4-1刚体的定轴转动-力矩-转动惯量-转动定律
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NO.4-1
第四章 刚体的转动
你能回答下列现象吗?
（1）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （2）转动的车轮为何不会掉下？ （3）花样滑冰运动员的转速为何会变化？ （4）直升飞机为何要有旋转的尾翼？ （5）走钢丝的杂技演员为何手中要拿一根长杆？
质点模型
质点系模型
刚体模型
从三个方面讨论：
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
C
今日作业
4－10, 11，14，18
习题 2-26
对于m’
N sin m' a'
m
m'
对于m
mg sin ma' cos maR
N ma' sin mg cos
m
N
Fi
a'
mg sin cos m' m sin
2
N
mm' g cos m' m sin
mi
fi
转动定律（the Law of Rotation） M J
3. 转动惯量（Moment of Inertia）
取决于刚体的质量、质量对轴的分布、 转轴的位置； 质量连续分布刚体的转动惯量： 2 d m ：质量元 J r dm 单位：kg· 2 m
例3
一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
A
FT 1
FT 2
mA
C
mA mB mA mB mc
1 2
mC
g
2mB gy mA mB 1 mc 2
mA 1 mc mB 2
mA mB mc
1 2
g
v
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd v ret
2 a ret r en
a
an r
at
et v
例1：
2
y
由于 a a 'a R
a sin aR cos a' a cos aR sin
y
FN
G
x
x
m'
N'
G'
a R a a' 2 2 2 g sin m' (2mm' m ) sin a 2 m' m sin
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
y
y
x
r
O
F p0 Lh 1 2
F
dA
h
dy
y
x
Q
gLh
2
O
M 1 2
L
p0 Lh
2
1 6
g Lh
3
二. 刚体转动定律
2. 转动定律（The Law of Rotation)
转动惯量（ Moment of Inertia ）
J
z
O
i
m i ri
2
ri
Fi
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为
零;
in in M Mi 0
i
M ij
O
M
d
ji
i F ji ri F ij
rj
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。 ex M M M1 M 2 M 3
例2：有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水 深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量 角坐标 θ
角速度 ω=d /dt
角位移 d
z
(t )
x
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！ 参考平面 角加速度
=d /dt
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动的运动方程 （Rotation with constant angular acceleration）
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 滚动（roll）
平面平行运动（planar translation）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
O
l 2
r
dr
ml
2
O
l 2
r
dr
1 3 ml
2
O´
J 1 12
O´
J
l
d
C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
RR
O
r
dr
m
R1 R2
J 1 2 m( R1 R2 )
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0 t
1 2
x x0 v 0t
v
2 2 0
at
2
0 0t t
1 2
2 2
2
v 2a( x x0 )
0 2 ( 0 )
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
2 2
J
1 2
mR
2
例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
2 3
J
mR
2
R
O
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（m R）的转动惯量为 2 2 J mR 5
应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确定 外力，力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
2
ex F dt dp
y
2g
N 3yg
质点系的动量定理
F 对转轴 Z 的力矩 MrF
M
M
z
说明：
O
r
d
F
*
P
（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转 轴的力矩为 零； （2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩;
z
k
O
Fz
F
F
r
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω 0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000 r· -1 ．转 min 子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
150Baidu Nhomakorabea
t
2
N 3 10
4
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque， moment of force ）
习题 3 - 9
O
由质点动量定理
Fdt p2 p1
F
原 长 平衡 位置
(mg F ) t 0 mv
F mg mv t
y
G
v
2 gh
习题 3-12
y
v2 v1
h=19.6m
o
100m
x
2 h 1 gt 2 s vxt
爆炸前后系统动量守恒定律
3g cos 2l
3g sin l
思考：此时棒受到轴的约束力的大小和方向.
1 5 F mg cos et mg sin en 4 2
Ex8.
