经济数学期末模拟试卷及答案

南 京 财 经 大 学

成人教育经济数学基础课程试卷

（四）

专业/班级： 学号： 姓名：

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一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

1．=⋅+⋅∞

→)sin 1

1sin

(lim x x

x x x _____1_______. 2．x

x

x x f 211)(--+=

，要使在0=x 处连续，则应补充定义=)0(f ____.

3．设2)(2)1()1(x x f x f ∆+∆=-∆+，则=')1(f 2 .

4．若)(x f e y =，其中f 二阶可导，则=''y )()()(2)(x f e x f e x f x f ''+' . 5．若某种商品的需求函数p Q 460-=，则当5=p 时，其边际收益为 20 . 6．y z x

=ln ,则y x z ∂∂∂2=____

ln 1

(ln ln 1)x y x y x

-+______________. 7．若C x dx x x f ++=+⎰

)1ln(1

)(22

，则=)(x f x 2 . 8．⎰+→x u x du u x 0

1

0)2sin 1(1lim =____e 2

_____________.

9． 1

41

cos x xdx -=⎰

10

．交换积分次序

=⎰

⎰-+2

1

2

2),(y y

dx y x f dy

⎰

⎰⎰

⎰--+x

x x

x

dy y x f dx dy y x f dx 2

41

10

),(),( .

二、单项选择题（共5小题，每小题2分，共10分）

1．若0→x 时，22~)cos 1(x x a -，则=a （ C ）.

A.

21 B. –1 C. 1 D . -2

1 2．若)(1x f ,)(2x f 的弹性分别是)0(,≠b b a ，则函数

)

()

(21x f x f 的弹性是（ A ）. A. b a - B.

b

a C.

2112y by ay - D. 2

2

1

2y by ay - 3．曲线x

e y 1-=的渐近线共有几条 ( C )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

4．若f(x)的一个原函数是2

x e ,求dx x xf ⎰)('= （ A ）

A. C x e x +-)12(2

2

B. C x e x ++)12(22

C. C x e

x +-)1(2

2 D. C x e x ++)1(22

5．设ln 1()()x

x

F x f t dt =⎰，()F x '=则 （ D ）

A. 1(ln )()f x f x -；

B. 1

(ln )()f x f x

+；

C . 2111(ln )()f x f x x x -； D. 2111

(ln )()f x f x x x

+

三、计算题（共8小题，每小题6分，共48分）

1．)1

1

1(lim 0--→x x e x .

5.021

0lim 10lim )110lim )111(0lim 2

(=-→=--→=---→=--→x x x x x x x x x e x

e e e e x

x x x x

2．已知)(x f y =是由方程0)sin(22=-y y x 所确定的隐函数，求微分dy . 原式两边对x 求导，得 22cos()(2)20x y xy x y yy ''+-=

可得 222

2cos()

2cos()xy x y y y x x y '=- 所以得 2222cos()

2cos()

xy x y dy dx y x x y =

-

3．已知6sin =-+xy z e

xyz

，求y x z z '',.

原式对x 求偏导，得 ()cos()0xyz x

x e yz xyz z y xy ''++-= 同理对y 求偏导，得 ()cos()0xyz y y e xz xyz z x xy ''++-=

从而得 cos()1xyz

x xyz

y xy yze z xye -'=+ cos()1xyz

y xyz

x xy xze z xye -'=

+ 4．dx x

x x ⎰

+-2

1arctan 4.

222

22

4arctan 14arctan arctan 0.52arctan 0.5ln(1)11x x dx xd x dx x x x x -=-=-+++⎰⎰⎰

5．0

⎰.

令t x =，则tdt dx 2=

⎰⎰⎰

-===20204

2cos 22sin 22sin sin tdt tdt t t dx x

x

6．讨论广义积分0

t te dt +∞

-⎰的敛散性.

10

1

t t t te dt te dt te dt +∞

+∞

---=+⎰

⎰⎰

，显然第一部分是收敛的

而 3

2lim ()lim 0t t x x te t t e

--→+∞→+∞==

而正项积分⎰+∞

-1

2dt t 是收敛的，由正项积分的比较收敛准则知⎰+∞

-1

dt te t 收敛

故原广义积分收敛

7．求D

xyd σ⎰⎰，其中D 是由228y x x y ==及所围成的闭区域 .

可求得，两抛物线的交点为A(0,0), B(2,4)

从而， 2

222

4250

16(40.5)(40.5)3

x D

xyd dx xydy x x x dx x x dx σ==-=-=

⎰⎰⎰⎰⎰

8．求方程x e y y 2'3-=+ 的通解. 特征方程为 03=+λ，即 -3=λ 齐次方程的通解为 3x y ce -'= 设方程的特解为 2x y Ae -''=

代入方程，可得 132=+-A , 即有 A=1

综上，方程的通解为 23y x x y y e ce --'''=+=+ （其中C 为任意常数）