线性常系数齐次递推
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
线性常系数齐次递推
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
离散数学(二)知识梳理
离散数学（二）知识梳理 组合计数o鸽笼原理▪定义▪如果k+1或更多的物体放入k个盒子，那么至少有一个盒子包含了2个或更多的物体，鸽巢原理又被称为狄利克雷抽屉原理▪推论▪一个从有k+1或更多个元素的集合到k个元素的集合的函数f一定不是一对一函数（单射/内射:单调性即一个自变量只对应一个因变量）▪广义鸽巢原理：如果N个物体放入k个盒子，那么至少有一个盒子包含了至少N/k（向上取整）个物体▪应用：搞清球-盒子模型中谁是球（需要推出重复），谁是盒子▪把若干物体分到k个盒子中使某个盒子至少有r个物体，至少需要k(r-1)+1个物体▪ 1.先把k个盒子每个都装上r-1个物体▪ 2.给任意一个盒子放入一个物体▪每个由n^2+1个不同实数构成的序列都包含一个长为n+1的严格递增子序列或严格递减子序列▪Ramsey（拉姆齐）数：R(m,n)▪引例：朋友敌人问题▪若6个人两两之间不是敌人就是朋友，证明至少有3个人彼此是朋友或敌人▪先用鸽巢原理说明确定一个人的情况下至少有3个人是朋友或敌人▪然后对3个人的那个分类分情况讨论▪定义：要保证图包含子图Km或其补图包含子图Kn，顶点数至少为R(m,n)▪已知：R(3,3)=6,R(2,n)=n,R(4,4)=18▪目前只知道9个拉姆齐数的精确值▪例题：第七版▪P340例9：服务器连接▪P341例10：比赛分配▪P341例11：整除o排列组合▪无重复的排列组合▪排列：m个物体有序地放入n个空位中，记作A(m,n)▪公式：A(m,n)=P(m,n)=m!/(m-n)!▪组合：m个物体无序地放入n个空位中，记作C(m,n)▪公式：C(m,n)=A(m,n)/n!=m!/n!(m-n)!▪另一个记号：x可以不是整数▪记号记忆：▪横式大数在前▪括号竖式大数在上（物体数）▪字母竖式大数在下▪有重复的排列组合▪本质：依然是n个选择，r个空位，但不要求n>=r（可以重复）▪有重复的排列▪物体都不同：n^r（依然从空位的角度思考）▪具有不可区别的物体（分组）的排列：把n个不同的球分为k类的全排列数，每类有ni个球▪组合证明：依次无序取ni个球▪有重复的组合：从选项的角度思考（空位填到选项箱子里）▪理解：把空位和选项箱子内边界摆在一起都算待填的空，再填这些空▪公式：C(n+r-1,n-1)=C(n+r-1,r)【把空位填到箱子里】【方法1】▪其他理解形式▪方程形式：x1+x2+x3+...+xn=r的非负整数解的个数▪理解：把1当作球，有x1、x2...xn这n种的"1"球选择，有r个空位可以放入这些球▪拓展：给xi添加下界和上界如a<=xi<=b▪处理下界侧：换元yi=xi-a即可还原默认条件yi>=0▪处理上界侧：去掉xi>=b的情况▪多个变量下界可以一起处理，但上界一次只能处理一个▪反向理解：r个相同的球放入n个不同的盒子▪应用▪依然是球-盒子模型（或者说n选项-r空位模型），搞清谁是球谁是盒子，能不能重复选取即可▪二项式定理▪二项式公式▪多项式公式▪组合证明法：构造情景组合，用不同过程得到的同一目的结果应该相同▪Pascal恒等式▪证明：直接展开▪意义：组合证明法（寻找问题的情景组合）▪左式：从n+1个小球中取出k个小球▪右式：分为取第一个和不取两种情况▪取第一个小球的情况：从剩下的n个小球中取出k-1个小球▪不取第一个小球的情况：从剩下n个小球中取k个小球▪朱世杰恒等式▪代数证明：直接展开▪组合证明情景：不太明白▪VANDERMONDE恒等式▪代数证明：略▪组合证明：▪第二类Strling数S(n,j)：把球放入盒子问题▪定义：n个不同的球放入j个相同的盒子，要求每个盒子均放球，放法数记为S(n,j)▪不同的球放入不同的盒子：等价为具有相同元素的有重复排列（分类全排列）▪相同的球放入不同的盒子：等价于有重复的组合（空位填分类）▪不同的球放入相同的盒子：n个不同的球放入j个不同的盒子，要求每个盒子均放球，这相当于基数为n的集合到基数为j的集合的满射（且单射），可用容斥原理计算满射的个数▪相同的球放入相同的盒子：n个相同的球(1)放入k个相同的盒子相当于，将数n分成最多k个正整数之和，不计次序，这个问题称为数的分拆o递推关系▪递推关系：一个序列的递归定义指定了一个或多个初始项和一个由前项确定后项的规则，这个规则就是递推关系▪递推关系的解：一个满足递推关系公式的通项公式▪应用举例▪汉诺塔▪斐波那契数列▪二进制编码▪偶校验编码▪CATALAN（卡特兰）数Cn▪向算式x1*....*xn中添加括号改变运算顺序，加括号的方式称为Catalan数，记作Cn▪公式▪初始条件：C0=1,C1=1▪证明▪ 1.注意到所有的加括号都会有一个乘号留在所有括号之外用作将两部分乘起来▪ 2.选定一个乘号作为锚点，分成左右两个子任务▪ 3.将所有子任务加起来o递推式▪相关概念▪递推式一般形式：xn=f(n,xn−1,xn−2,…)▪阶数k：递推式中x项数▪线性递推式：xn=c1xn−1+c2xn−2+…,+ck xn−k+F(n)▪ck,F(n)为n的函数▪常系数线性递推式：ck均为常数▪齐次线性递推式：F(n)=0▪递推式的解：xn=g(n)代入递推式可得到n的恒等式▪通解：含有待定参数的一般形式▪特解：参数确定的一个解▪初始值：序列最开始k个项的值（与递推式中阶数对应）▪递推方程求解（尤其是2阶方程）▪求解齐次常系数线性递推式▪ 1.令xn=λ^n代入递推式得到特征方程▪ 2.解出特征方程的根λ，xn=λ^n是递推式的解▪特征多项式一定有k个复根，可能有重根▪有k个不同的复根则得到递推式的k个解，彼此线性无关，可以直接构成解空间的基▪通解公式▪n为xn中的n（第n项）▪bk为前k项通项推出的初始条件：代入k=0,1,2...的通项公式，由给出的条件算出a0，再解后面的系数▪若特征方程有重根，则需要添加次数▪二阶二重根▪k阶m重根▪求解非齐次常系数线性递推式▪形式：不是所有F(n)都可解▪其中F(n)为Pn(t)*s^n时可解▪Pn(t)为n的t次多项式▪s^n为固定项，默认为1^n▪解的形式：通解+一个特解▪任意两个特解的差为通解▪通解：相伴的齐次线性递推方程的解▪特解：根据F(n)设出形式然后代入方程求解▪形式：n^m*Qn(t)*s^n▪s与通解的特征根匹配▪m为根的阶数（可为0）▪Qn(t)为n的t次多项式（最高次与F(n)相同），注意不要漏掉常数项▪求解：代入方程o动态规划▪定义：将问题递归地分解为更简单的重叠子问题，通过解决子问题来解决原问题▪经典例题：P429讲座问题o生成函数▪定义：把序列的项表示成一个形式幂级数的系数，称为G(X)▪求生成函数是函数级数展开的逆运算，相当于求无限项的和函数▪若序列为有限项，则生成函数为多项式▪一些重要的生成函数▪广义二项式系数▪用生成函数解决计数问题▪有重复的组合（方程形式）【方法2】▪每项都拆成1+x+x^2+x^3+....