第二章导热基础

直角坐标系：
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) q' / c x y z
1 t 1 2t 2t t a 2 q' / c r 2 2 z r r r r
t 2t 2t 2t ( 2 2 2 ) q'/ c c x y z
令a c

t 2t 2t 2t a( 2 ) q' / c 2 2 x y z
a为导温系数（是一个物性参数），也称热扩散率，说明物体被加热 或冷却时其各部分温度趋于一致的能力。a 大的物体被加热时，各处 温度能较快地趋于一致。

傅立叶定律是实验定律，普遍适用于均质各向同性介 质，但不适用于深冷（接近0K）或高热流密度等情况。 •在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为：
q qx i q y j qz k
t x t y t z
q x
q y
q z
•对于沿x方向的一维情况：
第五节 定解条件
一、几何条件
二、物理条件
物性参数λ、ρ、cp 、a
三、时间条件 τ=0，t f ( x, y, z ) 四、三类边界条件 热传导方程有三类边界条件： 第一类：给出边界上的温度t； 第二类：给出热流密度q； 第三类：给定流体介质的温度t和换热系数h。
平底水壶烧水 （观察底部）
课后复习题：
2、温度 各种材料的热导率都是温度的函数。通常：
气体 液体 非金 属固体 金属 固体 大部 分合金
温度t升高，λ 值
•大多数材料符合线性近似关系： 三、保温材料
0 1 bt 0 Bt
国家标准规定：凡平均温度不高于350℃时，热导率不大于0.12W/(m· K)的 材料称为保温材料，又称隔热材料或绝热材料。 保温材料通常呈纤维状或多孔性结构，为孔隙小而多的轻质材料，例如： 石棉、矿渣棉、硅藻土、微孔硅酸钙、膨胀珍珠岩和泡沫塑料等。 传热方式：（1）固体骨架的导热；（2）孔隙中介质（空气）的传热；
dQ' q ' dx dy dz
dU Qx Qx dx Q y Q y dy Qz Qz dz dQ'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式：
t c
2t 2t 2t ( 2 2 2 ) q' x y z
一、温度场(temperature field) ：某一时刻（或瞬间）物体中 各点温度的分布的总称。t = ƒ ( x, y, z, τ) 稳态温度场 非稳态温度场
t f ( x, y, z) t f ( x, y, z, )
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
故有导入的净热 流量为：
2t Qx Qx dx 2 dx dy dz x 2t Qy Q y dy 2 dx dy dz y Qz Qz dz 2t 2 dx dy dz z
常物性（ ρ、 λ 、 cp为常数）。
•
对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热 平衡关系： 导人微元体的总热流量-导出微元体的总热流量 十微元体内热源的生成热＝微元体热力学能(即内能)的增量 (a) 式(a)中其他两项的表达式为 •微元体热力学能的增量: t
•微元体内热源的生成热:
dU c dx dy dz
热流的方向与温度梯度方向相反
第 二节 傅里叶定律 Fourier’s Law
(conduction)
内容：在匀质的同性介质中，单位时间内传递的热量Q与温度梯度及垂直 于热流方向的截面积成正比，而导热方向与温度梯度的方向相反。

热流量 热流密度
Q Agradt W q gradt W m 2
三、温度梯度(temperature gradient)：等温线面法线方向上 的温度变化率。

在温度场中，温度在空间上改变的大小程度，用grad t表示。 它是在等温面法线方向ｎ上单位长度的温度增量,它是一个 矢量, 指向温度增大的方向。
t t grad t lim n n n 0 n n
它是物性参数，取决于物质的种类和热力状态（温度、压力 等）。 1.材料种类