关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会 改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩 之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在 相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。
mvx 0 m v2 x 2 0 m v1 y m v2 y 2 2 1 gt 2 h v1 y t 2
y h v2 y t ' 1 gt ' 2
2
x s v2 xt '
习题 3-15
o
y
(mg N ) dt d[ (l y )v]
y v
对上述说法，下列判断正确的是
（A）只有（2）正确 （B）（1）、 （2）正确 （C）（2）、 （3）正确 （D）（1）、 （2）、（3）都正确
（
）
B
Ex9. 均匀细棒OA可绕通过其一段O而与棒垂直 的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从 水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直 位置的过程中，下述说法正确的是 （ ） （A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从大到小，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 O A
第四章 刚体的转动
你能回答下列现象吗?
（1）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （2）转动的车轮为何不会掉下？ （3）花样滑冰运动员的转速为何会变化？ （4）直升飞机为何要有旋转的尾翼？ （5）走钢丝的杂技演员为何手中要拿一根长杆？
质点模型
质点系模型
刚体模型
从三个方面讨论：
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
C
今日作业
4－10, 11，14，18
习题 2-26
对于m’
N sin m' a'
m
m'
对于m
mg sin ma' cos maR
N ma' sin mg cos
m
N
Fi
a'
mg sin cos m' m sin
2
N
mm' g cos m' m sin
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转动定律（the Law of Rotation） M J
3. 转动惯量（Moment of Inertia）
取决于刚体的质量、质量对轴的分布、 转轴的位置； 质量连续分布刚体的转动惯量： 2 d m ：质量元 J r dm 单位：kg· 2 m
例3
一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
A
FT 1
FT 2
mA
C
mA mB mA mB mc
1 2
mC
g
2mB gy mA mB 1 mc 2
mA 1 mc mB 2
mA mB mc
1 2
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v
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd v ret
2 a ret r en
a
an r
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et v
例1：
2
y
由于 a a 'a R
a sin aR cos a' a cos aR sin
y
FN
G
x
x
m'
N'
G'
a R a a' 2 2 2 g sin m' (2mm' m ) sin a 2 m' m sin
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
y
y
x
r
O
F p0 Lh 1 2
F
dA
h
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y
x
Q
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2
O
M 1 2
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2
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二. 刚体转动定律
2. 转动定律（The Law of Rotation)
转动惯量（ Moment of Inertia ）
J
z
O
i
m i ri
2
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Fi
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为
零;
in in M Mi 0
i
M ij
O
M
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ji
i F ji ri F ij
rj
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。 ex M M M1 M 2 M 3
例2：有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水 深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量 角坐标 θ
角速度 ω=d /dt
角位移 d
z
(t )
x
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！ 参考平面 角加速度
=d /dt
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动的运动方程 （Rotation with constant angular acceleration）
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 滚动（roll）
平面平行运动（planar translation）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
O
l 2
r
dr
ml
2
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l 2
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O´
J 1 12
O´
J
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C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
RR
O
r
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R1 R2
J 1 2 m( R1 R2 )
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
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1 2
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v
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一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
2 2
J
1 2
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例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
2 3
J
mR
2
R
O
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（m R）的转动惯量为 2 2 J mR 5
应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确定 外力，力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
2
ex F dt dp
y
2g
N 3yg
质点系的动量定理
F 对转轴 Z 的力矩 MrF
M
M
z
说明：
O
r
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（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转 轴的力矩为 零； （2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩;
z
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二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω 0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000 r· -1 ．转 min 子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
150Baidu Nhomakorabea
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二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque， moment of force ）
习题 3 - 9
O
由质点动量定理
Fdt p2 p1
F
原 长 平衡 位置
(mg F ) t 0 mv
F mg mv t
y
G
v
2 gh
习题 3-12
y
v2 v1
h=19.6m
o
100m
x
2 h 1 gt 2 s vxt
爆炸前后系统动量守恒定律
3g cos 2l
3g sin l
思考：此时棒受到轴的约束力的大小和方向.
1 5 F mg cos et mg sin en 4 2
Ex8.
关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会 改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩 之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在 相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。
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习题 3-15
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(mg N ) dt d[ (l y )v]
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对上述说法，下列判断正确的是
（A）只有（2）正确 （B）（1）、 （2）正确 （C）（2）、 （3）正确 （D）（1）、 （2）、（3）都正确
（
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B
Ex9. 均匀细棒OA可绕通过其一段O而与棒垂直 的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从 水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直 位置的过程中，下述说法正确的是 （ ） （A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从大到小，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 O A