排列组合与概率原理
演变过程从排列组合到概率的推导
演变过程从排列组合到概率的推导在数学中，排列组合和概率是两个重要的概念。
它们在不同的数学问题中起着不可或缺的作用。
本文将通过演变的过程，从排列组合推导到概率的原理。
一、排列组合的基本概念排列组合是数学中描述对象之间排列和组合方式的一种方法。
在排列组合中，排列表示从给定的对象中选取出一部分，并按照一定的顺序进行排列；组合表示从给定的对象中选取出一部分，不考虑顺序。
排列组合的计算公式如下：1. 排列数的计算公式：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合数的计算公式：C(n, m) = n! / (m!(n - m)!)其中，n表示总的对象数，m表示选取的对象数，!表示阶乘运算。
二、排列组合与概率的关系排列组合与概率的关系可以通过一个简单的例子来理解。
假设有一只装有5只不同颜色的球的袋子，分别为红、黄、蓝、绿、白五种颜色。
现从中随机抽取2只球，问有多少种可能的抽取结果？首先，我们可以使用排列的方法来计算可能的结果数。
因为抽取的球是有顺序的，所以使用排列的计算公式。
根据排列的定义和计算公式，我们可以得到：P(5, 2) = 5! / (5 - 2)! = 5! / 3! = 5 * 4 = 20那么有20种可能的抽取结果。
这里可以列举出所有的情况：(红, 黄) (红, 蓝) (红, 绿) (红, 白)(黄, 红) (黄, 蓝) (黄, 绿) (黄, 白)(蓝, 红) (蓝, 黄) (蓝, 绿) (蓝, 白)(绿, 红) (绿, 黄) (绿, 蓝) (绿, 白)(白, 红) (白, 黄) (白, 蓝) (白, 绿)接下来，我们将问题转化为概率的计算。
概率是描述事件发生可能性大小的一种数值。
在上述例子中，我们可以定义一个事件A，表示抽取的两只球为一对颜色相同的球，它的可能性有几种呢？因为抽取的球是无序的，所以使用组合的计算公式。
根据组合的定义和计算公式，我们可以得到：C(5, 1) = 5! / (1!(5 - 1)!) = 5! / (1! * 4!) = 5所以，事件A发生的可能性有5种情况。
2024高考数学排列组合与概率计算
2024高考数学排列组合与概率计算二〇二四年高考数学排列组合与概率计算数学是高中学科中的一门重要学科，也是高考科目中的核心科目之一。
在高考数学中，排列组合与概率计算是一个重要的章节。
下面将详细介绍2024年高考数学排列组合与概率计算的相关内容。
一、排列组合排列组合是数学中的一种基本概念，主要用于计算对象的不同排列与组合方式。
在排列组合中，排列指的是从若干不同的元素中选择出若干元素按一定顺序排列的方式，而组合则指的是从若干不同的元素中选择出若干元素不考虑顺序的方式。
在高考数学中，排列组合通常涉及计算不同的方式。
其中，乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。
在计算过程中，可以根据问题的特点选择适当的方法。
二、概率计算概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。
在高考数学中，概率计算是一个重点考查内容。
概率计算常常涉及到样本空间、事件和概率等概念。
在概率计算中，常用的方法包括古典概型、几何概型和统计概型等。
通过合理选择适当的概率计算方法，可以解决各种高考数学中的概率计算问题。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合与概率计算不仅仅是高考数学中的理论知识，更是有着广泛的应用。
在现实生活中，排列组合与概率计算常常涉及到选班委、抽奖、生日问题等。
例如，在选班委的过程中，有10个候选人，其中需要选出4个担任班委的职务。
此时，就需要利用排列组合的知识来计算不同的选班委方式数量。
再例如，在抽奖的过程中，有50个人参与抽奖，其中有5个一等奖，10个二等奖，35个三等奖。
此时，就可以利用概率计算的知识来计算获得不同奖项的概率。
四、总结综上所述，2024年高考数学排列组合与概率计算是一个重要的考点。
通过深入理解排列组合与概率计算的基本原理和方法，掌握其在解决实际问题中的应用，将有助于提高数学解题能力。
希望广大考生在备考过程中能够加强对排列组合与概率计算的学习和理解，为取得好成绩打下坚实基础。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。
本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。
对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
1.2 组合组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、概率计算的基本原理概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率计算基于排列组合的概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。
2.1 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。
2.2 事件事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。
例如，掷一枚硬币出现正面是一个事件。
2.3 概率概率是事件发生的可能性。
对于一个随机试验和事件，概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个具体的例子说明它们的具体应用。
3.1 组合在概率计算中的应用在扑克牌游戏中，计算一个牌型的概率就可以使用组合的概念。
掌握简单的排列组合和概率计算
掌握简单的排列组合和概率计算排列组合和概率计算是数学中非常重要的概念和方法，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍简单的排列组合和概率计算的概念、原理和应用，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。
1. 排列的概念和计算方法排列是指从给定的一组对象中，选取若干个对象按照一定的顺序排列组合的方式。
在排列中，每个对象只能使用一次。
例如，有3个不同的字母A、B、C，从中选取2个字母排列，可以得到以下6种排列：AB、AC、BA、BC、CA、CB。
计算排列的方式为：使用阶乘的方法，即对于给定的n个对象中，选取r个对象排列，计算公式为P(n, r) = n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
2. 组合的概念和计算方法组合是指从给定的一组对象中，选取若干个对象按照任意顺序排列组合的方式。
在组合中，每个对象只能使用一次。
