专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间(讲稿)

线性运算 代 数 结 构
集合
距离 几 何 结 构
线性运算按 线性运算按 线性 距离连续 线性距离 距离连续 距离 空间 空间 线性运算 距离 空间
|| x || = d(x,0) d(x,y)=||x-y||
|| x || = d(x,0)
B
F D
线性运算 范数 线性赋范 赋范 线性运算按 空间 线性运算按 空间 范数连续 范数连续 完备性 巴拿赫 空间
5 线性赋范空间中的无穷级数
设{xn} 是线性赋范空间X中的点列，表达式
x1 x2 ... xn ... xn
称为X中的无穷级数
n 1 n

sn x1 x2 ... xn xi
称为级数的部分和。如果存在sX, 使得 ||sn-s||0 (n), 则称级数收敛于s，s称 为级数的和，记为
2）T关于X与Rn的某种范数是等距同构映射：
n ~ x i ei X Tx x (1 ,, n ) R i 1 n
在Rn中定义实值函数：
f (~ x ) f (1 , 2 ,, n ) i ei


n
x
X
(1)
(2)
~ ~ f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 x n ~ R, x R
事实上，当||1时，
n | i | 1 | i | 1 (x,0) i | | i i 1 2 1 | i | i 1 2 1 | || i | n
y (1 ,2 ,,n ,) S n 1 | i i | 1 ( x, y) i i 1 2 1 | i i |
. n n


定理1 设X是线性赋范空间，{xn}、{yn}X, x,yX, {n}R, R 如果n, xnx, yny, 则有
x n x ,
证
nx x,
xn+ynx+y
n|n-|0 线性赋范空间中线性 xnx||xn-x||0 运算对范数的连续性 yny||yn-y||0 ||xn-x||=|| ||xn-x||0xn x
1 范数与线性赋范空间 定义7 设X是一线性空间，x X，定义实值函数 || x || 满足 :
则称 || x || 为X的范数, X为线性赋范空间。
范 数ห้องสมุดไป่ตู้公 理
2 由范数诱导的距离 定义8 设X为线性空间, x, y X , 定义 ( x, y) || y x ||
1 ） ( x y,0) ( x, y ) 满足下面条件： 2） (x,0) | | ( x,0), ( R) 则称 ( x, y)为由范数诱导的距离。
X
i 1
X
X
0 x0
f (~ x ) x X x n ~ ~ (3) x, y R f (~ x~ y) x y
X
f (~ x)
~ ~ y f ( x ) f ( y) X X Rn Rn f (~ x) f ( x ) x , x x n ~ ~ ~ 故 是R 中的范数，记作 ： 则 x
xnx||xn-x||0| ||xn||-||x|| |0||xn||||x||
定理3 设X是线性赋范空间，d是由范数诱导的距离， 则对x，y,z0X有.
1) 平移不变性：d(x+z0, y+z0)= d(x, y)
2) 绝对齐次性：d(x, y)=| | d(x, y) 证 1) d(x+z0, y+z0)= ||(x+z0 )-( y+z0) ||= ||x- y||= d(x, y) 2) d(x, y)= || x-y||= | | || x-y||= | | d(x, y)
x [ i ]
i 1 1 p p
1 p p
(4) C[a,b] ( x, y ) max | x(t ) y (t ) |
a t b
b 2 2 ( x, y ) | x ( t ) y ( t ) | dt a 1 2
1 p
x

max x(t )
定义9 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
例如： 1 ）R n按范数 || x ||2 [
|
i 1
n
i
| ] 是完备的线性赋范空间，
1 2 2
因此Rn是Banach空间。
i
2）m按范数 || x || sup | i | 是Banach 空间。
3）l p按范数 || x || ( | i | ) 是Banach空间。
注： 1)显然 ( x,0) || x || 2)线性赋范空间X按由范数诱导的距离 ( x, y) || x y || 成 为距离空间。可见，线性赋范空间是一种特殊意义的
距离空间。 3)一个度量空间成为线性赋范空间 距离函数按规定线性运算是由范数诱导的距离 ( x y,0) ( x, y ) 即满足： (x,0) | | ( x, y ) 范数公理 4)一个线性赋范空间中所定义的范数应满足： 距离公理 因此，一般范数定义为 || x || ( x,0)

