定态薛定谔方程的解法 一维无限深势阱与线性谐振子
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E0
1 0 2
（4）线性谐振子的能级是无简并的；
（5）谐振子波函数的宇称为 - 1
n
n
由（1.5.30）式可得， n 1 1 n x ，可见 波函数 n x 的奇偶性由n决定，通常称谐振子 n 波函数 n x 的宇称为 - 1
（6）与经典谐振子的比较
厄米多项式 H 的 两个线性无关的解
厄米多项式的微分表达 式 H n 1
n
e
2
dn d n
代入 H e- 2 2 e (1.5.29)
2
得线性谐振子的波函数：
n N n e 2
2
n d n 2 H n N n 1 e 2 (1.5.30) n e d
级数 e 系数之比在
2
k 0
2k
k! 2! 0
相邻两项 的极限也为：
2
H 的行为与 e 相同 当 很大时，
1 (
2
2 2
lim
)!
lim
1
2 2 2 ! 2 2
1 x 2 x 2 2 E U x 1 x 2 x
取有限值。得， 0 1 2 1 2 2 1 1 2 积分得， 1 2 1 2 常数
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
2
2.求方程 - 2 0在 的渐进解
时， - 2 0
将 eq 代入
2
1 q 2
1 因 x 在 时有限，舍去 q 2 得渐进解：
e- 2
（1.5.11）
6. 解的物理意义。
（1）束缚态与离散能级 由
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态
2 2 2n 1 En 2 2a
当量子n数很大时，能级可以看作是连续的， 量子效应消失，并过渡到经典情况。
当n
En 2n 1 时， E n 2 0 n
（4）激发态的能级
2 nx n x sin a a
n x 0
n x
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
1. 单调性；
2. 有限性； 3. 连续性；
这是指 x, t 应该是 x ，t 的单值函数。因为 x, t 是t 时刻在 x处发现粒子的概率密度，即要求 x, t 为单 值函数，但不要求 x, t 是单值函数。
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
2
(1.5.21)
3.由波函数标准条件确定 方程 - 0
2
在- ，的解
（ 1 ）把求 的问题转化为求 H 的问题.
令 H e
-
2
2
代入
- 2 0
1.5.4 一维束缚定态无简并定理
定理：若U x 在x有限处无奇点，则一维 的束缚态无简并。
证：设 1， 2是任意两个能量为 E的一维束缚态，若能 证明 1 C（ 1， 2只差一个常数因子）， 2 C为常数， 这就证明 1与 2描述同一束缚态，即无 简并。
d 2 x 2 薛定谔方程， 2 2 E U x x 0, U x 无奇点，则 dx
2
（3）波函数的有限性要求级数 H a v v v 0 中断为多项式。 由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两 项系数之比在 时的极限为：
a 2 2 1 2 lim lim a 2 1
1.5 定态薛定谔方程的解 一维无限深势阱与线性谐振子
本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用
（1）定态薛定谔方程； （2）波函数归一化条件； （3）波函数的标准条件；
一维无限深势阱中 运动的粒子与线性 谐振子的能级和波 函数。
最后介绍 “一维束缚定态的无简并定 理”
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
由此得到0<x<a区间内的解：
x Asinkx
3. 有波函数标准条件确定参数k；
x A sinkx
由势阱外波函数：
0 a A sinkx ， 0
n k , n 1,2, a
x 0
经典力学里，粒子在 x范围内出现的概率
x x W ~ v a2 x2
X=0速度最小， 出现概率最大
量子谐振子空间位置概率分布特点： a、在原点发现粒子的 概率要么极大（n为偶） b、可以在经典禁区发 现粒子（势垒穿透效 应）。
经典禁区 （虚抛物线以外的区域
2
d、当量子数n越大时， 1.11 其概率分布与经典概率 0） 图 分布越接近（b）图
5. 解的物理意义
(1)谐振子的能量取离散值；
1 En n 2
因为
lim U ( x) lim
x x
1 2 x 2 2
(2)谐振子相邻能级的间隔 E 均匀分布；
(3)谐振子的基态能量 是一个量子 效应，当原子发生自发辐射，从高能态跃迁到 地能态，实际上是电磁场的真空态与电子相互 作用结果；
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
当k=0;
nx 代入， x A sin kx 得： n x A sin , n 1,2, a
当n<0时，得到的解与n>0的线性相关，舍去
由0 0 0 c得 x Bx
由0 0 a Ba得B 0
0 x （舍去） 0
cn
2
1.来自百度文库.3 线性谐振子
1 2 1 2 2 势场， U x kx x 2 2
（1）许多物理体 系的势能曲线可以 近似看作抛物线， 双原子分子的势能 曲线在稳定平衡点 a附近的势能曲线。
经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能
1 2 U x - F x dx kx 0 2
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
2 d E ,0 x a 2 2 d x 2
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
2
归一化常数
Nn
a ( 1 . 5 . 31 ) 2 n n!
