示:
数学公式
向量 数乘
λa=_(_λ__x_1_,_λ__y_1)_
文字语言表述 实数与向量的积的坐标等于用这个实 数_乘__原来向量的相应坐标
2.向量共线的坐标表示: a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当_x_1y_2_-_x_2_y_1=_0_时,向量a,b(b≠0)共线. 有关结论: (1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使_b_=_λ__a_. (2)若A,B,C三点共线,则向量 AB与AC _共__线__,即存在唯一实数λ,使_A_B_＝___A_C_. (3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=_(_λ__x_,_λ__y_)_. (4)若a=b,则a与b的坐标_相__同__.
B.(－ 5，－ 4 )
kk
D.(5k,4k)
【gt;0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________. 【解析】因为 AB=(1,a2+a), A=C(2,a3+a), 又A,B,C三点共线,所以AB AC， 所以1×(a3+a)-2(a2+a)=0,即a2-2a-1=0. 又a>0,所以a=1+2 . 答案:1+ 2
【类题通法】 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
【定向训练】
1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是 ( )
A.2
B.1
C.3
D.4
C.2
D.11
4
2
4
【解析】选B.因为a=(2,-1),b=(1,1),
所以a+kb=(2+k,-1+k),又c=(-5,1), 由(a+kb)∥c得(2+k)×1=-5×(k-1),解得k= 1.
2
3.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是________.
【解析】因为a∥b,所以x2-x-λ=0, 即λ=x2-x=(x－1)2－1 －1，
【思维导引】
【类题通法】 向量共线的判定方法
提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不 对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
【定向训练】
1.下列向量中,与向量a=(-5,4)平行的是 ( )
A.(-5k,4k) C.(-10,2)
3
3
求证: EF AB.
探究点二 根据向量共线求参数 【典例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们 是同向还是反向? 【思维导引】方法一:可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同 向;λ<0,b与a反向)求解; 方法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
【解析】选A.因为a=(1,1),b=(2,x),
所以a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),
因为a+b与3a-b平行,
所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为
()
A.－11
B. 1
(2)以上几组向量中,a,b共线吗?a,b的坐标满足什么条件?
提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢?
提示:由于a=λb,故(x1,y1)=λ(x2,y2),即
x1 x2 ,
y1
y2 ,
当x2,y2≠0时,λ=
24 4
所以λ的最小值为- .1
4
答案:- 1
4
探究点三 向量共线的综合应用 【典例3】已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且 | AP |＝2 | PB |，求点P 的坐标. 【思维导引】点P在直线AB上,包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上,因 此应分类讨论.
【延伸探究】
3.已知A(1,-3),B(8，1 )，C(9,1).
2
求证:A,B,C三点共线.
【证明】AB＝(8－1，1＋3)＝(7，7)，AC=(9-1,1+3)=(8,4),因为7×4- ×7 8=0,所以
2
2
2
AB 且AC， 有AB公，A共C 点A,所以A,B,C三点共线.
【补偿训练】
已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且 AE 1 AC，BF 1 BC，