例如，有3个不同的字母A、B、C，从中选取2个字母组合，可以得到以下3种组合：AB、AC、BC。
计算组合的方式为：使用阶乘的方法，即对于给定的n个对象中，选取r个对象组合，计算公式为C(n, r) = n!/(r!(n-r)!)。
3. 概率的概念和计算方法概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的计算方法可以通过排列组合的方式得到。
对于一个随机事件A，其概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的总数/总的可能发生的事件数。
例如，从一副扑克牌中取出5张牌，计算其中4张是红心牌的概率。
首先计算红心牌的总数，扑克牌中共有52张牌，其中红心总数为13张，因此红心牌的总数为C(13, 4)。
然后计算总的可能取牌的事件数，即从52张牌中取出5张牌，其计算公式为C(52, 5)。
最后，将红心牌的总数除以总的可能取牌的事件数即可得到概率。
4. 应用案例排列组合和概率计算在现实生活中有许多应用。
以下是几个常见的案例：a. 彩票中奖概率计算：彩票中奖概率的计算就是应用了排列组合和概率计算的原理。
通过计算选中的号码在所有可能的号码组合中所占的比例，得到中奖的概率大小。
高数2-排列组合概率论
例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组 团参加合唱比赛，要求选出的学生中至多 有1个女生，有多少种不同的组团方式？ 解：分两种情况考虑：一是没有1个女生； 二是恰有1个女生．
5 43 5 4 3 40 C C C C 3 2 1 2 1 1
3 5 0 3 2 5 1 3
概率论初步
• • • • 随机事件 事件的概率 条件概率、乘法公式、独立性 一维随机变量及其数字特征
• 确定性现象 • 随机现象
随机试验
在一定条件下必然发生某种结果的现象； 在一定条件下不能确定发生某种结果的现象．
• 随机试验
对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验： ① 相同条件下可以重复进行； ② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前，无法预 知会发生哪一个可能的结果．
历年试题——概率论初步之1110
随机事件A与B为互不相容事件，则 P(AB) = ( D ) A．P(A) + P(B) B．P(A)P(B) C．1 D．0 解：因为随机事件A与B为互不相容事件； 所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0
5 P5 5! 5 4 3 2 1 120
例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的3位偶数？ 解：按先排个位，再排百位和十位的顺序 排列，根据乘法原理进行计算
P P 2 4 3 24
1 2 2 4
组合
从 n 个不同元素里，任取 m (1 m n )个元 素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素取 出 m (1 m n )个元素的所有组合的个数， 叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数， m 记作 C n ．
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。
本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。
排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。
根据排列公式可得：P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120所以，共有120种不同的放法。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组合公式来计算不同的组合可能性：C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不同的组合？这就是一个组合问题。
根据组合公式可得：C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。
在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2张红心和3张黑桃的概率是多少？首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。
根据排列公式，总共有：P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑桃的不同排列数量。
利用排列组合求解概率问题
利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。
一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。
排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。
我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。
二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。
1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。
例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。
2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。
3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。
排列组合二项式定理和概率
补 右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字
构成规律，图中第八行所有 中应填数字的和
等于（ B ）. （09年）
1
A. 96 B.128 C. 256 D.312
11 121 13 31
解 n7
146 41 1 5 10 10 5 1
27 128
1 6 15 20 15 6 1
补 求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数。
★ 3. 排列数公式
n! n (n 1) (n 2) 21
Pnm n (n 1) (n 2) (n m 1)
▽
Pnm
n! (n m)!