的形式▪对于ei的上下限对应级数中x的次数上下限▪所有项的级数相乘结果中C对应的次数的项的系数就是方程的解（满足条件的组合数）o容斥原理▪定义：求并集把各集合加起来后需要减去重叠的部分（基数）▪用N表示基数，交集符号省略，容斥原理可写成▪Ai是有限集A的子集，Ai'表示该子集在A的补集▪Ai的划分标准是其中元素都满足某一性质▪应用▪确定具有约束条件的方程的整数解个数（方法3）▪筛法求素数▪前提：已知对于正整数n≠1，若n不是素数，其最小素因子≤√n▪先列举1—[√N]的素数，然后在1~N中排除这些数的倍数▪容斥原理表示▪Ai表示i的倍数构成的集合（能被i整除的数），i为1~√n的所有素数▪1~N中所有素数的集合表示为：倍数集合+基础素数集合-{1}▪以1~100为例：A2’A3’A5’A7’∪{2,3,5,7}–{1}▪N(A2’A3’A5’A7’)=100–([100/2]+[100/3]+[100/5]+[100/7])+([100/6]+…+[100/35])–([100/30]+[100/42]+[100/70])=22▪求两个集合间满射的个数▪已知：有集合B,C,|B|=m,|C|=n.C={1,2,…,n}▪定义集合A为B到C的映射：令A=C^B▪定义A的子集Ai为B到C中减去{i}的映射：Ai=(C–{i})^B▪容斥原理表示：N(A1’A2’…An’)=N(A)-C(n,1)(n–1)m+C(n,2)(n–2)m+···▪N(A)=n^m数论o除法算法/模余算法▪所有除法算法都假设只有整数存在▪整除：a|b表示b=ka（建议念成b是a的整数倍防止混淆）▪带余除法：a为整数，d为正整数，则存在唯一的整数q和r，满足0<=r<d，使得a=dq+r▪除表示法：q=a div d▪模表示法：r=a mod d▪上述表达式左边都是被除数，右边都是除数▪模指数运算▪定义：b^n mod m结果是余数▪算出b^n再模m是不可行的，需要利用指数n的二进制展开式进行计算▪二进制展开算法▪ 1.将次数n转换为二进制▪ 2.有结果寄存器x和乘积寄存器power两个变量，x初始化为1，power初始化为b mod m▪ 3.若二进制代码中第i位为0，则x不变，power=power^2；若第i位为1，则x=x*power modm,power=power^2mod m▪利用欧拉定理和费马小定理计算▪ 1.对次数进行分解，化成若干个可叠加和复用的部分（简化运算用）▪ 2.进行指数运算时，若结果大于m了则进行一次求余，化成同余式▪ 3.化成同余式后进行下一步操作运用ac≡bd(mod m)的性质继续重复上述运算步骤，直至求完所有次数▪例题：正向推导▪根据题目条件确定欧拉定理条件：(p,m)=(p,12)=1▪求出φ(m)，构造欧拉定理：p^φ(m)≡1(mod m)▪利用同余式性质从欧拉定理公式向题目靠拢o最大公因数▪定义：a,b是整数，ab≠0,a,b的公共的因数称为它们的公因数，公因数中最大的那个称为它们的最大公因数，记作gcd(a,b),或者(a,b).若(a,b)=1，则称a,b互素▪欧几里得算法/辗转相除法▪基础引理：若a=bq+r,则(a,b)=(b,r)▪推论：ab!=0，则存在整数m,n使得ma+nb=(a,b)▪辗转相除法▪过程：a div b作带余除法，用除数作被除数，余数作除数（参考引理），直至余数为0，最后一个非零余数即为gcd▪表示为线性组合▪ 1.根据保留的算式，通过展开余数r=a-bq的方式代入▪ 2.每一步都只展开余数，展开后与留下的被除数（展开项的除数）进行系数合并▪ 3.继续展开余数直到顶层o素数▪定义：p是正整数，p≠1，若p的正因数只有1和p本身，则称p 为素数（1既不是素数也不是合数）▪定理▪若p是素数且p|ab，则p|a或p|b▪存在无穷多个素数▪整数的唯一分解性：每个大于1的整数都可以写成素数之积且写法唯一o同余式▪定义▪a,b为整数而m为正整数，当m整除a-b时称a模m同余b（即a-b=km），记作a≡b(mod m)▪含义▪可以理解为一个等式和括号里的注释两部分构成，等式部分决定大部分性质▪a和b除以m得到的余数相同，即a mod m=b mod m▪若0<=b<m，则有a≡b(mod m)等价于a mod m=b▪注意▪模不是余数而是除数，模运算的结果才是余数▪此处的mod和作为运算符的mod不同，与后面的m作为整体作为记号存在▪性质▪f(x)是整系数多项式，则f(a)≡f(b)(mod m)▪(a,m)=(b,m)▪同余类▪对同一个模同余的所有数称为一个同余类▪模逆▪利用辗转相除法求解同余方程的方法▪模逆存在定理：若(a,m)=1（必须互素）,则一定存在b使ab≡1(mod m)，称b为a模m的逆▪求a模m的逆▪ 1.根据题意翻译成ab≡1(mod m)的形式，并根据定义写出ab-1=mk▪ 2.通过辗转相除法计算gcd(a,m)=1，注意保留算式▪ 3.通过算式反向代入表示最后的余数1，直到表示成1=ab-mk的形式，其中b就是所求的模逆（式中蓝色要为题目的值）▪ 4.其他模m同余为b的值也是a的逆（即B=b+mk）▪线性同余方程/一次同余式▪形式：ax≡b(mod m)▪同余式有解判定▪解存在：ax≡b(mod m)有解的充要条件是(a,m)|b，且有解时恰好有(a,m)个解▪解唯一：若(a,m)=1【模逆存在】,则同余式ax≡b(mod m)有唯一解▪同余式的解▪解的形式：x≡bc(mod m)▪其中b为原方程参数，c为a模m的逆▪解的形式表示了x属于这个同余类，即表示了一系列数▪求解方法▪求出模逆之后就可以在一次同余式两边同时乘以模逆来解同余方程/在模逆等式两边同时乘以参数b表示x▪数学语言：已知模逆c【即ac≡1(mod m)】，则acb≡b(mod m)，所以x≡cb(mod m)是同余式的解▪欧拉定理▪欧拉函数φ(n)▪定义：n是正整数，1~n中与n互素的数的个数记作φ(n)▪求φ(n)：利用容斥原理证明▪在RSA中的应用：若n可以分解为若干个互质的整数之积，则φ(n)也可以分解成这些质数的φ(n)之积▪欧拉定理▪费马小定理：欧拉定理的特殊情况▪定理内容▪应用：运算整数高次幂的模p余数▪高次同余式（方程）▪形式：x^a≡b(mod m)▪应用欧拉定理与费马小定理解方程▪应用条件：若b,m互素，则其解x必与m互素▪若还有a,φ(m)互素，则同余式ay≡1(modφ(m))有解y=c，即ac=1+kφ(m)▪将原方程再乘方c次得：x^ac≡b^c(modm)→x^(1+kφ(m))≡b^c(mod m)▪由欧拉定理和(x,m)=1【条件】：x^φ(m)≡1(mod m)▪将上式除以下式（已知互质可以相消）得：x≡b^c(mod m)▪总结：x≡b^c(mod m)▪b,m都是原方程中的参数▪c为同余式ay≡1(modφ(m))的解【把高次同余式转化成一次同余式】▪关键为求出φ(m)▪解法步骤▪ 1.对m进行质因数分解，并求出φ(m)o RSA密码▪密钥生成：公钥和私钥生成后就可以丢弃p,q▪公钥(N,e)：公开的，用于加密明文的密钥▪ 1.选取两个大素数p,q，算出N=pq和φ(N)=(p-1)(q-1)【欧拉函数性质】▪ 2.任意选取一个数e，保证e与φ(N)互素▪ 3.(N,e)称为公钥，并在网络上公开用于明文的加密▪私钥d：储存在本地的私有密钥，用于解密明文▪ 1.解同余式ed≡1(modφ(n))算出d，由于1<φ(n)原式等价于ed modφ(n)=1，亦等价于ed=kφ(n)+1▪ 2.由ed=kφ(n)+1表示出私钥d=(kφ(n)+1)/e▪ 3.求出e模φ(n)的逆即为所求的私钥d▪加密原理：大素数求模运算几乎是不可逆的（不能在有限时间内求出φ(N)）▪加密算法▪已知明文编码m和公钥e，求解x≡m^e(mod N)（要求m与x均落在1~N上，所以等价于求m^e mod N=x），解出x即为所求密文▪过程中需要用到模指数运算▪解密算法▪已知密文C和私钥d，求解m≡C^d(mod N)（同样要在1~N上）等价于求m^e mod N=x，解出m即为明文▪过程为模指数运算。
零化多项式特征多项式最小多项式常系数线性齐次递推
