三相异步电动机的传递函数
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8.5 三相异步电动机的瞬态分析与控制
瞬态数学模型有很多种形式，但是在控制方面 使用的数学模型一般有两种，就是系统传递函数与系 统状态方程。它们代表了两大类控制的方法和思想。 下面我们就来推导一下三相异步电动机的传递函数与
状态方程。
8.5.1三相异步电动机的传递函数
为了能够求出三相异步电动机的传递函数，必
0
r1
0
0
i1q
0
L1 p
0
Lm
p
i1q
u u
2d 2q
0
0
0 0
r2 0
0 r2
ii22qd
Lm 0
p
0 Lm p
L2 p 0
0 L2 p
ii22qd
0 dq1 0
T
3p 2f1r2'
(U1
U1)2
(s
s)
3p 2f1r2'
(U12
s
2U1U1s
U12
s
U12s
2U1U1s
U12s)
一般来说，凡是微变摄动量都比较小，因 此，微变摄动量的平方或乘积就会更小。将上式 中的微变摄动量的平方或乘积忽略，并相减，有：
T
3p
0 1d
dq1
0
0
0
1q
0
0
0 0
0
dq2
dq2
0
2d 2q
转矩方程相应变为：
T pLm (i1qi2d i1di2q )
在这两个方程的基础上，通过2/2静止/旋转变换还 可以导出异步电动机在两相旋转坐标系中的方程。适 当选择方程中的状态变量就可以得出三相异步电动机 的状态空间方程。 基于这种状态空间方程，异步电动机的控制业已取得 了长足的进展，转子磁链定向的矢量控制、定子磁链 定向的矢量控制、直接转矩控制等等都能在一定程度 上实现解耦，提高异步电动机的控制质量。这也是目 前在控制界非常活跃的学术问题之一。
2f1r2'
(U
2 1
s
2U 1 U 1 s
U
2 1
s)
又由 s ，n 代入，得：
n1
T
3p
2f1r2'
(2U 1 U 1 s
U
2 1
n ) n1
由动力学基本知识有：
T
TL
GD 2 375
d (n) dt
忽略负载转矩变化量△TL，并对等式两边取 拉氏变换，有：
TL (s)
GD 2 375
sn(s)
可以得到三相异步电动机线性化后的传递函数：
G(s) Km Ts s 1
式中
Km
(n1 n)
15U1
，为电动机传递函数的前向增益；
Ts
GD 2 n12 r2` 3577 p 2U12
，为电动机传递函数的 惯性时间系数。
需要指出的是这样得出的三相异步电动机 的传递函数只能应用于线性工作区，而且精度 也不够好。
r2' s
,
x1
2f1 L1
r2' s
,
这时电机的转矩可以写为：
x2'
2f1 L`2
r2' s
T
3
pU
2 1
r2' s
3
pU
2 1
s
2f1
(
r2' s
)
2
2f1r2'
若在此时，电机有一个微小的变化和摄动量 △T，则电压、转差率也会有相应的变化：△U1， △s。这时有：
T
2b
2c
通常电感的数值是不变的，但是由于在异步电 动机中除了各相绕组的自感外还包含在转动时定转 子绕组的部分互感，因此在求磁通链的微分时必须 考虑到这个问题，有：
p dL i di i
dt dt
这样，电机的电压方程就变为：
U RI p Ri dL i di i
dt dt
考虑到电动机的磁共能及其与电动机电磁转矩的 关系，有：
W 1 iT Li 2
T W 1 piT L i
2
异步电动机在两相（dq）坐标系中的电压方程：
u1d r1 0 0 0 i1d L1 p 0 Lm p 0 i1d
u1q
须作一些相应的简化和近似。首先要将电磁惯性忽
略掉，然后还需要在其静态工作点附近做一系列的
简化、近似，最后使用线性化的方法得出三相异步
电动机的传递函数。
T
3 pU12
r2' s
2f1 (r1
r2' s
)2
( x1
x
' 2
)
2
当电动机正常运转时，转差率s很小，可以近似认为：
r1
8.5.2 三相异步电动机在状态空间的数学模型 定转子回路电压方程的重新列写。根据电路知
识，在一个如图8.36所示的有电感和电阻串联的回 路中，电压的表示式应为：
U IR d
dt
这样三相异步电动机定转子的电压方程为：
U1A
i1 A r1
d 1A
dt
,
U1B
i1B r1
d 1B
1A
Hale Waihona Puke Baidu
1B
UU12Ca
0
0
0 r1 0 0 0 r2
0 0
0 0
ii12Ca
p
1C 2a
U
2b
0
0
0
0
r2
0
i
2b
U 2c 0 0 0 0 0 r2 i2c
本章内容结束 请大家注意复习！
dt
,
U 1C
i1C r1
d 1C
dt
,
U 2a
i2a r2
d 2a
dt
U 2b
i2b r2
d 2b
dt
U 2c
i2c r2
d 2c
dt
可以将其写作矩阵形式：
U1A r1 0 0 0 0 0 i1A
U
1B
0
r1
0
0
0
0
i1B