特别： Pnn n!
例 P130 1098 720.
补 由 0,1, 2, 9 可组成多少个8位数的电话号码？108.
例 5个男生和2个女生站成一排照相。
（1）共有多少种排法？ （2）男生甲必须站在左端或右端，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
（3）男生甲必须站在中间，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
解 （1） P77 7! 5040
（2）
（P63 例2）
先安排甲 P21 P55 2 480
（3）
在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
2. 分步计数原理（乘法原理）
若完成一件事需要分成 n 个步骤。
做第一步有 m1 种不同的方法； 做第二步有 m2 种不同的方法；
做第 n 步有mn 种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (2 3)4 (2 3)4
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算数学是一门既抽象又具有实际应用的学科，其中排列组合与概率计算是其重要组成部分。
排列组合是研究对象的选择、排列和组合方式，而概率计算则关注于事件的可能性。
本文将从理论与实际应用两方面介绍数学中的排列组合与概率计算。
一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中与选择和排序有关的概念。
排列表示从一组对象中选择若干个对象，并按照一定的顺序进行排列；组合则表示从一组对象中选择若干个对象，但不考虑其顺序。
1. 排列在排列中，我们关心的是选取对象的顺序。
例如，从A、B、C三个字母中选取两个字母进行排列，可能的排列结果有AB、AC、BA、BC、CA、CB共计6种情况（记作P(3,2)=6）。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n代表对象总数，m代表选取的对象数，n!表示n的阶乘。
2. 组合在组合中，我们关心的是选取对象而不考虑其顺序。
例如，从A、B、C三个字母中选取两个字母进行组合，可能的组合结果有AB、AC、BC共计3种情况（记作C(3,2)=3）。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / ((n-m)! * m!)其中，n代表对象总数，m代表选取的对象数。
二、概率计算的基本原理概率是研究事件发生的可能性的数学理论。
利用排列组合的方法，我们可以计算事件发生的概率。
1. 事件与样本空间事件是指我们关注的某种结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一个骰子，事件A可以是出现奇数点数，样本空间S可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 概率计算概率是事件发生的可能性。
概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中可能事件发生的总次数。
三、排列组合与概率的应用排列组合与概率计算在实际生活中有广泛的应用。
以下以两个具体例子介绍其应用。
1. 抽奖活动假设在一个抽奖活动中，有10位幸运观众，其中要从中抽取3位中奖者。
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用一、排列组合的基本公式1.排列的基本公式：排列是从一组物体中选取一部分物体按照一定的顺序进行排列的方式。
对于n个不同的物体，如果选取其中的r个进行排列，那么排列的总数为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×12.组合的基本公式：组合是从一组物体中选取一部分物体，不考虑排列顺序的方式。
对于n个不同的物体，如果选取其中的r个进行组合，那么组合的总数为C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)。
1.排列的概念：排列是指从一组物体中选取若干个物体按照一定的顺序进行排列的方式。
在实际问题中，排列常常用于涉及位置、次序和顺序的计数问题。
应用举例：a.选取n个人中的r个人进行座位的排列问题。
b.选取n个数字中的r个数字进行排列组合的问题。
2.组合的概念：组合是指从一组物体中选取若干个物体，不考虑排列顺序的方式。
在实际问题中，组合常常用于涉及选择、挑选和组合的问题。
应用举例：a.随机抽取n张纸牌中的r张纸牌的组合问题。
b.从n个人中选取r个人进行团队的组合问题。
三、排列组合的应用1.定理应用：排列组合的概率问题中，常常可以利用排列组合的基本公式结合概率计算的定理来解决问题。