零化多项式特征多项式最⼩多项式常系数线性齐次递推零化多项式/特征多项式/最⼩多项式/常系数线性齐次递推约定:I n是n阶单位矩阵，即主对⾓线是1的n阶矩阵⼀个矩阵A的|A|是A的⾏列式默认A是⼀个n×n的矩阵定义零化多项式:对于⼀个矩阵A，它的⼀个零化多项式f(λ)是满⾜f(A)=0的多项式，定义域包含矩阵最⼩多项式:次数最低的零化多项式特征多项式对于⼀个n阶的矩阵A，它的特征多项式p(λ)=|λI n−A|λ定义域不⽌是R，还可以是矩阵p(λ)是关于λ的⼀个不超过n+1次的多项式即p(λ)=∑n0a i x iCayley-Hamilton定理:矩阵的特征多项式也是它的零化多项式求解特征多项式带⼊n个数，求出得|xI n−A|,得到n个矩阵，通过⾼斯消元可以O(n3)地求出⾏列式然后可O(n2)拉格朗⽇插值求出原来的多项式，总复杂度受限于⾼斯消元，为O(n4)求解最⼩多项式构造矩阵序列a i=A i求出它的⼀个线性递推r i，即m∑j=0r j a i−j=m∑j=0r j A i−j=(m∑j=0r m−j A j)⋅A i−m=0∴m∑j=0r m−j A j=0所以可以由r i翻转得到f(λ)求解a i前n项的复杂度受限于矩阵乘法为O(n4)，求解递推式的复杂度为O(n3)考虑到实际求解递推式时，随机⽣成了两个向量u,v实际是计算标量序列{uA i v}的递推式，所以实际每次求出uA i复杂度应为O(n2)求这个递推式需要⽤到a i前2n项，求解复杂度为O(n3)因此总复杂度为O(n3)(但是如果只是求出来并没有什么⽤，因为求解⽅法是随机的，甚⾄连检查⼀次保证正确都需要O(n2(n+e))的时间(e为矩阵⾮0位置个数))求解稀疏⽅程组设⽅程系数⽤矩阵A表⽰，右侧每个⽅程的常数⽤向量b表⽰，答案⽤向量x表⽰，则满⾜关系式Ax=b，即x=A−1b求出{A i b}线性递推式，反推出A−1b即可反推⽅法:带⼊线性递推的m项，则∑m i=0A m−i b⋅r i=0A m−i br i=0两边同乘A−1，得到A−1b⋅r m+∑m−1i=0求解矩阵k次幂我们要求解A k，常规做法是直接⽤快速幂设矩阵A的⼀个零化多项式是f(λ)显然，A k可以⽤⼀个多项式表⽰A k=∑k0w i A i{w i}构成了⼀个k+1次多项式F k(x)存在⼀种合法的表⽰是F k(x)=x k∵f(A)=0∴∀i,f(A)A i=0也就是相当于我们要求出x k对于f(x)这个n+1多项式取模显然可以通过类似快速幂的⽅式倍增求解这个多项式，每次对f(x)取模复杂度是O(n log n)就能在O(n log m log n)时间得求出F(x)最后得到的F(x)是⼀个n次多项式那么带⼊就可以快速求出A k可以认为这个复杂度是受限于求解A0,A1,⋯,A n−1的O(n4)对于元矩阵A为稀疏矩阵的情况，设其包含e个⾮零位置那么求解B⋅A的过程是O(n⋅e)的，求解A0,A1,⋯,A n−1的过程，是O(n2e)的求解零化多项式的复杂度也是O(n2(n+e))的，因此总复杂度为O(n2(n+e))⽽⼀般的矩阵快速幂是O(n3log k)的，这种⽅法适⽤情况⾮常特殊另外，对于并不需要知道整个矩阵的答案，并且A0,A1,⋯,A n−1特殊的具体问题，这个⽅法也⼗分有效求解常系数线性齐次递推问题是要求数列f i=∑n j=1a j⋅f i−j给出f0,f1,⋯,f n−1，求第k项的值线性递推显然可以⽤初始向量列与转移矩阵的幂次的乘积表⽰，即f i=(S⋅A i)n，其中A为转移矩阵，S为初始向量列，我们求的是第n项对于n=4的情况，我们的转移矩阵A是12341a 421a 331a 241a 1鉴于它的特殊性，我们可以直接求出它的特征多项式表达式由λI n −A =12341λ−a 42−1λ−a 33−1λ−a 24−1λ−a 1带⼊⾏列式最暴⼒的求法枚举⼀个排列p i ，设排列p 的逆序对为f (p )，|A |=∑(−1)f (p )ΠA i ,pi 实际上合法的排列只有n 个，就是枚举p i =n那么p j =jj <i n j =i j −1j >i当i =n 时，(−1)f (p )ΠA i ,p i=λn −a 1λn −1当i >1时，f (p )=n −iΠA i ,p i=(−1)n −i +1λi ⋅a n −i +1(−1)f (p )ΠA i ,p i=−λi a n −i +1综上,转移矩阵A 的特征多项式有简单的表达p (λ)=|λI n −A |=λn −a 1λn −1−a 2λn −2−⋯−a n假设有f 0这⼀项(不需要知道是多少)，那么认为初始向量列为S =(f −(n −1),f −(n −2),⋯,f 0)这个问题，我们要求的是S ⋅A k 的第n 项，不需要知道整个矩阵类似求出A k 的过程，求出F_k(x)\mod p(\lambda)我们要求解(S\cdot A^k)_n=\sum_1^{n}[x^i]{F(x)}(S\cdot A^i)_n⽽(S\cdot A^i)_n=f_i 已知，求出F(x)后直接带⼊即可需要⽤到多项式取模，求解这个表达式是O(n\log n\log k)的，求完直接带⼊即可{Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。
如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。
2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。
组合数学幻灯片52常系数线性齐次递归关系
(n 3)
这个递归关系就是例4所求解的递归关系。 故由例4的结果可知
an=1+n
c1 pn cos n c2 pn sin n
式中 p 2 2 , tan1( / )
c1 A1 A2 , c2 i( A1 A2 ) 注意，c1和c2是由边界条件决定的常数。
例3 计算n×n行列式
1100 0 0 00000 1110 0 0 00000 0111 0 0 00000 0011 1 0 00000
k
k
ciqin
ci (b1qin1
b2
qn2 i
bk
qnk i
)
i 1
i 1k
k
k
b1
ci
q n1 i
b2
ciqin2 bk
ci qin k
i 1
i 1
i 1
因此(5.15)是递归关系式(5.12)的解。
定义5.5 若an是递归关系式(5.12)的任意
一个解，都存在一组适当的常数c1,c2,…,ck使 得an可以表示为式(5.15)的形式，则称式 (5.15)是递归关系式(5.12)的通解。
解得
c1 (1 5) / 2 5,c2 (1 5) / 2 5
故递归关系式(5.5)的解为
Fn (1 5)n1 (1 5)n1 / (2n1 5)
求解 递归关系
ana0
2an1 1, a1
an2 2an 2, a2 0
3
解：递归关系的
(n 3)
特征方程为 x3-2x2-x+2=0
若q1,q2,…,qk是递归关系式(5.12) 的互不相同的特征根，则
an c1q1n c2q2n ckqkn
第八讲递推关系
例6 f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)+n2n f(0)=0,f(1)=1
解 2*4n-1是特解，齐次解是c2n。 得f(n)=2n-1+22n-1。
例7 (应用) 求f(n)=13+23+…+n3。 即求解 f(n)=f(n-1)+n3 f(0)=0
4 线性常系数非齐次递推关系
k阶常系数线性非齐次递推关系的一般形式为 f(n)=c1f(n-1)+c2f(n-2)+…+ckf(n-k)+g(n), 对n≥k都成立,其中ck≠0,g(n)≠0。 f(n)=c1f(n-1)+c2f(n-2)+…+ckf(n-k)称为其相应的齐次 递推关系。 定理3 k阶常系数线性非齐次递推关系的通解是它的一个特解加 上其相应的齐次递推关系的通解。