||nx-x||=|n-| ||x||0 nxx
||(xn+ yn)-(x+y) ||=||(xn-x)+(yn-y)||||xn-x||+||yn-y||0 xn+ynx+y
定理2 设X是线性赋范空间，{xn}X, xX. 1) 如果xnx, 则{||xn||}有界 （范数列的有界性）； 2) 如果xnx, 则||xn||||x|| (范数的连续性，即 ||x|| 是x的连续函数）；
最常用距离空间Rn, m, C[a,b], lp, Lp[a,b] 又都是线性空间
一、线性赋范空间与巴拿赫空间
1 ） || x || 0，（非负性），且 || x || 0 x 2） || x ||| ||| x || (齐次性) 3） || x y |||| x || || y || (三角不等式)
证 1) xnx||xn-x||0||xn||||xn-x||+ ||x|| ||x|| {||xn||}有界 2) 一方面，||xn||-||x|| ||xn-x|| 另一方面， ||xn||-||x||=||xn||-||x-xn+xn|| ||xn||-(||x-xn||+||xn||)=-||xn-x|| 因此 | ||xn||-||x|| |||xn-x||
i 1
s xn
n 1

如果数项级数

n 1

xn
收敛，则称级数
x
n 1

n
绝对收敛；当X是巴拿赫空间时，若级数绝对收敛则 级数一定收敛。 6 线性赋范空间中的完备化 定义5（线性等距同构）设（X1，1）和（X2，2） 是同一数域上的两个线性赋范空间。如果存在一一映 射T：X1X2，满足： （1）线性：x,yX及，，成立 T( x+ y)= T(x)+ T(y)， （2）等距：xX，成立 Tx2= x1
不完备，其完备化空间是L2[a,b].
二、有限维线性赋范空间的特殊性质
•有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力 工具。 •有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间 的相似性)
1 n维线性赋范空间的模型（反映了与欧氏空间Rn的关系）
定理1 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn（在某种 范数下）是线性等距同构的。 证 设{e1,e2,…,en}是X的一个基底， xX ，(1,2,…,n)Rn, 使得 x
1 ( x, y ) | i i |
i 1 n
i
x max i
x 1 | i |
i 1
i n
i 1
n
i
(2) m (3) lp
( x, y) sup | i i |
( x, y ) [ i i ]
i 1
i n
x sup | i |
a x b
b 1 2
2 x 2 a | x(t ) | dt
(5)
Lp[a,b]
b ( x, y ) | x(t ) y (t ) | p dm a
b p x x(t ) dm a
1 p
4 巴拿赫（Banach)空间
x i ei ,
i 1

n
y i ei X ,
i 1

n
, R
Tx ~ x (1 , , n ) R n , Ty ~ y ( 1 , , n ) R n n T (x y ) T (i i )ei i 1 (1 1 , , n n ) ~ x ~ y Tx Ty
则称X1与X2是线性等距同构的，也称T是从X1到X2的线性 等距同构映射。
注：两个同构的线性空间可以看作是同一的。
定理4（完备化定理）设（X，）是一线性赋范空间， 则必存在唯一的巴拿赫空间Y，使X与Y的一个稠密子空 间Y1线性等距同构。 例如，C[a,b]按范数
b 2 ( x, y ) x(t ) dt a 1 2
——由线性度量空间构造范数使之成为赋范线性空间的方法
例8 数列空间 S x (1 , 2 ,, n ,) | i R(orC )
x (1 , 2 ,, n ,),
1）定义
1 (x,y)满足距离公理，是S上的距离函数 故 S是距离空间 2）S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间 3）但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：