4. 由参数 得粒子能量E
2E 由 2n 1n 0,1,2, 与 得
1 En n , n 0,1,2, (1.5.33) 2
即从量子力学基本假设（薛定谔）方 程出发，导出了普朗克的能量子假设。 振子的能量取离散值 n
利用莱布尼兹公式 : uv u v 2u v uv
厄米方程: H - 2H - 1H 0
（2）用幂级数解法求解厄米方程的 H
0是方程的常点，方程的 解表示为泰勒级数
H av
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
2
En En 1
当 2n 1, n 0,1,2, 时， H 为n次多项式，若最高次幂 系数为an 2 n , 则
1 n! 2 n2 s 是取整数的符号 H n ! s 0 s! n 2 s
s
n 2
（a）令a0 0, a1 0得只含偶次幂的多项式； （b）令a0 0, a1 0得只含寄次幂的多项式 。
4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；
1 n x dx
2
a
0
nx a 2 A sin dx A a 2
2 2
取A为实数，则 A
a ,则 2
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
v
v 0
代入方程，得
v 2 v 1 v av v v 1 2 av v 1 av v 0 v 0
0
其系数递推公式 av 2
2v 1 av v 2v 1
-
v 0
问，将v 2 代入 H e 2 （ ） 能否保证 有限？
（5）薛定谔方程的解的线性组合
n x，t cn n x e
n 1
i En t
在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： n x e E nt
i
线性叠加态： n x，t cn n x e
n 1
i En t
粒子处于定态的概率为：
1 0 2
（4）线性谐振子的能级是无简并的；
（5）谐振子波函数的宇称为 - 1
n
n
由（1.5.30）式可得， n 1 1 n x ，可见 波函数 n x 的奇偶性由n决定，通常称谐振子 n 波函数 n x 的宇称为 - 1
（6）与经典谐振子的比较
厄米多项式 H 的 两个线性无关的解
厄米多项式的微分表达 式 H n 1
n
e
2
dn d n
代入 H e- 2 2 e (1.5.29)
2
得线性谐振子的波函数：
n N n e 2
2
n d n 2 H n N n 1 e 2 (1.5.30) n e d
级数 e 系数之比在
2
k 0
2k
k! 2! 0
相邻两项 的极限也为：
2
H 的行为与 e 相同 当 很大时，
1 (
2
2 2
lim
)!
lim
1
2 2 2 ! 2 2
1 x 2 x 2 2 E U x 1 x 2 x
取有限值。得， 0 1 2 1 2 2 1 1 2 积分得， 1 2 1 2 常数
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
2
2.求方程 - 2 0在 的渐进解
时， - 2 0
将 eq 代入
2
1 q 2
1 因 x 在 时有限，舍去 q 2 得渐进解：
e- 2
（1.5.11）
6. 解的物理意义。
（1）束缚态与离散能级 由
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态
2 2 2n 1 En 2 2a
当量子n数很大时，能级可以看作是连续的， 量子效应消失，并过渡到经典情况。
当n
En 2n 1 时， E n 2 0 n
（4）激发态的能级
2 nx n x sin a a
n x 0
n x
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
1. 单调性；
2. 有限性； 3. 连续性；
这是指 x, t 应该是 x ，t 的单值函数。因为 x, t 是t 时刻在 x处发现粒子的概率密度，即要求 x, t 为单 值函数，但不要求 x, t 是单值函数。
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
2
(1.5.21)
3.由波函数标准条件确定 方程 - 0
2
在- ，的解
（ 1 ）把求 的问题转化为求 H 的问题.