f(n)=f(n-1)＋f(n-2) f(0)=1,f(1) =1
练习： 求下面的递推关系。
f(n)=f(n-1)-f(n-2) f(1)=1,f(2) =0
上面我们介绍了特征根两两不同,即每个根的重数都 是1的情形,下面我们考察有重根的情形,我们首先有 下面的引理：
引理3 设q是e重的特征根,则qn,nqn,n2qn,…,ne-1qn都 是递推关系的解。
例2：Hanoi塔问题 现有A,B和C三根立柱以及n个大小不等的中空圆盘， 这些圆盘从小到大套在A柱上形成塔形，如下图示。 现要把n个圆盘从A柱搬到C柱上并保持原来的顺序不 变即小盘放在大盘上，要求每次只能从一个立柱上拿 下一个圆盘放到另一根立柱上且始终都不允许大盘压 小盘。问至少要搬动多少次盘子？
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
2 3
n
）
圯 由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯 圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接： 形式幂级数又称作母函数。 其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
参考文献汪晓梦极限思想的形成发展及其哲学意义中共合肥市委党校学报陈纪修于崇华金路数学分析北京高等教育出版社同济大学数学系高等数学第六版北京高等教育出版社本文得到江西省高等教育教学改革课题项目编号一资助
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏 泗阳 223700）
n=0
n=0
则称为数列的母函数。 关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+
chap7递推关系生成函数
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
C11 2阶常系数线性齐次递推关系
2阶常系数线性齐次递推关系Linear Homogeneous Relation of Degree 2•如果an的递推关系满足a n+C1a n-1+C2a n-2+…+C k a n-k=0，且初值为a0=d0, a1=d1, …a k-1=d k-1，则称这个等式为k阶常系数线性齐次递推关系（linear homogeneous relation of degree k）•多项式x k +C1x k-1+r2x k-2+…+r k=0称为它的特征多项式或特征方程（characteristic equation），其根称为特征根（characteristic root）。
是否常系数线性齐次递推关系？a n = a n-1⋅n Xa n = a n-1+2n-1 Xa n = 3a n-1+1 Xa n = 4a n-1- 4a n-2 √f n = f n-1 + f n-2 √T n = 2T n-1+1 Xx n+1 = x n(1-x n) X•例1•f= 1, f2 = 1, f n = f n-1+f n-21•特征方程是x2-x-1=0•例2•a= 1, a2 = 3, a n = 4a n-1-4a n-21•特征方程是x2-4+4=0•下面我们给出2阶常系数线性齐次递推关系的解法：•假设α, β是a n=c1a n-1+c2a n-2 的特征方程x2-c1x-c2=0 的两个根•a=(α+β)a n-1-(α⋅β)a n-2n•容易验证有a-α⋅a n-1=β⋅(a n-1-α⋅a n-2)n•递推可以得到：a n-αa n-1=β(a n-1-αa n-2)=β2(a n-2-αa n-3)=... =βn-1(a1-αa0)•由此倒推得到：a n-αn a0=(βn-1+αβn-2+α2βn-3+...+αn-1)(a1-αa0)•下面我们给出2阶常系数线性齐次递推关系的解法：•假设α, β是a n=c1a n-1+c2a n-2 的特征方程x2-c1x-c2=0 的两个根•若α≠β，则a n=uαn+vβn，其中u, v由初值决定•若α =β，则a n=a0⋅αn+(a1-αa0)⋅n⋅αn-1•例1•f 1 = 1, f 2 = 1, f n = f n -1+f n -2•特征方程是 x 2-x -1=0•两个特征根分别是 和 •于是 f n = us 1n + vs 2n•由 f 1 = 1和 f 2 = 1 得到1=us 1+vs 2 及1 = us 12 + vs 22 •解出1152+=s 2152-=s 15=u 15=-v•于是，斐波那契数列的第 n 项是1151152255n ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n f•例2•a= 1, a2 = 3, a n = 4a n-1-4a n-21•特征方程是x2-4+4=0•特征根是α= 2，重数为二•可以求出a= 1/4•于是a n = a0⋅αn+(a1-αa0)⋅n⋅αn-1= (1/4)⋅2n+(1-2⋅1/4)⋅n⋅2n-1= (1+n)⋅2n-2E nd。
线性递推数列
线性递推数列例1 2n 个正数排列成n 行n 列，行成等差数列,列成等比数列。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn n n a a a a 1111 ， 163,81,1434224===a a a求: nn a a a +⋅⋅⋅++2211解法一 ：（分析 找出kk a 与那些量有关）设q d a ,,11 则有: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=⋅==+=⋅==+=⋅=16381)2(81)(1)3(33113134331131242111424q d q d a q a a q d a q a a q d a q a a 解得: 2111===q d a []k k k k k kk k k q d k a q a a 2212)1(111111=⋅=-+==∴--- S n a a n nn =⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=+⋅⋅⋅+21212211211 (1)222221132Sn n =+⋅⋅⋅+++ (2)(1)-(2)时: 13221212121212+⋅-+⋅⋅⋅+++=n n n S12211)211(21+---=n n n 。
递推数列一 线性递推数列递推数列(1) 定义: 对{}n a ,从某项起，它的任意项都可用它的前面的若干相邻项来表示，则数列{}n a 叫做递推数列。
若),,(321n k n k n k n k n a a a a f a ⋅⋅⋅=-+-+-++ （*） 则称 数列{}n a 为k 阶递推数列，上式称为数列{}n a 的递推公式。
（2）分类：若（*）是线性的，则称由（*）确定的数列是线性递推数列，否则称其为非线性递推数列。
