平均变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
文档：解读平均变化率的意义
解读平均变化率的意义变化率问题在生活或学习中经常遇到，这类问题经常借助于函数求解，而对函数平均变化率理解显得尤为重要，下面我们据其定义浅析函数平均变化率的几何意义和物理意义．1．平均变化率的几何意义：如右图：由图可知，设函数()x f y =在处对应函数图象上的两点()()1100,,,y x B y x A ，不妨设10x x <，则此函数在区间[]10,x x 内的平均变化率xy ∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=就是经过函数图象上两点()()1100,,,y x B y x A 的割线斜率．注意点：⑴自变量的改变量0≠∆x ，但可正可负； ⑵函数在处有定义，是函数定义域内附近的一点； ⑶xy ∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=中自变量的改变量与函数值的改变量，二者差值顺序上对应要一致．如：若01x x x -=∆，则()()01x f x f -，而不是()()10x f x f -； ⑷直线斜率有正有负有零，平均变化率也有正有负有零．例1：分别求函数2x y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21的平均变化率，并说明图像的变化情况．分析：根据平均变化率的几何意义可直接求相应割线斜率． 解：设()2x x f y ==，如下图：据平均变化率的几何意义知，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内的平均变化率为： ()2121041021021-=--=---⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ；y21１21-２xyＯＡＢ1x0x 0y 1y函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率为：()2121041021021=-=--⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆f f x y ； 函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率为：()2321411211211=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ； 由上面所求结果可以看出，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率大于在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率，所以函数图像在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的比在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的要陡一些；函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内与在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的平均变化率符号相反，但绝对值相等，函数在这两段内的图像升降变化快慢相同，但平均变化率为正时图像从左向右上升，平均变化率为负时，图像从左向右下降．评注：函数平均变化率的绝对值大，图像相对要陡一些，平均变化率绝对值小，图像相对要平缓，平均变化率能近似刻画图像的升降快慢．在较小范围内，平均变化率为正，图像从左向右上升，反之下降．２.平均变化率的的物理意义设()t s S =表示物体运动路程关于时间的函数，设(),11S t s =()22S t s =，其中210t t <≤，则()t s S =在[]21,t t 内的平均变化率为1212t t S S t S --=∆∆，它表示从到这段时间内，物体的平均速度．说明：平均变化率大，说明物体运动的相对快一些，反之较慢.平均变化率能近似反应物体在某短时间内运动的快慢.例2：自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，一物体从t=1状态下开始自由落下，秒后，物体运动路程的增量为 米，在附近的平均变化率为 ，这秒内物体的平均速度为 ．分析：物体运动路程的增量就是函数值的差值，物体秒内的平均速度就是在[]01.01，内的平均变化率；可借助于割线斜率求解．解：⑴因为物体自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，则25t s =，所以时，；01.1=t 时，1005.5=s ，则物体运动路程的增量为1005.051005.5=-．⑵t=1附近的平均变化率为为()10455152+∆-∆=∆-∆+=∆∆tt t t t s ()0≠∆t ． ⑶根据平均变化率的物理意义知，这秒内物体的平均速度为：05.1001.01005.0==∆∆t s )/(s m ． 评注：路程关于时间的函数的平均变化率是物体在某短时间内的平均速度，掌握这一物理意义，可用于解决一些实际问题．以上是对函数平均变化率的定义及意义的浅析．理解平均变化率的意义，并能熟练应用是后面理解导数的基础．。
平均变化率讲解知识分享
例3 已知函数 f(x ) 2 x 1 ,g (x ) 2 x ,分别计算
在区间[-3，-1]，[0，5]上 f ( x )及 g ( x )的平均
变化率。
思考：你从本例中发现一次函数y=kx+b在区间[m，n] 上的平均变化率有什么特点？
等于相应直线的斜率k
例4 已知函数 f (x) x2，分别计算 f ( x )在下列区间
连线的斜率。
（近似的）
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 数 数 形 结
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 形 合
