专题9：几何三大变换之对称探讨

【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：
典型例题：
例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此
A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】
【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

故可得选项A与其他图形的对称性不同。

故选A。

例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】
【答案】C。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：
A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；
B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；
C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；
D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。

故选C。

例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），C（－1，－3）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）
②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）
【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。

②如图所示，A2（2，1）。

【考点】轴对称和中心对称作图。

【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。

例6. （2012四川乐山9分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形。

（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4。

∴S 四边形BB1C1C
()()1111BB +CC 4=4+2=1222
⨯⨯⨯。

【考点】作图（轴对称变换）。

【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M=BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形。

（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。

例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“
”，则这串数字是 ▲ ． 【答案】309087。

【考点】镜面对称。

【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。

例8. （2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线 裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 。

【考点】剪纸问题
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B 中所
示。

故选B。

例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC 上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为．
【答案】解：（1）3。

（2）作出的折合矩形EFGH：
（3）2a ；。

【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。

【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半，
（2）按题意，作出图形即可。

（3）由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。

根据勾股定理可得正方形EFGH。

例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)
C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)
【答案】C。

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：
A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；
B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；
C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；
D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。

故选C。

练习题：
1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
3. （2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有▲ 种．
4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【】
．．
作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线
二、线段、角的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012湖北恩施3分）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于【】
A．50°B．60°C．65°D．90°
【答案】C。

【考点】平行线的性质，角平分线的定义。

【分析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵∠1=50°，∴∠BEF=130°（等量代换）。

∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=1
2
∠BEF=65°（角平分线的定义）。

∴∠2=∠BEG=65°（两直线平行，内错角相等定理）。

故选C。

例2. （2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是▲ .
【答案】9。

【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。

【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。

又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。

∴∠DBO=∠BOD。

∴DO=DB。

同理，EO=EC。

又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。

例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=▲ ．
【答案】2。

【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度
角的直角三角形的性质。

【分析】作EG⊥OA于F，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。

∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。

例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】解：作图如下：M即为所求。

【考点】作图（应用与设计作图）。

【分析】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置（以点C为圆心，1
2
AB长为
半径画弧交AB的垂直平分线于点M）。

例4.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
【答案】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置。

【考点】作图（应用与设计作图）。

【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。

（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG。

则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。

练习题：
1. （2012湖南怀化3分）如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C=110°，则∠EAB 为【】
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．45°
2. （2012贵州黔南4分）如图，已知直线AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，交CD 于D ，∠CDE=1500，则∠C 的度数是【 】
A ．1500
B ．1300
C ．1200
D ．1000
3. （2012云南省3分）如图，在∆ABC 中，∠︒B=67，∠︒C=33，AD 是∆ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为【 】
4. （2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ ．
5.（2012湖南娄底4分）如图，FE ∥ON ，OE 平分∠MON ，∠FEO=28°，则∠MFE= ▲ 度．
三、等腰（边）三角形的轴对称性： 典型例题：
例1. （2012黑龙江牡丹江6分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线
【答案】解：能拼成3种平行四边形，如图：
图1中，对角线的长为5；
图2中，对角线的长为3；
图3中，对角线的长为4和
【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】根据平行四边形的性质拼图。

图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一
条对角线的长为3；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的
例2.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【】
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C。

【考点】等腰三角形的判定。

【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。

∴以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有4个。

故选C 。

例3. （2012湖北荆门3分）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为【 】
A ． 2
B ． 2
C ．
D ． 3
【答案】C 。

【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。

【分析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ ⊥BP ，∴。

∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴。

在Rt △BEF 中，∵∠EBP=30°，∴PE=
1
2。

故选C 。

例4. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ▲ ．
【答案】4。

【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。

【分析】设等边三角形的中线长为a ，则其重心到对边的距离为：1a 3
，
∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，
∴
1
2a=2
3
⋅，解得a=3。

∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=
22
2a=23=4
33
⋅⋅⋅。

例5. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= ▲
【答案】4或1或9。

【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，根据题意，
∵AB=10，BC=3，E为AB边的中点，
∴AE=5，AD=3。

若AE=AP=5，则在Rt△ADP1中，
由勾股定理，得DP1=4。

若AE=PE=5，A作EF⊥CD于点F，则EF=3，DF=5
在Rt△EFP2中，P2F=4，∴DP2=DF－P2F=1：在Rt△EFP3中，P3F=4，∴DP3=DF＋P3F=9。

另AP=EP=5不成立。

综上所述，DP=4或1或9。

例6. （2012湖北随州8分）如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
求证：（1）ΔABD≌ΔACD；(2)BE=CE
【答案】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD。

在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，
∴△ABC≌△ACD（SSS）。

（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。

在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE （SAS）。

∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）。

【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。

（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。

练习题：
1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【】
A．2 B．3 C D
2. （2012湖北孝感3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º，BD平分∠ABC交AC于点D．若AC＝2，则AD的长是【】
3. （2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=
▲ 0。

4. （2012四川泸州5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。

求证：AE∥BC
5. （2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【】
A．4个B．6个C．8个D．10个
【答案】C。

【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。

【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。

∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA 八个。

故选C。

例2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为
【 】
A.22a
B. 32a
C. 42a
D.52a 【答案】A 。

【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。

【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：
22211
4222
a a a +⨯⨯=。

故选A 。

例3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是【 】
A ．
B ．
C ．
48cm 5 D ．24cm 5
【答案】D 。

【考点】菱形的性质，勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=
12AC=3，BO=1
2
BD=，AO ⊥BO ，
∴5=。

∴ABCD 11
S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形。

又∵ABCD S BC AE =⋅菱形，∴BC·AE=24，即()24
AE cm 5
=。

故选D 。

例4. （2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120º，则AB 的长为【 】
A ．3cm
B ．2cm
C ．23cm
D ．4cm
【答案】D 。

【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。

【分析】在矩形ABCD 中，AO=BO=
1
2
AC=4cm ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。

∴△AOB 是等边三角形。

∴AB=AO=4cm 。

故选D 。

例5. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】
A B ．2 C ．3 D 【答案】A 。

【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，设BF 、CE 相交于点M ，
∵菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，
∴△BCM ∽△BGF ，∴
CM BC GF BG =，即CM 2
32+3
=。

解得CM=1.2。

∴DM=2﹣1.2=0.8。

∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。

∴菱形ABCD 边CD 上的高为2sin60°=
菱形ECGF 边CE 上的高为3sin60°=
∴阴影部分面积=S △BDM +S △DFM =12×+1
2
×0.8×2=。

故选A 。

例6. （2012广东深圳3分）如图，Rt △ABC 中，C= 90o ，以斜边AB 为边向外作正方形 ABDE ，且正方形对角线交于点D ，连接OC ，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC 的长为 ▲ ．
例7. （2012上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当DF AD
FC DF
时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。

∴△BAE≌△DAF（ASA）。

∴BE=DF。

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。

∴△ADG∽△EBG。

∴AD DG BE BG
=。

又∵BE=DF ，DF AD
FC DF
=，∴
DF AD DG
FC BE BG
==。

∴GF∥BC。

∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。

∴DF=GF。

又∵BE=DF ，∴BE=GF。

∴四边形BEFG是平行四边形。

【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定。

【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论。

（2）由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而AD DG
BE BG
=；由
DF AD
FC DF
=和BE=DF即可得证得
DF AD DG
FC BE BG
==。

从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ，证得BE=GF。

利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。

例8. （2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°。

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，∴AM=1
2
AD，CN=
1
2
BC。

∴AM=CN。

在△MAB和△NDC中，
∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN
∴△MAB≌△NDC（SAS）。

（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：
连接AN，易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM。

∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN。

∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ。

∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB（SAS）。

∴MQ=PN。

∴四边形MPNQ是平行四边形。

∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=1
2
AN，∴MQ=
1
2
BM。

又∵MP=1
2
BM，∴MP=MQ。

∴四边形MQNP是菱形。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。

【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC。

（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP是菱形。

例9.（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。

又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。

在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF，OE=OF ，
∴△AOE≌△DOF（SAS）。

∴∠OAE=∠ODF。

∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。

∴AM⊥DF。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。

【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。

例10.（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD 上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．
练习题：
1. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若
∠ADC=1300，则∠AOE 的大小为【 】
A ．75°
B ．65°
C ．55°
D ．50°
2. （2012江苏苏州3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC.若AC=4， 则四边形CODE 的周长是【 】
B O
D
E
C A
A.4
B.6
C.8
D. 10
3. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC=14
BC 。

图中相似三角形共有【 】
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 4. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边△AEF ，交BC 边于
E ，交DC 边于
F ；又以A 为圆心，AE 的长为半径作EF 。

若△AEF 的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】
1.414 1.732≈，π取3.14）
A. 0.64
B. 1.64
C. 1.68
D. 0.36
5. （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.
6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为S n．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=▲ ．
7. （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
8. （2012四川凉山7分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE 交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
9.（2012四川内江9分）如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。

10. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2
（1）求EC：CF值；
（2）延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。

五、等腰梯形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】
A．26B．25C．21D．20
【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。

∴BE=AD=5。

∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。

故选C。

例2. （2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是【】
A．120o B．110o C．100o D．80o
【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。

【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。

故选C。

例3. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【】
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。

【分析】A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。

B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）。

∴∠ACB=∠DBC。

∴OB=OC。

故本选项正确。

C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误。

D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。

故本选项正确。

故选C。

例4. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【】
A．4B．5C．6D．不能确定
【答案】B。

【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。

【分析】如图，连接BD，
由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。

又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。

故选B。

例5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【】
A．25B．50C．D
【答案】A。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F。

∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED 是平行四边形。

∴AD=CE=3，AC=DE 。

在等腰梯形ABCD 中，AC=DB ，∴DB=DE 。

∵AC ⊥BD ，AC ∥DE ，∴DB ⊥DE 。

∴△BDE 是等腰直角三角形。

∴DF=
12BE=5。

S 梯形ABCD =12（AD+BC ）•DF=12
（3+7）×5=25。

故选A 。

例6. （2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点
（1）求证：四边形EFGH 为正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH 的面积。

【答案】（1）证明：在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF=
12AC 。

同理FG=12BD ，GH=12AC ，HE=12
BD 。

∵在梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD 。

∴EF=FG=GH=HE ，∴四边形EFGH 是菱形。

设AC 与EH 交于点M ，
在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH ∥BD ，同理GH ∥AC 。

又∵AC ⊥BD ，∴∠BOC=90°。

∴∠EHG=∠EMC=90°。

∴四边形EFGH 是正方形。

（2）解：连接EG 。

在梯形ABCD 中，∵E 、F 分别是AB 、DC 的中点， ∴1EG AD BC 32=+=（）。

在Rt △EHG 中，∵EH 2+GH 2=EG 2，EH=GH ， ∴29EH 2
=，即四边形EFGH 的面积为92。

【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。

【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。

（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出29
EH
2
，也即得出了正方形EHGF的面积。

例7. （2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD 上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。

∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。

∴∠GFC=∠B（等量代换）。

∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。

又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。

【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。

练习题：
1. （2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】
A． 17 B． 18 C． 19 D． 20
2. （2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD相交于点O，若OB ＝3，则OC＝▲ ．
3. （2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F．若AD=2，BC=4，DF=2，则DC的长为▲ ．
4. （2012江苏苏州6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC.
⑴求证：△ABE≌△CDA；
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
E
D
C B
A
5. （2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE．求证：AE=DE．
6. （2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠
E
六、圆的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【】
4
A．3 B．4 C．D．2
例2. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【】
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】A。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。

【分析】连接OB，
∵∠A和∠BOC是弧BC所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，。