比如，使用乘法原理、加法原理、条件概率等定理来计算问题中所需的概率。
应用举例：a.在一副牌中，抽取连续的三张牌均为红桃的概率问题。
b.在一群人中，选取两个人的组合中至少有一名男性的概率问题。
2.实际问题应用：排列组合的概念和基本公式在实际问题中有着广泛的应用。
它们常常用于计数问题、组合问题、选择问题、排列问题等等。
应用举例：a.排队问题：计算n个人进行排队的方式有多少种。
b.选课问题：计算从n门课程中选择r门课程的组合有多少种。
总结起来，排列组合是高中数学中非常重要的概念和公式，可以用来解决许多实际问题。
高考数学排列组合与概率统计讲义
高考数学知识归纳分析第一讲 排列组合与概率分析 [排列组合] 一、基本知识点1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+．．．．．．．．…．+mn ．．．种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。
4．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n mnCC -=；（2）11--+=n n m nm n CC C；（3）kn k n C C k n =--11；（4）nnk kn n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。
排列组合与概率原理及解题技巧
排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n nm n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
高中数学中的排列组合公式与概率计算
高中数学中的排列组合公式与概率计算在高中数学中，排列组合公式和概率计算是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多实际的应用。
本文将介绍排列组合公式和概率计算的基本概念和原理，并且通过一些例子来说明它们的具体应用。
首先，我们来看排列组合公式。
排列组合是数学中研究对象的不同组合方式的一种方法。
在排列中，我们关注的是对象的顺序，而在组合中，我们只关注对象的选择。
在高中数学中，我们常常会遇到排列和组合的问题，比如从一组数字中选择若干个数字进行排列或组合。
为了解决这类问题，我们需要掌握一些常用的排列组合公式。
首先，我们来看排列的公式。
排列的公式可以用来计算从n个不同的对象中选择r个对象进行排列的方式数目。
排列的公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过排列的公式，我们可以计算出从一组数字中选择若干个数字进行排列的方式数目。
接下来，我们来看组合的公式。
组合的公式可以用来计算从n个不同的对象中选择r个对象进行组合的方式数目。
组合的公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)。
通过组合的公式，我们可以计算出从一组数字中选择若干个数字进行组合的方式数目。
排列组合公式在实际生活中有很多应用。
比如，在抽奖活动中，我们常常需要计算中奖的概率。
假设有10个人参加抽奖，其中只有1个人能中奖。
我们可以使用组合的公式来计算中奖的概率。
将中奖的可能性看作是从10个人中选择1个人进行组合，即C(10, 1) = 10! / (1! * (10-1)!) = 10。
所以，中奖的概率为1/10。
另一个应用是在密码学中的破解密码。
假设一个密码由4个数字组成，每个数字的取值范围是0-9。
我们可以使用排列的公式来计算破解密码的方式数目。
将破解密码的方式数目看作是从10个数字中选择4个数字进行排列，即P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率一、排列与组合基础知识在学习排列组合与概率之前，我们首先需要了解一些基础的排列与组合知识。
1. 排列排列是从一组元素中选取出若干元素按照一定的顺序排列的方式。
这些元素可以是数字、字母、物品等。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行排列，则表示为 P(n, m) 或 nPm，排列的公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从一组元素中选取出若干元素而不考虑顺序的方式。
与排列不同，组合只关心元素的选择而不涉及元素的顺序。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行组合，则表示为 C(n, m) 或 nCm，组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! * (n - m)!]二、排列组合的应用排列组合的应用广泛，不仅限于数学领域，在实际生活中也能见到许多与排列组合相关的问题。
