通信技术概论信号的能量谱密度与功率谱密度

2.2.3 功率谱密度

我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：

由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量：

⎰∞

∞-=dt t f E )(2， （注释：22u R u i u E ==⋅=/）

积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。

对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。这种信号称作（平均）功率信号。 我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）：

()⎰-∞→=22

21T T T dt t f T S lim 式中，T 是为求平均的时间区间。

为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。

能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。

我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。

通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。

对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有

()()⎰∞+∞-ωωωπ

=d e F t f t j 21 则信号的能量： ()()⎰⎰⎰∞∞-∞+∞-ω+∞∞-ωωπ

==dt d e F t f dt

t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ

=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。今后如无特别说明，都是指实信号，

这样则得到：

()()⎰⎰∞+∞-∞∞-ωω⋅ωπ==d F F dt t f E *)(212

()⎰∞+∞-ωωπ

=d F 221 式中，令，)( 2

Hz J E F /,)()(ω=ω，称)(ωE 为能量谱密度。

信号的能量又可以表示为：

⎰∞+∞-ωωπ

=d E E )(21 上式就是能量信号的parsverl 公式。公式表明：信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出的能量的连续和。能量谱密度 )(ωE 反映了信号能量在频率轴上的分布情况。

对于功率信号，其功率谱密度可按下面方法求得：

把)(t f 在间隔2 T t >以外的部分截去，得到截短函数： ()其它

2 0T t t f t f T ≤⎩⎨⎧=,,)(

如下图示，只要T 为有限值，)(t f T 的能量T E 也是有限值。

设)(ωT F 为)(t f T 的频谱函数，这样，)(t f T 的能量T E 是：

⎰⎰∞+∞-+∞∞-ωωπ

==d F dt t f E T T T 2221 )()(

t t

因为，⎰

⎰-∞+∞-⋅=2222 T T T dt t f dt t f )()(

所以有： ()()()()⎰⎰⎰⎰∞∞-∞→∞∞-∞→∞∞-∞→-∞→ωωπ=ωωπ

⋅=⋅==d T F d F T dt t f T dt t f T S T T T T T T T T T 2

2222

22121111 lim lim lim lim 平均功率 当T 增加时，)(t f T 的能量也增加，2)(ωT F 也增加，∞→T 时，T F T 2)(ω的极限可能存在，令：

()

)(lim ω=ω∞→S T T P T F 2， ～ 称此极限为（平均）功率谱密度

信号()t f 的（平均）功率又可表示为：

()()()⎰⎰⎰∞∞∞∞-⋅=ω⋅ωπ=ω⋅ωπ=002 1 21df

f P d P d P S S S S

（注：)(ωS P 功率谱密度是频率的实偶函数）

物理意义：信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出的功率之连续和。功率谱密度 )(ωE 反映了信号能量在频率轴上的分布情况。

需要说明：功率谱密度只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。也就是说从功率谱中只能获得信号的幅度信息，得不到相位信息。

2.2.4 自相关函数与互相关函数

相关函数在信号分析中是十分有用的工具。

自相关函数表征信号与其本身在时移τ后的关联程度。

互相关函数表征两个不同的信号波形在不同时刻间的相互关联程度。

（1）自相关函数