电磁场与电磁波电磁学基本理论

电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
一、场量的定义和计算
(一) 电场
1. 什么是电场？ 这种存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的
物质称为电场。可见电荷是产生电场的源。
2. 电场强度的定义
单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场
强度。
v
电场强度严格的数学表达式为：
v E
lim
F
q qt 0 t
rv v rv R
P(3, 2, 2) y
P(3, 2, 2) 点的坐标矢量为：
rv 3aˆx 2aˆy 2aˆz
P(5,3, 4) 点的坐标矢量为：
rv 5aˆx 3aˆy 4aˆz
x
点电荷电场强度的计算公式
其中：Rv rv rv 2aˆx 1aˆy 2aˆz
v R | R | 22 12 22 3
4π 0 R 2
aˆR
l dl 4π 0 R 2
aˆR
该线电荷在空间产生的电场强度：
v
E
1
4π 0
l Rld2laˆR
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
b.面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布。
面电荷密度定义：单位面积上的电荷量。
P
v
dS
R
S
lim q S0 S
dq dS
dS 上所带的电荷量：dq SdS
在此要求实验电荷足够小，以使该电荷产生的电场不致
使原电场发生畸变。
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
3. 库仑定律
v F21
q1q2
4π 0 R212
aˆR21
其中： 0为真空中介电常数。
0
1 36π
109
8.85 1012
4. 电场强度的计算
v E
qqt
4π0qt R2
aˆR
q
4π 0 R 2
z
dE
dE
解：根据题意，选取圆柱坐标系
P Baidu Nhomakorabeaaz R
dS
s a
r b
x
dS ar
面元： dS rdrd
面元上的电荷量为：dq Srdrd
y
从此电荷源到 z 轴上 P 点的距离
矢量为：
v R raˆr haˆz
距离大小为： R (r2 h2 )1/2
根据面分布电荷在空间一点所产生的电场强度公式：
aˆR
q1
F/m
其中：aˆR 是源电荷指向场点的方向。
(1) 点电荷周围电场强度的计算公式：
v E
q
4π 0 R 2
aˆR
v R21
q2
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
例1：在直角坐标系中，设一点电荷q 位于点 P(3, 2, 2)，
计算空间点 P(5,3, 4)的电场强度。
解：如图
z
o
P(5,3, 4)
dS
s a
r dS
y
v
E
S
4π 0
0
2π 0
[r2
rh h2
]3/ 2
d dr aˆ z
b
x
ar
Sh 4π 0
2π
[r2
1 h2 ]1/ 2
0
aˆz
S 2 0
aˆz
可见：无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的,与距 离 h无关，方向为该平面的法线方向。
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
（二）电位
1. 电位差
电荷 qt 在电场中受力为：
v Fe
v qt E
v Fe
v Fa
电荷 qt 在电场中要保持静止，
需受外力作用为： v
v
Fa qt E
电荷在静电场中由P点移动到A点，外力所做的功为：
电位差定义：
Av v
W qt
E dl
P
单位正电荷由P点移动到A点，外力所做的功称为A点
和P点之间的电位差。
AP
W qt
Av v E dl
P
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
例3：计算原点处一点电荷q 产生的电场中AP之间的电位差。
解：选取求坐标系，点电荷q 产生的电场
zA
o
x
v E
q
4π 0
1 R2
aˆR
P
Av v
y
AP P E dl
v
dl dRaˆR Rd aˆ Rsindaˆ
所以：
aˆR
|
v Rv R|
2aˆx
1aˆ y 3
2aˆz
v E
q
4π 0 R 2
aˆR
所以:
v E
q
2aˆx 1aˆy 2aˆz
4π0
27
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
结论：
在直角坐标系中，若源电荷 q所在点的坐标为(x, y, z)， 场点P 的坐标为 (x, y, z) ，则P 点的电场强度为：
v E
q
4π 0
|
v vR R |3
q
4π 0
(
x
x)aˆx
(y
y)aˆ y
(z
z)aˆz
3
(x x)2 ( y y)2 (z z)2
多个电荷产生的电场 如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所有
点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。
v
E
n i 1
qi 40
x xi aˆx y yi aˆy z zi aˆz
dq
产生的电场强度为：
v dE
dq
4π 0 R 2
aˆR
S dS 4π 0 R 2
aˆR
该面电荷在空间产生的电场强度：
v 1
E
4π 0
S
S dS
R2
aˆR
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
c.体电荷分布: 电荷在某空间体积内连续分布 。
体电荷密度定义：单位体积内的电荷量。
P v
V
lim q V 0 V
dq dV
R
dV
dV 上所带的电荷量： dq V dV
v
dq 产生的电场强度为： dE
dq
4π 0 R 2
aˆR
V dV 4π 0 R 2
aˆR
该体电荷在空间产生的电场强度:
v
E
1
4π 0
V
V dV
R2
aˆR
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
例2：设有一无限大的均匀带电平面，面电荷密度为 S 。 求：距平面h高处的电场强度 Ev。
v 1
E
4π 0
S
S dS
R2
aˆR
S 4π 0
0
2π 0
rdrd
[r2 h2 ]3/
2
[r
aˆr
haˆz
]
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
由于电荷分布的对称性，对每一个
z
dE
dE
面元 dS ，将有一个对称面元 dS 与之 对应，这两个面元上的电荷在P点产生
P zaz R
的电场强度的径向分量相互抵消，因 此P点的电场强度的径向分量为零。
AP
P A
q
4π 0
1 R2
aˆR
dRaˆR
RP RA
q
4π 0
1 R2
dR
结论： 空间两点的电位差只
q
4π 0
1 RA
1 RP
与两点所在位置有关， 而与积分路径无关。
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
x
xi2
y
yi2
z
zi2
3/ 2
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
(2) 连续分布的电荷源产生的电场
a.线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布 。
线电荷密度定义：单位长度上的电荷量。
P v
l
lim
l 0
q l
dq dl
dl R
dl 上所带的电荷量：dq ldl
dq 产生的电场强度为：
v dE
dq