瞬态数学模型有很多种形式，但是在控制方面 使用的数学模型一般有两种，就是系统传递函数与系 统状态方程。它们代表了两大类控制的方法和思想。 下面我们就来推导一下三相异步电动机的传递函数与
状态方程。
8.5.1三相异步电动机的传递函数
为了能够求出三相异步电动机的传递函数，必
0
r1
0
0
i1q
0
L1 p
0
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U12
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2U1U1s
U12s)
一般来说，凡是微变摄动量都比较小，因 此，微变摄动量的平方或乘积就会更小。将上式 中的微变摄动量的平方或乘积忽略，并相减，有：
T
3p
0 1d
dq1
0
0
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1q
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0 0
0
dq2
dq2
0
2d 2q
转矩方程相应变为：
T pLm (i1qi2d i1di2q )
在这两个方程的基础上，通过2/2静止/旋转变换还 可以导出异步电动机在两相旋转坐标系中的方程。适 当选择方程中的状态变量就可以得出三相异步电动机 的状态空间方程。 基于这种状态空间方程，异步电动机的控制业已取得 了长足的进展，转子磁链定向的矢量控制、定子磁链 定向的矢量控制、直接转矩控制等等都能在一定程度 上实现解耦，提高异步电动机的控制质量。这也是目 前在控制界非常活跃的学术问题之一。
2f1r2'
(U
2 1
s
2U 1 U 1 s
U
2 1
s)
又由 s ，n 代入，得：
n1
T
3p
2f1r2'
(2U 1 U 1 s
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2 1
n ) n1
由动力学基本知识有：
T
TL
GD 2 375
d (n) dt
忽略负载转矩变化量△TL，并对等式两边取 拉氏变换，有：
TL (s)
GD 2 375
sn(s)
可以得到三相异步电动机线性化后的传递函数：
G(s) Km Ts s 1
式中
Km
(n1 n)
15U1
，为电动机传递函数的前向增益；
Ts
GD 2 n12 r2` 3577 p 2U12
，为电动机传递函数的 惯性时间系数。
需要指出的是这样得出的三相异步电动机 的传递函数只能应用于线性工作区，而且精度 也不够好。
r2' s
,
x1
2f1 L1
r2' s
,
这时电机的转矩可以写为：
x2'
2f1 L`2
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T
3
pU
2 1
r2' s
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)
2
2f1r2'
若在此时，电机有一个微小的变化和摄动量 △T，则电压、转差率也会有相应的变化：△U1， △s。这时有：
T
2b
2c
通常电感的数值是不变的，但是由于在异步电 动机中除了各相绕组的自感外还包含在转动时定转 子绕组的部分互感，因此在求磁通链的微分时必须 考虑到这个问题，有：
p dL i di i
dt dt
这样，电机的电压方程就变为：
U RI p Ri dL i di i
dt dt
考虑到电动机的磁共能及其与电动机电磁转矩的 关系，有：
W 1 iT Li 2
T W 1 piT L i
2
异步电动机在两相（dq）坐标系中的电压方程：
u1d r1 0 0 0 i1d L1 p 0 Lm p 0 i1d
u1q
须作一些相应的简化和近似。首先要将电磁惯性忽
略掉，然后还需要在其静态工作点附近做一系列的
简化、近似，最后使用线性化的方法得出三相异步
电动机的传递函数。
T
3 pU12
r2' s
2f1 (r1
r2' s
)2
( x1
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)
2
当电动机正常运转时，转差率s很小，可以近似认为：
r1
8.5.2 三相异步电动机在状态空间的数学模型 定转子回路电压方程的重新列写。根据电路知
识，在一个如图8.36所示的有电感和电阻串联的回 路中，电压的表示式应为：
U IR d
dt
这样三相异步电动机定转子的电压方程为：
U1A
i1 A r1
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本章内容结束 请大家注意复习！
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可以将其写作矩阵形式：
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