如 1)、n n n a a a +=++12 )1(≥n 11=a ，12=a2）、*111,21().n n a a a nN +==+∈ 3）、111-+=n n a a 11=a4）、{}()21,2,11++==+n n n a n na a a5）、1,1211=+=+a a a a n n n n6）、1,924111==+-++a a a a a n n n n7）、()310,10,1312221≥===--n a a a a a n n n8）、{}()33,2,1,211321≥+====--+n a a a a a a a a n n n n n1.1 k 阶常系数线性齐次递推数列（1） 定义 对{}n a ,从第k 项后的任意项都满足：k k k n k n k n k n a a a a a λλλλ+⋅⋅⋅+++=-+-+-++332211 N n ∈ )(* k λλ⋅⋅⋅1 是常数，且0≠k λ，则由)(*确定的{}n a ，称阶常系数线性齐次递推数列。
求解线性递推关系方法综述
辽 宁 师专 学报
Ｊｏ ｒ ａ ｆＬｉｏ ｎ ａ ｈ ｒ ｌｇ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｎｉｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏｌ ｅ ｅ
ＶＯＩ ．１３ＮＯ ．４
Ｄｅ ｅ． ２０ ｌ ｌ
【 术 研 究】 学
３ 特 征 根 法 ］
定义 １ 设 志阶 常系数 线 性齐 次递 推关 系为
ｎ ＋ Ｃｌ １ Ｃ２ｔ ２ － ＋ Ｃ 口 一 一 ０ Ｃ ≠ ０ 口一 ＋ Ｏ一 ４ … ， ＾
（ ６）
则称
ｚ ＋ Ｃｌ － ｚ 一 ４ … ＋ Ｃ 一 ｚ４ Ｃ＾ ０ ｚ 一 ４ Ｃ２ － ｌ － 一 （ ） ７
的特解 依 厂 ） （ 的类 型 变化 的规 律 ，也与 求 常系数 线性非 齐 次微分 方程 确定 特解 所遵 循 的规律 十分相似 ． 例 ３ 求解 二 阶非齐 次递 推关 系 ｎ 一６ ａ一 一３． ａ一 ＋９ 。
解 ：对应 的齐次递 推关 系 的特 征方 程 为
一
６ ｚ＋ ９＝ ０ ＝ ＝
例 用函方求递关 ｛： ｌ－一 ５ 母数法解推系ｏ ，＂ 。 Ｉ＝一ａ一 ． Ｕ－， ２ ｎ 口９ｚ １￣ ９ ： ａ 一， ｛。 － １
ｎ （４ １）
由定 理 ４
一— 十 一 岳 Ｚ Ｚ Ｚ
其 中 ６ ， ｂ ０６ ，：为待定 常数 ．
Ａ ）一 ＋ 一 一丢 ｃ ｚ 号 南
再 将 Ａ（ 工）的每个 部分 分式 展成 幂级 数 （ 式上 ） 于是 就有 形 ，
‘
Ａ， ÷ ｚ 号 ３ － ｃ ｉ ３ ３ｚ 一 薹 ＂ 一 一 １ ＋ ］ ｃ一 十 Ｘ ＂ ３ 一
故
口 一 一
÷［ 一（ ） ］ １ 一３ ＋３
组合数学_2011_C04
P( x) G ( x) = , R( x)
R ( x) = 1 + c1 x + c2 x 2 + L + ck x k
m
母函数分解： R ( x) = ∏ (1 − α i x) ki ,
i =1
ai + c1ai −1 + c2 ai −2 + L + ck ai −k = 0 LL (*)
§4 母函数的性质
k = 2p ⎧ 0 ⎪ [8] 若 bk = ⎨ 1 求其母函数。 k = 2 p +1 ⎪ ( k + 2 )! ⎩
e x − e− x 1 3 1 5 = x + x + x +L 提示： 2 3! 5!
§4 母函数的性质
k
6 定理6：bk = ∑ ai , k = 0,1,L
§5 线性常系数齐次递推关系
10 [1] 用10 10个数字和加减乘除四种运算符号组成 n 长度为n的运算式，要求运算符号不能连续 出现，求其方案数。 an = 10an−1 + 40an−2 n [2] 平面上n条两两相交的直线，若任意三条 直线不共点，求其将平面分割成的份数 Dn
Dn = Dn−1 + n
k <l k ≥l
⇔ B( x) = xl A( x)
§4 母函数的性质
思考：若 {bk } 是由{ak } 更改若干项的值构成：
{bk } = a0
c1 c2
a3 a4
a5 c6
a7 L
k<m ⎧ 0 ⎪ [7] 若 bk = ⎨ 1 k≥m ⎪ ( k − m )! ⎩
x
求其母函数。
1 2 1 3 提示：e = 1 + x + x + x +L 2! 3!
3.1递推关系
因为 是三重特征根，所以递 1 推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
解的线性组合还是递推关系的解，解集合做成解 空间。因此，仿效线性空间的知识，能否找到解 空间的一组基，如果能够找到，那么通解就有了。 分情况讨论： 一、特征方程没有重根的情形 二、特征方程有重根
3
3.1 差分
3.1 差分
例3.3试求一数列{ f (n)}n0 使其前5项依次是1,3,7,13,21, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低
解：设数列 f (n)}n0 为所求，则其差分表为 {
1 2 2 0 3 4 2 0 7 6 2 13 8 21
由定理3.6，k f (0) 0(k 3)
k 0 n
3.2 递推关系
3.2 递推关系
特征方程没有重根的常 系数线性齐次递推关系
递推关系
特征方程有重根的常系数 线性齐次递推关系 两类常系数线性非齐次 递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
研究思路： 先假设方程有解， (1) 找出方程解的结构； (2) 方程有解满足那些条件 (3) 满足这些条件的方程是否有解 即思考问题时，先找到必要条，再证必要条件是不是充 分条件，是的话当然好；不是的话，有需加哪些条件？
2 3 2 s 1 3n
递推关系
递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。
如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。
如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。
下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。
递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。
当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。
一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。
用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。
下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。
一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。
如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。
例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。
线性常系数递推关系
n0
所以通项体现式为：an Ar1n Br2n ,
其中常数A, B能够利用待定系数法拟定，或者利用
初始条件(A+B=a0, Ar1+Br2=a1)来拟定。
(1)’ 假如r1≠r2，且是一对共轭复根，则能够假设
r1 ei , r2 e-i
这Байду номын сангаас就有：
an Ar1n Br2n A
e i
解得特征根为 r1 r2 2.
所以通项体现式能够设为：an ( A Bn) 2n.
代入初始条件有
a0 A 1,
A 1, B 1.
a1 2( A B) 4,
所以通项体现式为： an (1 n) 2n.
