线性常系数齐次递推

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A1, A2是待定常数,令
k1 A1 A2 ,
k2 iA1 - iA2
2.7 线性常系数齐次递推关系
k1 , k2也是待定常数,故 an k1 n cos n k2 n sin n
利用初始条件即可确定k1, k2 .
ຫໍສະໝຸດ Baidu
-b 3) r1 r2的情形,令r r1 r2 2 a0 (a1 ba0 ) x A B G ( x) 2 (1- rx) 1- rx (1- rx)2
C1 , C2 ,Ck Ck 0 及 d 0 , d1 , d k 1 是常数
则(2-7-1)称为{an}的 k阶常系数线性齐次递 推关系, (2-7-2)称为{an} 的初始条件。
2.7 线性常系数齐次递推关系
C ( x) x C1 x
k k 1
Ck 1 x Ck
i
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系

P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
根据定理可知,an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
k
x k 1 (ak 1 C1ak C2 ak 1 Ck a1 ) 0 x n (an C1an1 C2 an2 Ck ank ) 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
将这些式子两边分别相加,得到

i G x ai x C1 x G x ai x i 0 i 0 k Ck x G x 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
2) r1 r2 , r1,r2是一对共轭复根。 设 r1 ei , r2 e-i (r1 ) e , (r2 ) e
n n n in n -in
an A1 (r1 )n A2 (r2 )n
( A1 A2 ) n cos n (iA1 - iA2 ) n sin n

2
c0
(3)
G( x) a0 a1x a2 x ...
则( bx cx 2 )G( x)可计算如下 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
G ( x) a0 a1 x bxG ( x) )cx 2G ( x) a2 x ...
2
b a 0 x b a1 x 2 ... c a0 x 2 ...
1 1x 1 2 x
k1
k2
1 i x
ki
2.7 线性常系数齐次递推关系
上式中分子的次数低于分母的次数, 故
A1k1 A11 A12 G ( x) 2 k1 1 1 x (1 1 x) (1 1 x) A2 k2 A21 A22 2 k2 1 2 x (1 2 x) (1 2 x) Aiki Ai1 Ai 2 2 ki 1 i x (1 i x) (1 i x)
a1 - a0 r2 a1 - a0 r1 n n an ( r1 ) ( r2 ) r1 - r2 r2 - r1 其中 r 1,2 -b b - 4c 2
2
2.7 线性常系数齐次递推关系
a0 (a1 ba0 ) x 证明: G( x) (1- r1x)(1- r2 x) A B [ Ar1n Br2 n ]xn , 1- r1x 1- r2 x n 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程:x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程,
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
a x
i
i
,
多项式 P x 的次数不大于k-1 特征方程 k k 1 C x x C1 x Ck 0 在复数域中有k个根,故可设
C x x 1
k1
x 2
k2
x i
ki
k1 k2 ki k
2.7 线性常系数齐次递推关系
以下分别各种情况讨论具体计算的问题。 (1)特征多项式C(x)无重根

C x x 1 x 2 x k
Ak A1 A2 G x 1 1 x 1 2 x 1 k x
从而 an (1 n)2n
2.7 线性常系数齐次递推关系
定义 如果序列{an}满足
an C1an1 C 2an2 C k ank 0,
a0 d 0 , a1 d1 ,, ak 1 d k 1 ,
2 7 1 2 7 2
所以对于二重根r , a1 an [a0 ( - a0 )n ]r n r
2.7 线性常系数齐次递推关系
an - an -1 -12an -2 0 例1 a0 3, a1 26
解 : 特征方程为x 2 x 12 0, 易求得 特征根为x1 4, x2 -3
2.7 线性常系数齐次递推关系

1 1 C1 x C k x x C x
k k
1 1 x
于是
k1
1 2 x
k2
1 i x
ki
P x G x 1 C1 x Ck x k
P x
则(1)称为{an}的 k 阶常系数线性递推关系, (2)称为{an} 的初始条件。
(1) (2)
若b(n)=0,称为齐次的,否则称为非齐次的。
2.7 线性常系数齐次递推关系