令 H e
-
2
2
代入
- 2 0
1.5.4 一维束缚定态无简并定理
定理：若U x 在x有限处无奇点，则一维 的束缚态无简并。
证：设 1， 2是任意两个能量为 E的一维束缚态，若能 证明 1 C（ 1， 2只差一个常数因子）， 2 C为常数， 这就证明 1与 2描述同一束缚态，即无 简并。
d 2 x 2 薛定谔方程， 2 2 E U x x 0, U x 无奇点，则 dx
2
（3）波函数的有限性要求级数 H a v v v 0 中断为多项式。 由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两 项系数之比在 时的极限为：
a 2 2 1 2 lim lim a 2 1
1.5 定态薛定谔方程的解 一维无限深势阱与线性谐振子
本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用
（1）定态薛定谔方程； （2）波函数归一化条件； （3）波函数的标准条件；
一维无限深势阱中 运动的粒子与线性 谐振子的能级和波 函数。
最后介绍 “一维束缚定态的无简并定 理”
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
由此得到0<x<a区间内的解：
x Asinkx
3. 有波函数标准条件确定参数k；
x A sinkx
由势阱外波函数：
0 a A sinkx ， 0
n k , n 1,2, a
x 0
经典力学里，粒子在 x范围内出现的概率
x x W ~ v a2 x2
X=0速度最小， 出现概率最大
量子谐振子空间位置概率分布特点： a、在原点发现粒子的 概率要么极大（n为偶） b、可以在经典禁区发 现粒子（势垒穿透效 应）。
经典禁区 （虚抛物线以外的区域
2
d、当量子数n越大时， 1.11 其概率分布与经典概率 0） 图 分布越接近（b）图
5. 解的物理意义
(1)谐振子的能量取离散值；
1 En n 2
因为
lim U ( x) lim
x x
1 2 x 2 2
(2)谐振子相邻能级的间隔 E 均匀分布；
(3)谐振子的基态能量 是一个量子 效应，当原子发生自发辐射，从高能态跃迁到 地能态，实际上是电磁场的真空态与电子相互 作用结果；
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
当k=0;
nx 代入， x A sin kx 得： n x A sin , n 1,2, a
当n<0时，得到的解与n>0的线性相关，舍去
由0 0 0 c得 x Bx
由0 0 a Ba得B 0
0 x （舍去） 0
cn
2
1.来自百度文库.3 线性谐振子
1 2 1 2 2 势场， U x kx x 2 2
（1）许多物理体 系的势能曲线可以 近似看作抛物线， 双原子分子的势能 曲线在稳定平衡点 a附近的势能曲线。
经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能
1 2 U x - F x dx kx 0 2
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
2 d E ,0 x a 2 2 d x 2
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
2
归一化常数
Nn
a ( 1 . 5 . 31 ) 2 n n!
4. 由参数 得粒子能量E
2E 由 2n 1n 0,1,2, 与 得
1 En n , n 0,1,2, (1.5.33) 2
即从量子力学基本假设（薛定谔）方 程出发，导出了普朗克的能量子假设。 振子的能量取离散值 n
利用莱布尼兹公式 : uv u v 2u v uv
厄米方程: H - 2H - 1H 0
（2）用幂级数解法求解厄米方程的 H
0是方程的常点，方程的 解表示为泰勒级数
H av
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
2
En En 1
当 2n 1, n 0,1,2, 时， H 为n次多项式，若最高次幂 系数为an 2 n , 则
1 n! 2 n2 s 是取整数的符号 H n ! s 0 s! n 2 s
s
n 2
（a）令a0 0, a1 0得只含偶次幂的多项式； （b）令a0 0, a1 0得只含寄次幂的多项式 。
4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；
1 n x dx
2
a
0
nx a 2 A sin dx A a 2
2 2
取A为实数，则 A
a ,则 2
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
v
v 0
代入方程，得
v 2 v 1 v av v v 1 2 av v 1 av v 0 v 0
0
其系数递推公式 av 2
2v 1 av v 2v 1
-
v 0
问，将v 2 代入 H e 2 （ ） 能否保证 有限？
（5）薛定谔方程的解的线性组合
n x，t cn n x e
n 1
i En t
在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： n x e E nt
i
线性叠加态： n x，t cn n x e
n 1
i En t
粒子处于定态的概率为：