接下来讨论一般旳k阶线性常系数齐次递推关系：
an C1an1 C2an2 Ckank 0.
(2)
其中 C1,C2, ,Ck (Ck 0), d0,d1, ,dk 1 都是常数，
则(1)称为一种k阶线性常系数递推关系，
(2)称为初始条件。
假如b(n)=0，则称为齐次旳， 不然称为非齐次旳。
先考虑二阶线性常系数齐次递推关系，即
an b an1 c an2 0, c 0
令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
1 r1x
ba0 ) x
1 r2 x
.
下面要根据特征根来进行分类讨论。
(1) 假如r1≠r2，则
G(x)
a0 (a1 ba0 ) x
1 r1x1 r2 x
A 1 r1 x
B 1 r2 x
A (r1 x)n B (r2 x)n
n0
n0
( Ar1n Br2n ) xn ,
常系数齐次线性递推数列的周期
常系数齐次线性递推数列的周期性探究摘要: 本文借助初等数列通项推导法与高等代数的矩阵法分别对复数系二阶常系数递推数列周期的充要条件进行详尽、系统的探究.关键词: 递推数列 周期性 通项推导法 矩阵法二阶常系数齐次线性递推数列是高中数学中常见的数列,笔者发现有不少的题目考察了其数列的周期性,那么此类数列是周期数列的充分必要条件是什么呢？这引起了笔者的兴趣,故对其进行研究,并查阅相关文献,有了一些感悟,现与大家分享.在文[1]中,对于二阶常系数线性递推数列{}n a :()3,*21≥∈+=--n N n qa pa a n n n ,以及初值12,a a ()22120+a a≠其中,特征方程为2x px q =+,24p q ∆=+,按照0,0,0<=>ΔΔΔ共3种情况,分别进行}{n a 为周期数列的充分必要条件探讨,并给出了周期的判断方法.深究发现,文[1]存在两个漏洞,一是忽视初值对数列周期的影响,故0∆>所得结论欠缺严谨性.二是未限定基本条件12,,,p q a a R ∈,对0∆<的情况,却允许其特征根为复数.基于文[1]的探讨,本文将借助初等数列通项推导法与高等代数的矩阵法两种方式分别作详尽、系统的探讨:当12,,,p q a a C ∈时,二阶常系数递推数列周期的充要条件. 1 二阶常系数齐次线性递推数列的周期性1.1 二阶常系数齐次线性递推数列的概念满足递推关系21n n n a pa qa ++=+①,以及给定初值12,a a (其中12,,,p q a a C ∈是常数)的数列{}n a 称为二阶常系数齐次线性递推数列(下文简称“二阶递推数列”).把方程2x px q =+称为递推数列的特征方程,特征方程2x px q =+的两个复数根12,λλ称为递推数列的特征根.注:由于笔者的习惯,在下文中递推关系用21n n n a pa qa ++=+,而非文[1]的()3,*21≥∈+=--n N n qa pa a n n n .1.2二阶递推关系的周期分类由于二阶递推数列的周期性是受初值影响的,详例如下: (1)递推关系:2n n a a +=对任意的12,a a C ∈,数列{}n a 周期数列;(2)递推关系:213122n n n a a a ++=--当122,2a a ==-时,数列{}n a 的通项公式为2n a =,是周期数列;当121,3a a ==时,213+2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭并不是周期数列;(3)递推关系:21n n na a a ++=+对任意不全为零的初值,数列{}n a 均无界,故{}n a 不是周期数列（证明略）; 因此,二阶递推数列的周期定义—弱递推关系()21,n n n a pa qa p q C ++=+∈满足: (1)对任意的初值12,a a C ∈,数列{}n a 都是周期数列,则称递推关系①为周期递推关系; (2)存在的不全为零的初值12,a a C ∈,使得数列{}n a 是周期数列,也存在初''12,a a C ∈,使得数列{}n a 不是周期数列,则称递推关系①为弱周期递推数列;(3)对任意不全为零的初值12,a a C ∈,数列{}n a 都不是是周期数列,则称递推关①为非周期递推数列;2 复数系二阶常系数齐次线性递推数列周期的充要条件探究 2.1 初等数列通项推导法2.1.1理论基础引理1:复数列{}n a 是等比数列,其公比为q .则“数列{}n a 是以()*T T N ∈为周期数列”的充要条件是“1Tq =”.证明:因为{}n a 是等比数列,其公比为q ,且对任意的*,0n n N a ∈≠. 故1T Tn T n n n a a a q a q +=⇔⋅=⇔=.引理2:复数列{}n a 是以T 为周期数列,则对任意的数列C λ∈,{}1n n a a λ+-也是以T 为周期数列.证明:1111,n T n n T n n T n T n n a a a a a a a a λλ++++++++==⇒-=- ,故{}1n n a a λ+-也是以T 为周期数列.(逆命题不一定成立)2.1.2探究过程由韦达定理1212,p q λλλλ+==,于是将递推关系改写为:()()()211211212112221112n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλ++++++++-=-⎧⎪∴=+-⇔⎨-=-⎪⎩②③然而并不能就此断定{}11n n a a λ+-与{}12n n a a λ+-都是等比数列,故分情况讨论: 情形(1) 211=0a a λ-,211=0a a λ-中至少一个为0时,不妨设211=0a a λ-,此时, 恒有011=-+n n a a λ,11n n a a λ+=.至此依然不能断定{}n a 为等比数列.所以继续分类讨论:(i)若10a =,此时0=n a ,即{}n a 为零数列;(ii) 若110,0a λ≠=,此时{}n a 除了首项之外,其余各项均为0,此数列不是周期数列;(iii)若 110,0a λ≠≠,此时{}n a 是等比数列,111n n a a λ-=,由引理1可知,数列{}n a是以T 为周期数列当且仅当1=1Tλ.情形(2) 211221,a a a a λλ--均不为0,12,λλ中至少有一为0时,不妨设10λ=. 此时,数列{}12n n a a λ+-除了首项之外,其余各项均为0.此时,{}12n n a a λ+-不是周期数列,从而,由引理2可知,数列{}n a 也不可能是周期数列.情形(3) 21122112,,,a a a a λλλλ--均不为0,此时,数列{}11n n a a λ+-以及{}12n n a a λ+-是等比数列.由②式得,()1112112n n n a a a a λλλ-+-=-⋅ ②由②式得,()1122211n n n a a a a λλλ-+-=-⋅ ⑤由引理2,若复数列{}n a 是以T 为周期数列,则{}11n n a a λ+-以及{}12n n a a λ+-也是以T为周期数列.由引理1,须满足121,1T Tλλ==,然而这只是情形(3)下数列为周期数列的必要条件,对于它的充分性,仍需继续依据12,λλ是否相等进行分类讨论:(i) 当12λλ≠时,则由-③④,得()()()112121122211n n n a a a a a λλλλλλ---=-⋅--⋅11211221212112n n n a a a a a λλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫--⇒=⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.此时,检验可知n T n a a +=成立,即数列{}n a 为周期数列;(ii)当12λλλ==时,则②和⑤式可以并为:()1121n n n a a a a λλλ-+-=-⋅12112n nn n a a a a λλλ+--⇒-=-⇒数列2n n aλ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,公差为21a a λ-. 于是()()()21212112212n nn n a a a a n a a a n a a λλλλλλ--=+--⇒=-+-⎡⎤⎣⎦记2112,2k a a b a a λλ=-=-,则()2n n a kn b λ-=+.