二阶线性常系数齐次递推关系 先考虑简单情形: 二阶线性常系数齐次递推关系
an b an 1 c an 2 0,
2.7 线性常系数齐次递推关系
前面我们讨论了母函数在解递推关系上的应用,
下面我们更一般的研究递推关系。

确定一个数列{an}的最常用的方法是

给出一般项an的表达式
得到该数列的母函数 建立数列所满足的递推关系—即建立一种规则, 使得通过这种规则数列的每一项可由其 前面的项唯一确定.
2.7
解:特征方程为 x2 - x 1 0 特征根 1 3 x i 2 2 cos

3
i sin

3
e
i 3

2.7 线性常系数齐次递推关系
所以有 n n an A1 cos A2 sin 3 3 1 3 A2 1 a1 A1 2 2 1 3 a2 2 A1 2 A 2 0
(1 bx cx 2 )G( x) a0 (a1 ba0 ) x (a2 ba1 ca0 ) x 2 .. (an ban -1 can -2 ) x n ...
注意到
an ban-1 can-2 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
(1 bx cx 2 )G ( x) a0 ( a1 ba0 ) x a0 ( a1 ba0 ) x G ( x) 1 bx cx 2
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色,用 D( x)表示,即D( x) 1 bx cx .
2
2.7 线性常系数齐次递推关系
与D( x)对应的K ( x) x 2 bx c称为与递推关系 (3)所对应的特征多项式。
3 A1 1, A2 3
解得
于是
n 3 n an cos sin 3 3 3
2.7 线性常系数齐次递推关系
例3 Fibonacci数列: Fn - Fn -1 Fn 2 0, F0 0, F1 1.
解:特征方程 特征根 r 1,2 x2 x 1 0 1 (1 5) 2
故有
an A(r1 )n B(r2 )n
2.7 线性常系数齐次递推关系
A B 0 再由初始条件可得 Ar1 Br2 1
容易解得
A B
1 5
即有
1 1 5 n 1 1 5 n Fn ( ) ( ) 2 2 5 5
2.7 线性常系数齐次递推关系
称为{an} 的特征多项式.
特征方程的k个根q1,q2,..,qk叫做该递推关系 的特征根。其中qi是复数。
2.7 线性常系数齐次递推关系
下面利用母函数的方法来求解递推关系。
设G(x)为{an} 的母函数
G ( x) a0 a1 x an x n
根据(2-7-1),有
x (ak C1ak 1 C2 ak 2 Ck a0 ) 0
线性常系数齐次递推关系
一个r-阶递推关系定义为:有正整数r 以及一个 r+1元函数F,使得对所有nr, 有关系式
an F (an 1, an 2 ,..., an r ; n)
(0)
这样若已知数列开始的r项a0 , a1 , ar 1, (他们称为 初始条件),则通过(0)可以逐项确定整个数列。
[ A B(n 1)] r n x n
n 0

2.7 线性常系数齐次递推关系
故 b an [ A B( n 1)]r [ h kn]r ,r , 2
n n
当n 0时有a0 h, n 1时an (h k )r
则 a1 k a0 r
a0 (a1 ba0 ) x G ( x) (1- r1x)(1- r2 x) A B 可令 G( x) 1- r1x 1- r2 x
则我们可以求出A, B.下面的定理将说明这件事。
2.7 线性常系数齐次递推关系
定理: 递推关系 an b an 1 c an 2 0,c 0 已知a0和a1,则通项为
2.7 线性常系数齐次递推关系
定义1 如果序列{an}满足
an C1an 1 C2an 2 Ck an k b(n), a0 d 0 , a1 d1,, ak 1 d k 1, C1 , C2 ,...Ck (Ck 0), d 0 , d1, d k 1是常数。
a1 a0 r2 A r - r A B a0 1 2 则 Ar1 Br2 a1 B a1 a0 r1 r2 - r1 a1 - a0r2 a1 - a0r1 n n n 于是 an Ar1 Br2 (r1 ) (r2 )n r1 - r2 r2 - r1
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