下面列举几个常见的应用场景：1. 抽奖问题在抽奖活动中，我们常会遇到从一堆奖品中抽取若干个奖品的问题，这就涉及到组合的应用。
2. 选课问题学校的选课系统通常会要求学生从众多课程中选择若干门进行学习，这就是一个排列问题。
3. 组队问题在进行体育竞赛或其他集体活动时，我们需要将一群人分成几个小组，这就是一个组合问题。
三、排列组合的公式总结在实际应用中，我们常常需要用到排列组合的公式来解决问题。
下面是一些常见的排列组合公式：1. 排列公式：- 样本不放回排列：P(n, m) = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - m + 1)- 样本放回排列：P(n, m) = n^m2. 组合公式：- C(n, m) = C(n, n - m)- C(n, m) = P(n, m) / m!- C(n, m) * C(m, k) = C(n, k) * C(n - k, m - k)四、概率与排列组合的关系排列组合与概率有着密切的关系，概率问题常常需要借助排列组合的概念来求解。
排列组合的概率
排列组合的概率排列组合是概率论中的一个基础概念。
它描述了从给定的一组元素中选择若干个元素进行排列或组合的方式，并计算出其中某一种结果出现的概率。
在实际生活中，排列组合的概念广泛应用于各个领域，如统计学、计算机科学、工程学等。
本文将就排列组合的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行详细介绍。
一、排列和组合的概念排列和组合是数学上描述从给定的一组元素中选择若干个元素的方式。
排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。
具体来说：1. 排列排列是从一组不同元素中选择若干个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
假设有n个元素，要选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以用数学符号表示为P(n, r)。
排列的计算公式是：P(n, r) = n! / (n-r)!其中“！”表示阶乘，即将一个数的所有正整数乘积。
我们可以将排列理解为一个假设实验，逐步选取元素的过程。
例如，有5个元素A、B、C、D、E，要选择3个元素进行排列，按顺序选取的过程可以是：先选A，再选B，最后选C；或者先选A，再选C，最后选B，等等。
因此，在这种情况下，排列的总数是5 × 4 × 3 = 60。
2. 组合组合是从一组不同元素中选择若干个元素，并不考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要选择r个元素进行组合，组合的总数可以用数学符号表示为C(n, r)。
组合的计算公式是：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)与排列不同，组合的顺序不重要。
例如，还是以有5个元素A、B、C、D、E为例，要选择3个元素进行组合，不考虑顺序的话，组合的总数是5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10。
二、排列组合的原理排列组合的原理是基于基本计数原理和互异事件的概率等概率原理。
1. 基本计数原理基本计数原理是指若有一个实验可以分成n个步骤完成，每个步骤有m种选择，则该实验一共有n × m种可能的结果。
概率与排列组合
概率的取值范围
概率的取值范围 是[0,1]，表示事 件发生的可能性
大小。
概率取值越接近0， 表示事件发生的 可能性越小。
概率取值越接近1， 表示事件发生的 可能性越大。
必然事件的概率 为1，不可能事件
的概率为0。
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概率的分类
确定事件：在一 定条件下，一定 会发生或一定不 会发生的事件
随机事件：在一 定条件下，可能 发生也可能不发 生的事件
必然事件：在一 定条件下，一定 会发生的事件
不可能事件：在 一定条件下，一 定不会发生的事 件
排列组合的基本概念
排列的定义
排列是从n个不 同元素中取出 m个元素 （m≤n），按 照一定的顺序 排成一列。
0 1
排列的数学符 号表示为Aₙₙ 或Pₙₙ，其中n 表示元素个数， m表示取出元 素的个数。
0 2
排列的个数用 Pₙₙ表示，计 算公式为 Pₙₙ=n!/(nm)!，其中"!"表 示阶乘。
0 3
排列在组合数 学、概率论等 领域有广泛应 用。
0 4
排列的表示方法
符号表示：P(n, m)
意义：从n个不同元素中 取出m个元素的所有排列
的个数
计算公式：P(n, m) = n! / (n-m)!
