相似多边形的判定
相似多边形的定义
A1 F1
E1
B1 C1
D1
(1)在上图两个多边形中,是否有相等的内角?
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,∠E=∠E1,∠F=∠F1
(2)在上图两个多边形中,相等内角的两边是否成比例? AB BC CD DE EF FA A1B1 B1C1 C1D1 D1E1 E1F1 F1 A1
相似多边形的定义
D
E
F
A BC
相同点: 形状相同 不同点: 大小不一定相同
相同点: 形状相同
不同点: 大小不一定相同
A
A1
相似三角形
CB
C1
C1
C
A1
B1 A
对应角相等,
B1
对应边成比 例的两个三
角形
相似三角形 B 有什么性质?
相同点: 形状相同
不同点: 大小不一定相同
D
D
C
相似四边形 E
C
相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫
做相似多边形。
相似比概念： 相似多边形对应边的比叫做相似比。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”
A
B 对应角相等, A
B
D1
C1对例应的边两成个比四
D1
边形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E1
C1
A1
B1
A1
B1
一相般同地点,对:应形角状相相等同,对应边成比例的
两个多不边同形点叫:做大相小似不多一边定形相. 同
相似图形的重难点内容
相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。
相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
相似多边形及位似--知识讲解
相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号：394501关联的位置名称（播放点名称）：黄金分割及总结】定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1∵ABAP AP PB = ∴11x x x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比是否相等. 542016221616EF AB ==++=， 652420222020EH AD ==++= 而6554≠，∴EH AD EF AB ≠ ∴矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）A.1:2B. 2:3C. 2:5D.4:9【答案】D.2. 如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 2【答案】C.A B C D E F G H【解析】长为8cm 、宽为4cm 的矩形的面积是32cm 2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×14=8cm 2．故选C ． 【总结升华】本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方．类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标. AB C D E A 1 B 1 C 1D 1E 1 A B DE【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=21OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标. 举一反三【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号： 394501关联的位置名称（播放点名称）：位似作图及例4】【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】 51-的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形． 证明：在正方形ABCD 中，取2AB a =，∵ N 为BC 的中点，∴ 12NC BC a ==． G F F'B C G' A BC D EF M N在Rt DNC △中，ND ===．又∵ NE ND =，∴ 1)CE NE NC a =-=．∴ 1122CE a CD a ==）． 故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.。
九年级数学相似多边形的性质
利用相似多边形证明角度相等关系
若两个多边形相似，则它们的对应角相等。因此，可以通过 证明两个多边形相似来证明两个角度相等。
例如，若要证明两个角∠A和∠B相等，可以构造两个相似多边形， 使得它们的一组对应角分别为∠A和∠B，然后通过计算对应角的 度数来得到它们相等的结论。
已知一个五边形与一个边长为 5cm的正五边形相似，且相似 比为2:1，求这个五边形的周长。
若两个相似三角形的面积分别 为16cm²和36cm²，求它们的 相似比。
03 相似多边形在几何证明中 应用
利用相似多边形证明线段比例关系
若两个多边形相似，则它们的对应边成比例。因此，可以通过证明两个多边形相 似来证明两条线段的比例关系。
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对应角相等定理
如果两个多边形相似，那么它们 的对应角必定相等。
应用
这个定理在解决相似多边形的问 题时非常重要，因为它允许我们 通过比较对应角来验证或确定多 边形的相似性。
02 相似多边形面积与周长关 系
面积比与相似比平方关系
01
若两个多边形相似，且相似比为 $k$，则它们的面积之比为$k^2$。
04 相似多边形在生活实际问 题中应用
建筑设计中缩放模型原理
建筑设计中，常常需要制作建筑物的缩 放模型来研究和展示设计方案。相似多 边形的性质使得缩放模型能够保持与原 建筑物相同的形状，但尺寸按比例缩小
或放大。
利用相似多边形的性质，建筑师可以计 算缩放模型各部分的尺寸，以确保模型
相似多边形
∽RtΔABC，得
AC2=AD·AB；
BC2=BD·AB；CD2=AD·DB。
熟记上述等积式有时会给解题带来很大的方便。尤其几何综合题更明显。但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似。
证明比例式或等积式是这部分内容所涉及的一种常见题型，解决它的常用方法是：
（1）找相似；三点定形法；
∽RtΔABC，得
AC2=AD·AB；
BC2=BD·AB；CD2=AD·DB。
熟记上述等积式有时会给解题带来很大的方便。尤其几何综合题更明显。但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似。
证明比例式或等积式是这部分内容所涉及的一种常见题型，解决它的常用方法是：
（1）找相似；三点定形法；
∽RtΔABC，得
AC2=AD·AB；
BC2=BD·AB；CD2=AD·DB。
熟记上述等积式有时会给解题带来很大的方便。尤其几何综合题更明显。但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似。
证明比例式或等积式是这部分内容所涉及的一种常见题型，解决它的常用方法是：
在相似三角形的性质中，我们也可以说：所有的对应线段之比都等于相似比.