因为211,20T a a λλ=-≠,此时()()22n T n n T a k n T b k n T b λλ+--+=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦220n n n a a k T λ-+-=⋅⋅≠,故此时{}n a 不是T 周期数列.2.1.3结论综述对于二阶递推复数列{}n a :()22,,n n n a pa qa p q C ++=+∈,其初值为12,a a C ∈,其特征根为12λλ，,有以下4个结论成立:结论1 {}n a 是()*T T N ∈周期数列当且仅当满足如下3个条件之一: (1) 初值120a a ==;(2) 存在某个特征根λ,使得=1T λ,且210a a λ-=(3) 有两个不相等的特征根12λλ，,且12==1T Tλλ.结论2 (i)“递推关系①为周期递推关系”当且仅当“其特征根12,λλ不相等,且存在*T N ∈使得12==1T Tλλ”; (ii)“递推关系①为弱周期递推关系”当且仅当“有且只有一个特征根(两个相等的特征根视为一个)λ,使得存在*T N ∈使得=1Tλ”;(iii)“递推关系①为非周期递推关系”当且仅当“任意的*T N ∈,121,1T Tλλ≠≠对于以上结论进行实例应用,如下:例1 递推关系:212n n n a a a ++=-,其特征根为12±,而1=≠,所以,对任意的*T N ∈,于是,121,1T T λλ≠≠.故212n n n a a a ++=-为非周期递推关系.例 2 ()211i n n n a a a ++=-+,121,i a a ==.其对应的特征根为: ()12i,1i λλ==-,满足:421i 0,i 1a a -⋅==可知数列以4为周期的周期数列.例 3 其对应的特征根为:()12i,1i λλ==-,21λ=≠,故对任意的*2,1T T N λ∈≠,而411λ=,但21i 0a a -≠,故此数列不是周期数列.例 4 21n n n a a a ++=-,其特征根为:12λλ==,6612=1λλ=.故以6T =为周期的递推关系.进一步,考虑1Tλ=的等价条件,可知λ在单位内,设其辐角为θ,则i e θλ=,21,=T k k N T πλθ=⇔∃∈使得.记2kt Q T=∈,则得到二阶递推数列{}n a 为周期数列的一个必要条件:结论 3 二阶递推数列{}n a 为周期数列,则必存在特征根λ,使得其辐角为,t t Q θπ=∈.由于实数域包含于复数域内,结合文[1]以及本文中的结论1,结论2以及结论3,可得到实数范围内相应的结论（4）,其中,情形(1)(2)(3)对应与0∆≥,情形(4)对应于0∆<:结论4 递推关系n n n qa pa a +=++12,以及给定初值21,a a (其中221212,,,,0p q a a R a a ∈+≠),数列{}n a 是周期数列当且仅当满足如下四个情形之一:(1) 1p q +=,21a a =.此时数列{}n a 是1为最小正周期的数列; (2) 1,q p -=12a a =-.此时,数列{}n a 是2为最小正周期的数列;(3) 0,1p q ==,对任意的12,a a ,数列{}n a 是1或2为最小正周期的数列;(4) 2cos ,1p t q π==-(其中*,,,st s r N s r s r r=∈<与互质,),对任意的12,a a ,数列{}n a 均为周期数列.若s 为奇数,则数列{}n a 是2r 为周期的数列;若r 为偶数,则数列{}n a 是r为周期的数列.2.2 高等代数的矩阵法由于初等的方法较复杂,受文[2]运用矩阵法求常系数递推数列的启发,所以尝试引入线性代数的相关知识,将数列的问题转化为矩阵的问题,实现高效推导.2.2.1 常系数递推数列与递推矩阵一般地,称满足下述递推公式的数列{}n a 为常系数齐次递推数列:递推关系1122n k n k n k k k a c a c a c a ++-+-=+++,以及初值:12,,,k a a a其中,1212,,,,,,,k k c c c a a a C ∈为常数.设1122111n k k n k n n k kk a c c c a X A a +-+-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,则常系数线性递推数列可以转化为 向量数列{}n X :满足递推关系1n n X AX +=,初始条件1X .称A 为递推矩阵,通过反复迭代,可得11n n X A X -=.2.2 .2 递推向量列的周期性研究若初始条件1X 为零向量,则{}n X 为恒为0向量,结论平凡,不予讨论.再者,由于{}n a 是周期数列等价于{}n X 是周期向量数列.故只需研究非零初值的递推向量列{}n X 的周期即可.(一) 递推数列为周期数列的充要条件设{}n X 是以T 为周期的向量数列.则1111TT X X A X X +=⇔=(注:这里表示A 的T 次幂,而不是矩阵的转置,下文同),即1是矩阵T A 的特征值,1X 是矩阵TA 的属于1的特征向量.另一方面,若11TA X X =成立,则()111111n T n T n n T n X A X A A X A X X +---+====,即有:{}n X 是以T 为周期的向量数列⇔1是矩阵TA 的特征值,1X 是矩阵TA 的属于1的特征向量.进一步,设矩阵A 的特征值为12,,,k λλλ,则矩阵T A 的全部特征值为12,,,T T T k λλλ,于是,得到:已知递推数列{}n a :1122n k n k n k k k a c a c a c a ++-+-=+++,在非零初值:12,,,k a a a .结论 5 {}n a 是以T 为周期的数列,当且仅当,存在存在特征值λ,使得1T λ=,且121n a a X a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵T A 对应于1的特征向量,其中A =1211k c c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （二）周期递推关系与弱周期递推关系 递推关系:1122n k n k n k k k a c a c a c a ++-+-=+++为周期递推关系⇔存在*T N ∈,使得任意的1k X C ⨯∈,都有T A X X ⋅=⇔()0T A E X -⋅=恒成立⇔TA E =.另一方面,对1211k c c c E A λλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭实行初等矩阵变换, 得矩阵A 的Smith 标准型:1111k k k c c λλ-⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭由此可见,矩阵A 的最小多项式等于其特征多项式,即:()()11det k k k m E A c c λλλλ-=-=---于是T A E =()1T fλλ⇔=-是矩阵A 的化零多项式()()|m f λλ⇔()()111k k T k c c λλλ-⇔----⇔12,,,k λλλ是互不相等相等的T 次单位根. 结论6 递推关系:1122n k n k n k k k a c a c a c a ++-+-=+++为周期递推关系与下列条件等价:(1)存在正整数T ,使得()()111k k T k c c λλλ-----(2)存在正整数T ,使得12,,,k λλλ是互不相等相等的T 次单位根.(3)12,,,k λλλ均在单位圆上,且其辐角主值与π的比值均为有理数.同样,以上结论举例应用如下: 例5 3212n n n n a a a a +++=++,对应的递推矩阵112100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其特征值多项式为()()322212λλλλλλ---=++-,其特征值1232λλλ===,满足:33121λλ==.于是考虑3544232112A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3A 特征值为1,1,8.其中1对应的特征向量为12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.所以,当123,0,a a a a a ===-或1230,,a a a a a ===-时,数列{}n a 为周期数列;对于其他的初值,数列{}n a 均不为周期数列.所以,递推关系3212n n n n a a a a +++=++为弱周期递推关系.例6321n n n n a a a a +++=-+,对应的特征方程为:()()322111λλλλλ-+-=+-,其特征根为123,,1i i λλλ==-=,均是4次单位根.故递推关系321n n n n a a a a +++=-+为以4为周期递推关系.参考文献[1] 朱 勇 对一类递推数列周期性的再探究[J].中学数学教学,2014(4), 24-25[2] 李信明 常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法[J] 高等数学研究,1999(4),23-25.。
