数学物理方程课件.

原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小结
x
k
(待定系数法)
(1) f ( x ) e Pm ( x ), (可以是复数）
y x e Qm ( x );
x
( 2) f ( x ) e x [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx ],
r1 j ,
x
r2 j ,
x
y1 e cos x, y2 e sin x,
方程的通解为
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
可设 Q( x ) Qn ( x ),
y* Qn ( x )e x ;
( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
2 p 0,
y* xQn ( x )e x ;
可设 Q( x ) xQn ( x ),
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
2.
x y py qy Pn ( x )e
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
代入原方程
Q( x ) (2 p)Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
1 A 2 , 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x B 1 1 2x
设 y x( Ax B )e 2 x , 2 是单根，
2
二、 f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
（取实部）
1 4 原方程通解为 y C1 cos x C 2 sin x x cos 2 x sin 2 x . 3 9
注意 Ae x cosx , Ae x sin x
分别是 Ae ( i ) x 的实部和虚部.
例4
求方程 y y tan x 的通解.
P ( x )e( i ) x P ( x )e( i ) x ,
设 y py qy P ( x )e ( i ) x ,
y1 x k Qm e ( i ) x ,
( i ) x 设 y py qy P ( x )e ,
A 2 i ,
代入上式
2 Ai 4,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x )i ,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x , （取虚部） 原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x .
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
通解结构
如果 y* ( x ) 是方程 y py qy f ( x ) 的一个特解， Y ( x ) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
y( x ) Y ( x ) y ( x ),
*
定理 如果 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 分别为方程
y py qy f1 ( x ), 和 y py qy f 2 ( x )
x
f ( x ) e [ Pl cosx Pn sinx ] 利用欧拉公式
x
ix ix ix ix e e e e e x [ Pl Pn ] 2 2i Pl Pn ( i ) x Pl Pn ( i ) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i
,
例1 求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解. 解
2 r 3r 2 0, 特征方程 r2 2， 特征根 r1 1，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x ,
于是 y x( x 1)e 2 1 x 2x 2x 原方程通解为 y C1e C 2e x( x 1)e .
思考题解答
* y 设 y 4 y 4 y 6 x 的特解为 1
2 2x y 4 y 4 y 8 e 设 的特解为 y2
*
* * * 则所求特解为 y y1 y2
r 2 4r 4 0
特征根 r1, 2 2
* y2 Dx 2e 2 x（重根）
(2) 有两个相等的实根 ( p 2 4q 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2 另一特解 y xe r x ;
2
所以齐次方程的通解为
y (C1 C 2 x )e r1 x ;
(3) 有一对共轭复根 ( p 2 4q 0) 特征根为
的特解，Y 是方程
y py qy 0,
的通解，则
y( x ) Y ( x ) y1* ( x ) y2* ( x )
是方程 y py qy f1 ( x ) f 2 ( x ) 的通解.
常见类型
x
Pn ( x ),
Pn ( x )e x ,
1 4 ( x i )(cos 2 x i sin 2 x ) 3 9 1 4 4 1 x cos 2 x sin 2 x ( cos 2 x x sin 2 x )i , 3 9 9 3
1 4 所求非齐方程特解为 y x cos 2 x sin 2 x , 3 9
e ( A1 cos x A2 sin x )
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1.
y py qy Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x )， 代入方程
Q( x ) pQ( x ) qQ( x ) Pn ( x )
Q( x ) pQ( x ) qQ( x ) Pn ( x )
y2 x k Qm e ( i ) x ,
y x k e x [Qm e ix Qm e ix ] x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sinx ],
(1) m ( 2) m k x
其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，m maxl , n
2
2 p 0,
y* x 2Qn ( x )e x .
可设 Q( x ) x Qn ( x ),
2
综上讨论
设 y* x k e xQn ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
特别地 y py qy Ae
x
A x e , 不是特征方程的根 2 p q A * y xe x 是特征方程的单根 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
* y1 Ax 2 Bx C
* 2 2x * 2 y * y1 y2 Ax Bx C Dx e .
y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ];
k
x
(1) m
( 2) m
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 2 8e 2 x 的待定特解的形式.
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
2
r1 x
r2 x
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
q 0 时， Q( x ) a0 x a1 x
n
n1

an1 x an
其中 a0 , a1 ,
, an 为待定系数.
q 0 , p 0 时， 可设
Q( x ) a0 x
n 1
a1 x
n
an1 x an x
2
q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn ( x ) 直接积分得到.
r pr q 0
2
特征方程
特征根
r1, 2
p
p 4q , 2
2
(1) 有两个不相等的实根 ( p 4q 0)
2
特征根为
r 1 r2
r1 x
两个线性无关的特解
y1 e ,
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
作辅助方程 y y xe 2 ix ,
2i 不是特征方程的根 ,
设 y* ( Ax B)e 2ix ,
代入辅助方程
1 4 4 Ai 3 B 0 A ，B i , 3 9 3 A 1 1 4 2 ix * y ( x i )e , 3 9
常系数线性微分方程解的结构
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y
( n)
P1 y
( n1 )
Pn1 y Pn y f ( x )
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
定义：设 y1 ( x ), y2 ( x ) 为定义在 (a , b) 内的两个函数， 如果存在非零常数 k ,使得 y( x ) ky( x ),则称y1 ( x ), y2 ( x ) 线性相关，否则称 y1 ( x ), y2 ( x ) 线性无关.