示例：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60
期收益。
概率与排列组合在统计学中 的应用：例如，在市场调研、 医学研究、社会学调查和质 量控制中，概率与排列组合
被用来分析和解释数据。
排列组合在计算机科学中的应 用：例如，在数据排序、加密 和解密、算法设计和计算机图 形学中，排列组合被用来处理
如何利用排列组合解决概率问题
如何利用排列组合解决概率问题在解决概率问题时，排列组合是一种常用的方法。
通过排列组合的计算，可以求解事件发生的可能性以及各种可能的情况数量。
本文将介绍如何利用排列组合解决概率问题，并提供相关示例。
一、概率的定义和基本原理概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。
概率的计算受到排列和组合的影响。
二、排列问题的解决方法排列是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个有序的排列。
排列问题通常涉及到“有放回”和“无放回”两种情况。
1. 有放回排列在有放回排列中，每次取出的元素放回原来的位置后再进行下一次的取出。
有放回排列的计算公式为：P(n, m) = n^m其中，P(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数。
示例1：如果有4个不同的球（红、黄、蓝、绿），现在从中取出3个球进行排列，请问一共有多少种不同的排列方式？解：根据有放回排列的计算公式，可以得到：P(4, 3) = 4^3 = 64因此，一共有64种不同的排列方式。
2. 无放回排列在无放回排列中，每次取出的元素不放回原来的位置，所以每次取出的元素数量会递减。
无放回排列的计算公式为：P'(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = n!/(n-m)!其中，P'(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数，n!表示n的阶乘。
示例2：某班有10个学生，现要从中选出3名学生组成一个小组，请问一共有多少种不同的组合方式？解：根据无放回排列的计算公式，可以得到：P'(10, 3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10*9*8 = 720因此，一共有720种不同的组合方式。
三、组合问题的解决方法组合是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个无序的组合。
组合问题只涉及到“无放回”的情况。
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排列组合与概率原理内容分析：排列组合与概率的两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处教学过程：一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？揭示本节课内容：等我们学了这一部分内容后，这些问题会很容易解决而这部分内容是代数中一个独立的问题，与旧知识联系很少，但它是以后学习二项式定理、概率学、统计学等知识的基础内容从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关要涉及安排调配的问题，就离不开它今天我们就来学习本章的两个基本原理(这是排列、组合的第一节课，把这一章的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为本章的学习研究打下思想基础)二、讲解新课：1.问题一（1－1）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以，共有3+2=5种不同的走法，如图所示(1－2) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法2 分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nN m m m=+++L种不同的方法3.问题二（2－1）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有326⨯=种不同走法，如图所示，甲地乙地火车汽车轮船所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车2──汽车1； 火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2（2－2）如图,由A 村去B 村的道路有2条，由B 村去C 村的道路有3条从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？分析: 从A 村经 B 村去C 村有2步, 第一步, 由A 村去B 村有2种方法, 第二步, 由B 村去C 村有3种方法,所以 从A 村经 B 村去C 村共有 2×3 = 6 种不同的方法4.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法5.原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++L , 12n N m m m =⨯⨯⨯L这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”三、讲解范例：例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原⨯⨯=种理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是43224所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是N=⨯⨯⨯=，1010101010000所以，可以组成10000个四位数号码例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，N=⨯=种，6种选法可以表示如下：不同的选法数是326日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法例4．甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有所少种不同的品种？解：收音机的品种可分两类：第一类：甲厂收音机的种类，分两步：形状有3种，颜色有4种，共⨯=种；3412第二类：乙厂收音机的种类，分两步：形状有4种，颜色有5种，共4520⨯=种+=个品种所以，共有122032说明：分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事四、课堂练习：1 .书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数学书中任取一本，有6种方法；第二类可从5本语文书中任取一本，有5种方法；根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法(2) 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语文书，有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法2.某班级有男学生5人，女学生4人(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？解：(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有2类办法，m = 5种不同的方法；第一类办法，从男学生中任选一人，共有1m = 4种不同的方法第二类办法，从女学生中任选一人，共有2所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种(2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成,m= 5种方法；第一步，选一名男学生，有1m= 4种方法；第二步，选一名女学生，有2所以，根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种由例1可知：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”，还是“分步完成”“分类完成”用“加法原理”；“分步完成”用“乘法原理”3. 满足A∪B=｛1,2｝的集合A、B共有多少组?分析一:A、B均是｛1,2｝的子集:φ,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝,但不是随便两个子集搭配都行,本题尤如含A、B两元素的不定方程,其全部解分为四类:1)当A=φ时,只有B=｛1,2｝,得1组解;2)当A=｛1｝时,B=｛2｝或B=｛1,2｝,得2组解;3)当A=｛2｝时,B=｛1｝或B=｛1,2｝,得2组解;4)当A=｛1,2｝时,B=φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4组解.根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.分析二: 设A、B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B不装入A,还可以既装入A又装入B,有3种装法;第2步装2,同样有3种装法.根据分步计数原理共有3×3=9种装法,即原题共有9组解.4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通同的走法？答案：2×3＋4×2=14五、小结：本节课主要介绍了两个基本原理，解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类无论是分类、分步，关键是做到不重不漏六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。