母函数与递推关系
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
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2.7 线性常系数齐次递推关系
定义1 如果序列{an}满足
an C1an 1 C2an 2 Ck an k b(n), a0 d 0 , a1 d1,, ak 1 d k 1, C1 , C2 ,...Ck (Ck 0), d 0 , d1, d k 1是常数。
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
2
2.7 线性常系数齐次递推关系
与D( x)对应的K ( x) x 2 bx c称为与递推关系 (3)所对应的特征多项式。
从而 an (1 n)2n
2.7 线性常系数齐次递推关系
定义 如果序列{an}满足
an C1an1 C 2an2 C k ank 0,
a0 d 0 , a1 d1 ,, ak 1 d k 1 ,
2 7 1 2 7 2
线性常系数齐次递推关系
一个r-阶递推关系定义为：有正整数r 以及一个 r+1元函数F，使得对所有nr, 有关系式
an F (an 1, an 2 ,..., an r ; n)
（0）
这样若已知数列开始的r项a0 , a1 , ar 1， (他们称为 初始条件)，则通过(0)可以逐项确定整个数列。
则(1)称为{an}的 k 阶常系数线性递推关系, (2)称为{an} 的初始条件。
(1) (2)
若b(n)=0，称为齐次的，否则称为非齐次的。
2.7 线性常系数齐次递推关系
二阶线性常系数齐次递推关系 先考虑简单情形: 二阶线性常系数齐次递推关系
an b an 1 c an 2 0,
i
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
C1 , C2 ,Ck Ck 0 及 d 0 , d1 , d k 1 是常数
则(2-7-1)称为{an}的 k阶常系数线性齐次递 推关系, (2-7-2)称为{an} 的初始条件。
2.7 线性常系数齐次递推关系
C ( x) x C1 x
k k 1
Ck 1 x Ck
A1, A2是待定常数，令
k1 A1 A2 ,
k2 iA1 - iA2
2.7 线性常系数齐次递推关系
k1 , k2也是待定常数，故 an k1 n cos n k2 n sin n
利用初始条件即可确定k1, k2 .
-b 3) r1 r2的情形，令r r1 r2 2 a0 (a1 ba0 ) x A B G ( x) 2 (1- rx) 1- rx (1- rx)2
a1 - a0 r2 a1 - a0 r1 n n an ( r1 ) ( r2 ) r1 - r2 r2 - r1 其中 r 1,2 -b b - 4c 2
2
2.7 线性常系数齐次递推关系
a0 (a1 ba0 ) x 证明： G( x) (1- r1x)(1- r2 x) A B [ Ar1n Br2 n ]xn , 1- r1x 1- r2 x n 0
称为{an} 的特征多项式.
特征方程的k个根q1,q2,..,qk叫做该递推关系 的特征根。其中qi是复数。
2.7 线性常系数齐次递推关系
下面利用母函数的方法来求解递推关系。
设G(x)为{an} 的母函数
G ( x) a0 a1 x an x n
根据(2-7-1)，有
x (ak C1ak 1 C2 ak 2 Ck a0 ) 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
以下分别各种情况讨论具体计算的问题。 （1）特征多项式C(x)无重根
设
C x x 1 x 2 x k
Ak A1 A2 G x 1 1 x 1 2 x 1 k x
2.7 线性常系数齐次递推关系
前面我们讨论了母函数在解递推关系上的应用,
下面我们更一般的研究递推关系。
确定一个数列{an}的最常用的方法是
给出一般项an的表达式
得到该数列的母函数 建立数列所满足的递推关系—即建立一种规则， 使得通过这种规则数列的每一项可由其 前面的项唯一确定.
2.7
[ A B(n 1)] r n x n
n 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
故 b an [ A B( n 1)]r [ h kn]r ，r , 2
n n
当n 0时有a0 h, n 1时an (h k )r
则 a1 k a0 r
2.7 线性常系数齐次递推关系
则
1 1 C1 x C k x x C x
k k
1 1 x
于是
k1
1 2 x
k2
1 i x
ki
P x G x 1 C1 x Ck x k
P x
1 1x 1 2 x
k1
k2
1 i x
ki
2.7 线性常系数齐次递推关系
上式中分子的次数低于分母的次数, 故
A1k1 A11 A12 G ( x) 2 k1 1 1 x (1 1 x) (1 1 x) A2 k2 A21 A22 2 k2 1 2 x (1 2 x) (1 2 x) Aiki Ai1 Ai 2 2 ki 1 i x (1 i x) (1 i x)
所以对于二重根r , a1 an [a0 ( - a0 )n ]r n r
2.7 线性常系数齐次递推关系
an - an -1 -12an -2 0 例1 a0 3, a1 26
解 : 特征方程为x 2 x 12 0, 易求得 特征根为x1 4, x2 -3
2.7 线性常系数齐次递推关系
2) r1 r2 , r1，r2是一对共轭复根。 设 r1 ei , r2 e-i (r1 ) e , (r2 ) e
n n n in n -in
an A1 (r1 )n A2 (r2 )n
( A1 A2 ) n cos n (iA1 - iA2 ) n sin n
k
x k 1 (ak 1 C1ak C2 ak 1 Ck a1 ) 0 x n (an C1an1 C2 an2 Ck ank ) 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
将这些式子两边分别相加，得到
即
i G x ai x C1 x G x ai x i 0 i 0 k Ck x G x 0
故有
an A(r1 )n B(r2 )n
2.7初始条件可得 Ar1 Br2 1
容易解得
A B
1 5
即有
1 1 5 n 1 1 5 n Fn ( ) ( ) 2 2 5 5
2.7 线性常系数齐次递推关系
a x
i
i
,
多项式 P x 的次数不大于k-1 特征方程 k k 1 C x x C1 x Ck 0 在复数域中有k个根，故可设
C x x 1
k1
x 2
k2
x i
ki
k1 k2 ki k
a0 (a1 ba0 ) x G ( x) (1- r1x)(1- r2 x) A B 可令 G( x) 1- r1x 1- r2 x
则我们可以求出A, B.下面的定理将说明这件事。
2.7 线性常系数齐次递推关系
定理： 递推关系 an b an 1 c an 2 0，c 0 已知a0和a1，则通项为
解：特征方程为 x2 - x 1 0 特征根 1 3 x i 2 2 cos
3
i sin
3
e
i 3
2.7 线性常系数齐次递推关系
所以有 n n an A1 cos A2 sin 3 3 1 3 A2 1 a1 A1 2 2 1 3 a2 2 A1 2 A 2 0
(1 bx cx 2 )G( x) a0 (a1 ba0 ) x (a2 ba1 ca0 ) x 2 .. (an ban -1 can -2 ) x n ...
注意到
an ban-1 can-2 0
2.7 线性常系数齐次递推关系
(1 bx cx 2 )G ( x) a0 ( a1 ba0 ) x a0 ( a1 ba0 ) x G ( x) 1 bx cx 2
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
a1 a0 r2 A r - r A B a0 1 2 则 Ar1 Br2 a1 B a1 a0 r1 r2 - r1 a1 - a0r2 a1 - a0r1 n n n 于是 an Ar1 Br2 (r1 ) (r2 )n r1 - r2 r2 - r1