函数连续性(续)及闭区间上连续函数的性质

1
特别有 (1 x)n 1
1 x ( x 0)
n
推广：若 f (x) 0 ，则
1
(1 f ( x))a 1 af ( x) ， (1 f ( x))n 1 f ( x) ．
n
例 8f (求x)下列0极，则 限
(1)
lim
x
sainf (
xx )
tan x
1:
f1( ;x )
ln
，则
b]
f
( x) 在
[a, b]上必有最大值和最小值，即 x1, x2[a, b] ，使
x[a, b]，有 m f ( x1 ) f ( x) f ( x2 ) M ．
y
y f (x)
f ( x1) f ( x2 )
o a x1
x2 b x
Thm
5（最大—最小值定理）设
f
C[a,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则
2
2
lim
x0
e x2
cos x2
x
2错
1 lim
x0
x2
1 x2
1 2
x2
2
lim x0
x2 1 x2 2
x2
1 2
E(X4)E
li(m5)
x 0
e = . elxi2m x 0
coas1xxa312x
x12a3x
1
,xlim
x 0
e
3
x2 cos x2
aix2 0,
a1a2a3
i 1, 2, 3
1
lim cos x sin2 x
x 0
；
1
e2
讨论 (4)
a xh a xh 2a x
lim
h 0
h2
(a 0) ．
ah 1 : h ln a ( h 0 )
几个常(用2)的极lim限a式x 1 lna ; x0 x
例 7 求极限
(1)
lim loga (1 x)
x0
x
loga
e
e x2 cos x 2
(e x2 1) (1 cos x)
Q lim
x0
x2
lim x0
x2
lim x0
x2 1 2
x2
x2
1 2
因 lim x0
ex2 1 x2
1
,
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
，
1
1
lim e x2 cos x 1 x2 e 2 .
x 0
5. 闭区间上连续函数的性质
lna ;
x0 x
a x 1 x ln a , 特别有 e x 1 x ( x 0)
推广：若 f ( x) 0 ，则
a f ( x) 1 f ( x) ln a ， e f ( x) 1 f ( x) ．
几个常用的极限式
(3)
(1 x)a 1 lim
a;
x0
x
(1 x)a
ax ,
Thm 4（有界定理）
设
f
C[a,
，则
b]
f
在 [a,
b]
上有界，即 M0， x[a, b]，有 f ( x) M ．
Note：对于非闭区间上的连续函数，定理的结论 不一定成立．
例如：
f
(x)
1 x
C(0,
，但
1)
f
( x) 在 (0,
1) 内无界．
Thm
5（最大—最小值定理）设
f
C[a,
x x0
x x0
lim u( x)v(x) AB ，其中 A, B 为常数．
x x0
单侧极限以及当 x0 为 或 时，
上述结论也成立．
例6
(1)
lim
x
2x 2x
3 1
x
1
;
例6
lim u( x)v( x) AB ( A 0).
x x0
(2)
lim
x
1
2 x
o
1 x
x
;
讨论 (3)
ex ,
| x | 1,
(2)看fx(0x初 是) 等 否函 为 1 数 其x在 定 义 exx0,处 区|间 是x 内 否 | 1的 连; 点 续． ，
Exe (3) f ( x)
1
x
ex ,
；
(4)
f
(x)
e
| x | 1,
1 e x1
1
x
x
,
| x | 1.
幂指函数的极限
结论：若 lim u( x) A 0, lim v( x) B, 则
在 x0 处谈不上是连续的． 函数值； ② 判断初等函数在 x0 处是否连续，
看 x0 是否为其定义区间内的点．
例 5 怎讨样论初讨函等数论函的分数连段在续函性x数0 处的是连否续连性续？，
间看断x点0 是可否能为出其现定在义区间内的点．
sin 2x (1) f ( x) x
；
e x1 x 1
4. 初等函数的连续性 (1) 基本初等函数的连续性
基本初等函数在其定义域内都是连续的．
一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
(2) 一切初等函数在其定义区间内是连续的．
注意：义①：初等函数在其定义域内不一定是连续的．
① 初等函数其定义区间内每一点处的极限值 如： f ( x) kx kx (k0)
如：
f
(
x)
1, x 1,
x 3, 1 x 2,
Thm 6（零点定理） 设
(1)
f
C[a,
；
b]
(2) f (a) 与 f (b) 异号 （即 f (a) f (b)0 ），
则至少存在一点 (a, b) ，使得 f ( ) 0 ．
y
几何意义：若连续曲线 y f ( x) 上
y f ( x) 有两个点位于 x 轴的不同侧，
oa c
b
x
则连接这两点的曲线弧
b]
f
( x) 在
[a, b]上必有最大值和最小值．
Note：(1) 对于非闭区间上的连续函数 f ( x) ，结论未必成立．
如： f ( x) x C(0, 1) ， f ( x) x C(0, )
(2) 若 f ( x) 在闭区间上有间断点，
则定理的结论未必成立． x 1, 0 x 1,
x
2
e x2 cos x 2
(e x2 1) (1 cos x)
Q lim x0
x2
lim x0
x2
错
lim x0
x2
1 2
x2
x2
1 2
ex2 1 : x2
1 cos x : 1 x2 2
ex2 1 :
x2
错
e x2
:
1 x2 ，
1 cos x :
1
x2
错
cos
x
:
1 1 x2
1 ln a
;
loga (1 x)
x , 特别有 ln(1 x)
ln a
x
( x 0)
推广：若 f ( x) 0 ，则
loga 1 f ( x)
f ( x) ， ln 1 f ( x)
ln a
f (x) ．
几个常用的极限式 (3)
(1 x)a 1 lim
a;
x0
x
(2)
ax 1 lim
a
．
2
x x 1 EXE (2) lim
1;
x1 xlnx
(3) lim n2( n x n1 x ) ( x 0) ln x n
ex2 1 : x2
1 cos x : 1 x2 2
= e . 1
(4) lim e x2 cos x 1 x2 x 0
lim
x 0
e
x2
cos x2