（直观的）
3、" f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 上 的 平 均 变 化 率 大 于 0 " 是 " f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 递 增 " 的 必要不充分条 件 ；
10.2℃ 20.4℃ 30.8℃
温差10.2℃ 温差10.4℃
1、平均变化率
一 般 地 ， 函 数 f ( x ) 在 区 间 x 1 , x 2 上 的 平 均 变 化 率 为
f ( x2 ) f ( x1) x2 x1
几何意义：曲线 y f (x)上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2))
问：在区间
t
，
0
t1
上，哪一个企业
的排污平均变化率大一些？
t1
l1
l2
t
T (℃)
30
20 B 10 A
W
C
甲
标准
乙
01 4
30 t(d)
越陡峭，平均变化率越大
O t0
t1 t
越陡峭，平均变化率越小
（越大）
陡峭 程度
平均变化率的几何意义课件
平均变化率可以反映该段区间 内因变量相对于自变量的平均
变化速度
平均变化率为正表示因变量在 该段区间内呈上升趋势，即正
增长
平均变化率为负表示因变量在 该段区间内呈下降趋势，即负
增长
平均变化率的应用
判断函数单调性
总结词
平均变化率可以用于判断函数的单调性。
详细描述
平均变化率是函数在某区间上的改变量与区间的比值，当这个比值大于0时，函 数在该区间上是单调递增的；当这个比值小于0时，函数在该区间上是单调递减 的。
近似计算
总结词
平均变化率可以用于进行近似计算。
详细描述
在某些情况下，我们可以利用平 均变化率来近似计算函数的值， 这种方法称为微积分中的微分法。
平均变化率的拓展
导数的概念
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率，它描述了函数在该 点的切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲 线在某一点的切线斜率， 即曲线在该点的变化趋势。
曲线的变化趋势
01
曲线的形状代表因变量 随自变量的变化趋势
02
曲线的陡峭程度代表变 化率的绝对值大小
03
曲线向上代表因变量随 自变量增加而增加，即 正相关关系
04
曲线向下代表因变量随 自变量增加而减少，即 负相关关系
平均变化率的几何意义
01
02
0304平均Fra bibliotek化率是曲线在某一段区 间上的平均倾斜程度
平均变化率的几何意义课件
引言
课程背景
01
平均变化率是微积分学中的基本 概念，它描述了一个函数在某区 间上的变化快慢。
02
几何意义是将平均变化率与线段 的长度联系起来，从而在几何空 间中解释函数的变化趋势。
平均变化率的计算公式
平均变化率的计算公式Calculating the average rate of change is an essential concept in mathematics that is used to determine how a quantity changes over a specific interval. This calculation involves analyzing the difference in values of a variable over a given period and then dividing it by the change in time or another independent variable. By understanding the average rate of change, individuals can make informed decisions in various fields, such as economics, physics, and engineering.计算平均变化率是数学中一个重要的概念，用于确定某个数量在特定区间内的变化情况。
这种计算涉及分析一个变量在给定时间内的差异值，然后将其除以时间或其他独立变量的变化。
通过理解平均变化率，个人可以在各个领域做出明智的决策，如经济学、物理学和工程学。
In mathematics, the formula for calculating the average rate of change is (change in y) / (change in x). This formula represents how much the dependent variable y changes for a unit change in the independent variable x. By applying this formula to a set of data points, one can determine the overall trend or direction of the changes occurring in the system.在数学中，计算平均变化率的公式为（y变化）/（x变化）。
第5章5.15.1.1 平均变化率-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，x2－x1 一定大于 0．
()
(2)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，函数值的变化量为 f (x2)
5.1.1 平均变化率
1
2
3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 实际问题中的平均变化率 【例 2】 (1)圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均 变化率为________．
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为S(00.3.3)－－S0(.10.1)＝π×0.320－.2π×0.12＝ 0.4π.]
