第一篇第四章电阻率测深法

U1(r,
z)
1I 2
1 R
[
0
A1
(m)emz
B1 (m)emz
]J0 (mr)dm
（1.4.7）
地面上任意一点的电流密度法向分量等于零
U1
z
|z0
0 [B1(m) A1(m)]J0 (mr)mdm 0
因此 B1(m) A1(m) ，（1.4.7）式变为：
U(r, z) 1I
2
1 R
量 z 的待定函数。将（1.4.2）式代入（1.4.1）式，经
整理得
d
2 R(r ) dr 2
1 r
R(r)
dR(r) dr
d 2Z (z) dz 2 Z(z)
（1.4.3）
--精品--
上式左边为仅含 r 的函数，右边为仅含 z 的函数。要
它们相等，只有都等于一个常数 m2 才有可能。故由
（1.4.3）得到二个常微方程：百度文库
电位连续和电流密度法向分量连续这两组边界条件，可
列出：
--精品--
[ 1I
0 2
emH1
B1 (m)(e mH1
emH1 )]J0 (mr)dm
0
[
A2
(m)e
mH1
B2emH1 ]J0 (mr)dm
1
1
[
0
1I 2
e mH1
B1 (m)(emH1
emH1 )] j0 (mr)mdm
1
解便为：
--精品--
U (r, z)
[ A(m)emz
0
B(m)emz ]J0 (mr)dm
式中 Am 和 B(m) 为待定的积分变量 m 的函数。
（1.4.6）
--精品--
现先确定第一层电位的具体形式，由于当
R
r2
z2
0 时，电位与半无限介质相同，即U
1I 2
1
R，
因此，在第一层中电位表达式为
2
0
[
A2
(m)e
mH1
B2 (m)mH1 ]J0 (mr)mdm
…………………………
0
[
Ai
(m)e
mHi
Bi (m)emHi ]J0 (mr)dm
0
[
Ai
1
(m)e
mHi
Bi1(m)emHi ]J0 (mr)dm
--精品--
1
i
0
[
Ai
(m)e
mHi
Bi (m)emHi ]J0 (mr)mdm
--精品--
用双对数坐标纸绘制电测深曲线，其横坐标以极距为 自变量，纵坐标以 s 为变量，显然，测深 s 曲线反映的 是某个测点下垂向地质情况的变化。引起 s 曲线变化 的主要因素是各电性层的厚度，电阻率的大小,层数的 多少及电极距的长短。电法勘探中，常将由不同电性 层组成的地质断面称为地电断面。通过电测深曲线反 映的地电断面的分析，便可了解测点下部地质情况的 垂向变化。
1
i 1
0
[
Ai
1
(m)e
mHi
Bi1(m)emHi ]J0 (mr)mdm
…………………………
0
[
An
1
(m)e
mH
n1
Bn1(m)emHn1 ]J0 (mr)dm
0
An
(m)emHn1
J0
(mr)dm
1
n1
0
[
Ai
(m)e
mH
n1
Bn1(m)emHn1 ]J0 (mr)mdm
1
图 1.4.1 多层水平地层
如图 1.4.1 所示，假定地 面是水平的，在地面以下有 n 层水平层状地层，各层电
阻率分别为 1 、 2 ……， n ， 厚度分别 h1、h2、……hn， 为每层底面到地面的距离为 H1、H2……，Hn-1、Hn= 在 A 点有一点电流源供电，其 电流强度为 I。
--精品--
d
2 R(r ) dr 2
1 r
dR(r) dr
m2
R(r)
0
（1.4.4）
d
2Z(z) dz2
m2 Z
(z)
0
（1.4.5）
（1.4.4）式为零阶贝塞方程，其解便为零阶贝塞尔
函数 J0 (mr) 和 Y0 (mr) ；而（1.4.5）式的解为 emz 和 emz 。 由于 Y0(mr) 在 Z 轴上（即 r=0）变为无限大，这与电 位极限条件不符，故应舍掉，于是（1.4.1）式的通
Bi (m)emz ]J0 (mr)dm
i 2, ,n 1
（1.4.8） （1.4.9）
当 z 时，电位应等于零，故 Bn (m) 0 ，在此第 n 层 中的电位为：
Un
0
An
(m)emz
J
0
(mr
)dm
（1.4.10）
在（1.4.8）～（1.4.10）式中的系 A2(m) 和
B2 (m) , Bn1(m) ，共有 2(n 1) 个。根据在各个界面上
第四章 电阻率测深法
电剖面法是将极距保持固定沿一定测线观测，以 了解在某一深度范围内地质情况沿水平方向的变化。 而电阻率测深法（简称电测深）则是在同一测点上逐 次扩大电极距，使探测深度逐渐加大，这样便可得到 观测点处沿垂直方向由浅到深的视电阻率变化情况。 电测深也可像电剖面法那样使用不同的装置，如三极 电测深，对称四极电测深、偶极电测深等。本章主要 讨论用得最广的对称四极电测深，它是以测点为中心， AB 极距对称于测点向两旁按一定倍数增加，MN 分段 固定（另一种方法是 MN 与 AB 间保持固定比例，随 AB 的增关而增大），对每一 AB 极距均可测出一 s 值， 对每一测点的电测深结果，
引用圆柱坐标系，将原点设在 A 点，z 轴垂直向 下，由于问题的解对 Z 轴有对称性，与 无关，故电 位分布满足下面形式的拉普拉斯方程。
2U r 2
1 r
U r
2U Z 2
0
用分离变量法求上式的解，设
（1.4.1）
U (r, z) R(r)Z(z)
（1.4.2）
R（r）为仅含自变量 r 的待定函数，Z(z)是仅含自变
当探测对象为水平（或倾角不超过 20 度）岩层时， 可定量地求出各电性层的厚度和电阻率。但在金属矿 区，经常遇到非水平层地电断面。故本章除详细介绍 水平层电测深理论和解释外，还讨论非水平层和有限 体上电测深曲线的反映。
--精品--
§1.4.1 多层水平地层面点电流源的 电场及表达式
一、多层水平地层地面点 电流源的电场
0
B1(m)(emz
emz )J0 (mr)dm
应用韦伯—莱布尼兹积分
e mz 0
B1 (m)(emz
emz )J0 (mr)dm
--精品--
将第一层的电位公式写为：
U1
[
1I
0 2
emz
B1 (m)(emz
emz )]J0 (mr)dm
第二层以下到第 n1层的电位为
Ui
0
[
Ai
(m)emz
n
0
An
(m)emHn1
J
0
(mr
)mdm
--精品--
从而得到
(e2mH1
1)B1(m)
e2mH1 A2 (m)
B2 (m)
1I 2
e-2mH1
2 (1 e2mH1