在温度t=200C时： 纯铜λ=399 W/(m.K)；水λ=0.599 W/(m.K) ； 干空气λ=0.0259 W/(m.K) λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小 非金属固体的λ值在很大范围变化：隔热材料（或保温材料）----石棉、 硅藻土、矿渣棉等，它们的导热系数通常:λ < 0.2 W/(m.K) 。
三、热扩散率
令a
c
（1）综合了材料的导热能力与单位体积热容量的大小； （2）是一个物性参数； （3）只对非稳态导热有意义； a与λ区别：热导率仅指材料导热能力的大小，是稳态导热的特征量；
热扩散率则综合了材料的导热能力与单位体积热容量的大小，是非稳态 导热的特征量。热导率小的材料热扩散率不一定小，例如： λ水=23 λ空气，但（ρc）空气=1211J/(kg.K), （ρ c）水=4.2*106J/(kg.K),因此不考虑对流时，在非稳态导热下， 同样厚度的水层和空气层要达到相同的温度场，空气层要比水快 160倍。
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导:
傅里叶定律 导热微分方程式 能量守衡定律 假定导热物体是各向同性的，物性参数(ρ、 λ 、 cp)为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体（dxdydz）来推导导热微分方程，如下图所示:
根据能量守恒定律ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ傅里叶定律，可以推导出导热微分方程， 下面是一般三维问题瞬态温度场在直角坐标系中的控制方程：
t 2t 2t 2t C p ( 2 2 2 ) qv x y z
式中：ρ—密度(kg/m3)；τ —时间(s)；cp—比热容(J/kg .0C)； qv —内热源强度(J/m3s )； λ—导热系数(W/m .0C)； t—温度(0C)； x , y , z—直角坐标
对无内热源、常物性、一维非稳态导热微分方程：
t 2t a x 2
对无内热源、常物性、一维稳态导热微分方程
：
dt const dx
d 2t a 0 2 dx
对有内热源、常物性、三维稳态导热微分方程
2t 2t 2t a( 2 2 2 ) q'/ c 0 x y z
（2）两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触
的温度较低的另一物体。
两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触
的温度较低的另一物体。
同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分
同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分
第 一节 温度场和温度梯度
(conduction)
y方向：
t Q y dx dz y
Q y dy
t dx dy dz Qy y y
z方向：
t Q z dy dx z t Q z dz Qz dx dy dz z z
1、在相同加热的情况下，物体导温系数越大，则物体温度内部趋于 一致的速度怎样？物体各处的温度差怎样？
2、温度梯度的方向与热流密度方向怎样 ？
3、同一时刻，不同等温面可能相交吗？在同等温面间能发生传热吗?
4、热导率（导热系数）与热扩散率（导温系数）的区别与联系。 5、二维常物态、无内热源、稳态导热微分方程式中无导热系数λ， 那么物体内温度分布与λ无关，你认为对吗？
Q A dt dx dt q dx
第 三节 导热系数λ (Thermal conductivity)
(conduction)
一、定义：表示在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流
密度值。导热系数表明了物质导热能力的程度。
q gradt W m K
二、影响因素：
二、等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）在连续的温度场中，等温线（或面）是连续的，或形成封闭曲 线，或终止在物体边界上； （2）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （3）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （4）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。

导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。它对导热问 题具有普遍适用的意义（若导热系数为常数）
2t 2t 2t t c ( 2 2 2 ) q' x y z

直角坐标系下，常物态，有内热源的、三维、非稳态导热微分方程：
第 二章 导热理论基础
• 本章要点： 1、着重掌握导热的基本概念和傅里叶定律的应用； 2、导热微分方程和定解条件。 • 本章难点：温度场及其求解 •本章主要内容：
第一节
第二节 第三节 第四节
温度场和温度梯度
傅里叶定律 热导率 导热微分方程
了解导热：
(conduction)
什么是导热呢？我们来下一个定义： 物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及电子 等微观粒子的热运动而产生的热量传递称为导热。 例如有两种导热现象： （1）同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的 部分；
圆柱坐标系：
球坐标系：
1 2 t t 1 2t 1 t a 2 r 2 2 2 sin q' / c 2 r r r r sin r sin
二、简化形式
t 2t 2t 2t 常物性： a( x 2 y 2 z 2 ) q' / c
总结： １）以物质的种类来区分，值的大小以金属为大，非金属固 体次之，液体更次之，而以气体为最小。 ２）各种物质的值都是温度的函数。 ３）多孔物质的值较小，吸水后导热系数急剧增大。
第四节 导热微分方程
(The conduction differential equation)
一、导热微分方程式的推导
dQ z+dz
dQ’ dQ x
设该微元体均质，各向同 性，常物性（ ρ、 λ 、cp 为常数）。
Q Agradt W
dQ y
dQ y+dy
x方向：
dQ x+dx dQ z
Q x dx
t Q x dy dz x
t Qx dx dy dz x x
λ—导热系数，W/m· K
•说明：
（1）负号“-”表示热量传递指向温度降低的方向；与温度梯度方向相反。 （2）热流方向总是与等温线（面）垂直； （3）物体中某处的温度梯度是引起物体内部及物体间热量传递的根本原因； （4）一旦物体内部温度分布已知，则由傅里叶定律即可求得各点的热流量或 热流密度。 （5）Fourier定律是普遍适用的，即无论是否变物性，是否有内热源、物体 的几何形态、是否非稳态，也不论物质的形态，该定律都适用。