5.1.1 平均变化率
1
2
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
03
学习效果·课堂评估夯基础
5.1.1 平均变化率
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．函数 f (x)＝x2＋c(c∈R)区间1，3上的平均变化率为( )
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
平均变化率讲解知识分享
问：在区间
t
，
0
t1
上，哪一个企业
的排污平均变化率大一些？
t1
l1
l2
t
T (℃)
30
20 B 10 A
W
C
甲
标准
ห้องสมุดไป่ตู้
乙
01 4
30 t(d)
越陡峭，平均变化率越大
O t0
t1 t
越陡峭，平均变化率越小
（越大）
陡峭 程度
（越小）
（越大）
平均变化率 的绝对值
（越小）
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。
01容器甲中水在减少国家环保局在规定排污达标日期前对甲乙两企业进行检查其连续检测结果如图所示其中分别表示甲乙两企业的排污量试比较两个企业的治污效果
1.1.1 平均变化率
T (℃)
30 20 10
01 4
30 t(d)
校运动会，短跑比赛：
甲：100米，成绩15秒；
乙：200米，成绩25秒；
甲，乙两人谁快？ 为什么？
" f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 上 的 平 均 变 化 率 小 于 0 " 是 " f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 递 减 "
的 必要不充分条 件 。
设 A (x1,y1)、 B(x2,y2)
(优选)平均变化率及其求法
x1
x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
已知f(x)=2x2+1，求：
例题1
(1)从x=1到x=2的平均变化率；
(2)从x1到x2的平均变化率。
变式训练:求函数 f (x) 2x2 1 在下列区ห้องสมุดไป่ตู้的平均变化率
(1) [1,1.0003] 4.0006 (2) [1,1.0002] 4.0004 (3) [1,1.0001] 4.0002
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 路程变化快慢
9-0=9(s)
11-9=2(s)
60-0=60(m)
100-60=40(m)
< 60/9 6.7(m/s) 40/2=20(m/s)
慢
快
两个变化率（快慢）问题
(1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
（优选）平均变化率及其求法
一 微积分简史
微积分的创立者-----牛顿、莱布尼茨
牛顿（1643--1727）
莱布尼茨 （1646----1716）
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关： 瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为困时难间在的于函：数十，七求世速纪度和所路涉程及。的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
函数的平均变化率
跟踪训练 2 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位 移，t 表示时间．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
解析：ΔΔst＝8－31＋ΔtΔ2－t 8－3×12＝－6－3Δt.
题型三 平均变化率的几何意义
例 3 已知曲线 y＝x2－1 上两点 A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)， 当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率是__5______；当 Δx＝0.1 时，割线 AB 的斜率是___4_.1____．
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x1 附近的平均变化率，可用fx1＋ΔΔxx－fx1的形式．
跟踪训练 1 函数 y＝x2＋1 在[1,1＋Δx]上的平均变化率是
答案：B
谢谢！
解析：
当
Δx ＝ 1
时，割线
AB
的斜率
k1
＝
Δy Δx
＝
2＋Δx2－Δx1－22＋1＝2＋112－22＝5.
当 Δx＝0.1 时，割线 AB 的斜率 k2＝ΔΔyx＝2＋0.120－.11－22＋1
＝4.1.
方法归纳
已知 y＝f(x)图像上两点 A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))， 过 A，B 两点割线的斜率是ΔΔxy＝fx1＋ΔΔxx－fx1，即曲线割线的 斜率就是函数的平均变化率．
＝
0.41 0.1
＝
4.1(m/s)，故选 C.
答案：C
题型一 求函数的平均变化率
例 1 (1)已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
第1章 1.1.1 平均变化率
1．1 导数的概念 1．1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．知识点 平均变化率1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在区间[x 1，x 2]上有意义．(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (4)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．1．平均变化率一定为正值．( × )2．函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( × ) 3．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )4．函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关．( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝120t ＋5＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 －1.6解析 ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋1510＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．解 前5年森林面积的平均变化率为6.5－2.55－0＝0.8(公顷/年)．后5年森林面积的平均变化率为14.5－6.510－5＝1.6(公顷/年)．反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．跟踪训练1 某质点沿方程为y ＝f (x )＝5x 2＋3(x 表示时间，f (x )表示位移)的曲线运动，则该质点从x ＝10到x ＝11的平均速度等于________． 答案 105解析 因为f (x )＝5x 2＋3，则质点从x ＝10到x ＝11的平均速度为v ＝f (11)－f (10)11－10＝(5×112＋3)－(5×102＋3)11－10＝105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解 (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2－x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)． (3)求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y ＝f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01；(2)思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)因为f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ， 所以f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，平均变化率Δx ＋2＝4， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4； ②当Δx ＝1时，平均变化率Δx ＋2＝3， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3；③当Δx ＝0.1时，平均变化率Δx ＋2＝2.1，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1； ④当Δx ＝0.01时，平均变化率Δx ＋2＝2.01，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1＝11.25－3.7512－0＝0.625，ΔW 2Δt 2＝14.25－11.2524－12＝0.25， ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化速度越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化速度越慢．跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是______________．答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1＝S (t 1)－S (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝S (t 2)－S (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝S (t 3)－S (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.2．一物体的运动方程是S ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 答案 B解析 v ＝S (2.1)－S (2)2.1－2＝7.2－70.1＝2.3．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 答案 2 解析f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a＝2. 4．一个半径为r 的圆面，当半径增大Δr 时，面积S 的平均变化率为________． 答案 2πr ＋π·Δr解析 半径增大Δr 时，面积增加ΔS ＝π(r ＋Δr )2－πr 2 ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr ，所以ΔS Δr ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr Δr＝2πr ＋π·Δr .5．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 －14解析 Δy Δx ＝f (4)－f (0)4－0＝－14(℃/h)．1．知识清单： (1)平均变化率．(2)平均变化率的几何意义及应用． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵f (3)＝11，f (1)＝3，∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝11－33－1＝4.3．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6.4．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)－f (4)9－4＝3(9－4)9－4＝35(kg/m)．5．质点运动规律的方程是S ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]内，相应的平均速度是( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案 A解析 平均速度为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .6．国庆黄金周7天期间，某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天． 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100－1 3007＝400(万元/天)．7．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 答案 4解析 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解得a ＝4或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝4.8．函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． 答案 －8－2Δx解析 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx ，即平均变化率为－8－2Δx . 9．已知函数f (x )＝x 2＋3x 在[0，m ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x ＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m 的值．解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)－g (1)4－1＝9－33＝2.函数f (x )在[0，m ]上的平均变化率为f (m )－f (0)m －0＝m 2＋3mm ＝m ＋3.令m ＋3＝2×3，得m ＝3.10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ，乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能． 解 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)．乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2 C ．3－(Δx )2 D ．3－Δx答案 D解析 ∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝3Δx －(Δx )2 ∴ΔyΔx＝3－Δx . 12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 13．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案 －0.002 解析c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002mg/(mL·min)．14．如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 12 34解析 (1)函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数y ＝f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数y ＝f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．圆柱形容器，其底面直径为2 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率．解 设液体放出t 秒后液面高度为y m ， 则π·12·y ＝π·12×1－0.01t ， ∴y ＝1－0.01πt ，液面高度的平均变化率为 ΔyΔt ＝1－0.01π(t ＋Δt )－1＋0.01πtΔt ＝－0.01π，故液面高度的平均变化率为－0.01π.。
平均变化率
函数的平均变化率
学习目标：理解函数的平均变化率的概念，并会求此变化率． 新知：
1. 函数的平均变化率的定义：
函数y=f(x)在点
0=x x 及其附近有定义，令=x ∆ ，00=y-y =(x)-(x )=y f f ∆
，则当 时，比值 叫做函数y=f(x)在0x 到0+x x ∆之间的平均变化率。
2. 平均变化率的计算公式： 尝试应用
1. 若函数f(x)在12[,]x x 内的平均变化率为0，能否说明函数f(x)没有发
生变化？
2. 平均变化率的计算公式中x ∆，y ∆的值是否可为任意实数？
考点把握
考点 求平均变化率
例
2
00(x)=+2+f x x x x x ∆求函数在到之间的平均变化率。
跟踪演练：2(x)=5+622+f x x ∆求函数在到之间的平均变化率。
练习
1. 00=(x),x x +y=
f x x ∆∆求函数y 当自变量由改变到时，（ ） A 0(x +)f x ∆ B 0(x )+f x ∆ C 0(x )f x ∆ D
00(x +)-(x )f x f ∆ 2.若函数2f(x)=-1x ，当自变量x 由1变为1.1时函数的平均变化率为
3.在x=1附近取231=0.3,=,=,=,=x x
y x y x ∆函数y x y 中，平均变化率最大的是
4.已知2=s 2t ，t 从3秒到3.1秒的平均速度是多少？。
导数平均变化率课件
当一元函数的导数大于0时，函数图像在该区间内为凹形；当导数小于0时，函数 图像为凸形。因此，通过研究导数的符号变化，我们可以判断函数图像的凹凸性 。
导数与极值点
总结词
导数可以用来判断函数的极值点。
详细描述
函数在极值点处的导数为0，即一阶导数为0的点可能是极值点。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断极值 点的类型（极大值或极小值）。
02 导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是表 示切线的斜率。
详细描述
在函数图像上任取一点，该点处的导 数即为切线的斜率。通过导数，我们 可以精确地描述函数图像在某一点的 切线斜率，进而研究函数的增减性。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
谢谢聆听
03
隐函数求导
$frac{dy}{dx} = frac{-F(x)}{F(y)}$
幂函数的导数计算
$(x^n)' = nx^{n-1}$ $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$
$(x^{1/n})' = frac{1}{n}x^{-frac{1}{n}-1}$
对数函数、三角函数和反三角函数的导数计算
导数与平均变化率课 件
目录
• 导数与平均变化率的基本概念 • 导数在几何中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的应用实例分析
01 导数与平均变化率的基本概念
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有广泛应用。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
平均变化率公式
平均变化率公式
平均变化率，是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
平均变化率公式：Δy=f(x+Δx)-f(x)。
平均变化率是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
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yC yB k xC xB
y
●B ●A
该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之 间这一段平均变化率.
o
x
建构数学理论
平均变化率的定义：
一般地，函数 f (x)在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5)
பைடு நூலகம்
2
0 2 10 20 30 34 t(d)
交流与讨论 问题情境4 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。
那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人 着迷。
交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较 点A,B之间的曲线更加“陡 ●C 峭”. 如何量化陡峭程度呢？
（5）[0.9，1]； 1.9 变题: （6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1 3
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是 什么？
x
小结回顾
这节课我的收获是什么？
f ( x1 ) f ( x2 ) y 1.平均变化率的定义： x x1 x2
2.平均变化率的意义: 3.求平均变化率的步骤： 4.思想方法：
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. （以直代曲思想） (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” ． （数形结合思想） “数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
数学应用
例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列 y 区间上的平均变化率： （1）[1，3]； 4 （2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1]； 2.1 （4）[1，1.001]. 2.001
问题情境一： 甲和乙投入相同资金经营某商品， 甲用1年时间挣到2万元， 乙用5个月 时间挣到1万元，甲、 乙两人谁的经营 成果更好？
乙的资金增长得更快！
问题情境二：
如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3 分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下 面两个图象哪一个可以表示上述函数？
h/cm
10
M N 10
h/cm
N
M
O 1
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
问题情境3
现有宿迁市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温
T (℃)
3月18日
4月18日 4月20日
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃ 温差15.1℃ 温差14.8℃
C (34, 33.4)
30