3. 相似三角形的几种基本图形并要求掌握：
(1)在图(a)中的相似三角形及相似比、面积比；
(2)在图(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；
（1）找相似；三点定形法；
∽RtΔABC，得
AC2=AD·AB；
BC2=BD·AB；CD2=AD·DB。
熟记上述等积式有时会给解题带来很大的方便。尤其几何综合题更明显。但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似。
人教版 相似知识点总结
人教版相似知识点总结一、相似三角形1. 定义相似三角形指的是具有相同形状但是大小不一样的三角形。
在相似三角形中，对应的角度相等，对应的边的比例也相等。
2. 判定判定两个三角形相似的方法有三种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角是相等的，那么这两个三角形就是相似的。
（2）AA相似判定法：如果两个三角形的其中一个角相等，并且它们的对边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
（3）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. 性质（1）相似三角形对应边的比例：在相似三角形中，对应边的比例是相等的。
（2）相似三角形内角对应：在相似三角形中，对应角是相等的。
（3）相似三角形内角和的性质：在相似三角形中，每个对应角的和都是180°。
4. 应用相似三角形的性质和判定方法在几何问题中有着广泛的应用。
比如在测量高楼的高度、计算不规则图形的面积等问题中，都会用到相似三角形的知识。
二、三角形的中线、角平分线、中线及高的关系1. 定义中线：三角形中线指的是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
角平分线：三角形角平分线指的是从三角形的一个顶点出发，分别平分相邻的两个角的线段。
高：三角形的高指的是从顶点到对边的垂直距离的线段。
2. 性质（1）三角形的中线：三角形三个顶点的连线的中点所组成的线段是三角形的中线，三角形的三条中线交于一个点，并且相互平分。
（2）三角形的角平分线：三角形的每个内角的角平分线相交于一个点，这个点和三个顶点连线的中点共线。
（3）三角形的高：三角形的三条高交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。
3. 中线、角平分线、高的关系中线长等于底边一半，角平分线分割对边成比例，高的平方等于底边乘以斜边的差的一半。
4. 应用三角形的中线、角平分线、高的性质和关系在解决数学问题中有很多应用，比如证明直角三角形的斜边长度等。
三、勾股定理1. 定理内容勾股定理指的是直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
《相似多边形和图形的位似》
《相似多边形和图形的位似》汇报人：日期:•相似多边形的基本概念•相似多边形的判定方法•图形的位似变换目录•相似多边形与位似变换的关系•相似多边形和位似变换的应用举例•总结与展望01相似多边形的基本概念如果两个多边形的对应角相等，则它们是相似的。
对应角相等如果两个多边形的对应边成比例，则它们是相似的。
对应边成比例对应边成比例相似多边形的对应边成比例。
面积比等于相似比的平方相似多边形的面积比等于相似比的平方。
对应角相等相似多边形的对应角相等。
等边三角形矩形三边都相等的三角形。
四个角都是直角的四边形。
等腰三角形等腰梯形正方形两边相等的三角形，其中两边为腰，另一边为底。
有一组对边平行且另一组对边相等的四边形。
四边相等且四个角都是直角的四边形。
02相似多边形的判定方法平行线的性质是判定定理的基础，通过平行线的性质可以推导出相似多边形的判定定理。
平行线性质相似三角形的判定相似多边形的定义首先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质推导出两个多边形相似。
根据相似多边形的定义，如果两个多边形的对应角相等，则它们相似。
030201判定定理可以应用于实际问题中，例如在建筑设计、工程绘图等领域中，需要利用相似多边形的性质进行计算和设计。
判定定理也可以应用于数学问题中，例如在几何证明、代数运算等领域中，可以利用相似多边形的性质进行证明和计算。
数学问题中的应用实际问题中的应用首先根据相似三角形的性质，证明两个三角形相似；然后利用相似三角形的性质，推导出两个多边形相似。
证明过程具体证明过程需要使用到平行线的性质、相似三角形的性质等知识点，通过逻辑推理和数学运算来证明判定定理的正确性。
03图形的位似变换如果一个图形经过某种变换后，其形状和大小保持不变，但各对应点间的相对位置关系发生了改变，那么这种变换称为位似变换。
定义位似变换保持了图形间的相对位置关系，但改变了图形的形状和大小。
位似变换的特性位似变换保持了图形间的相对位置关系，即图形中的点在变换后仍然保持它们之间的相对位置不变。
第2课 相似多边形的性质及判定
A__B___B_C_ __C_D_ __A_D__.
相似图形_对___应__边__的比叫做相似比，记作k.
1．(例1)如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′. (1)求∠A，∠D′的度数和x，y的长；
1
(2)相似比k＝____2____.
PPT课程
主讲老师:
第二十七章 相 似
第2课 相似多边形的性质及判定 一、新课学习
知识点1：相似多边形的性质： 对应角___相__等___，对应边的比___相__等___． 几何语言 ∵__四__边__形__A_B_C_D__∽__四__边__形__A_＇__B_＇__C__＇__D＇ ， ∴∠__A__=_∠__A_＇__,_∠__B_=__∠__B_＇__,_∠__C_=__∠__C_＇__,_∠__D__=_∠_ D＇
第3关 11．如图，E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，若矩形
ABEF与矩形ABCD相似，AB＝4，则AD＝____4__2__.
设
AD＝BC＝x，则AF＝
1 2
x
∵矩形ABEF∽矩形BCDA
∴ AB ＝ AF
∴4 ＝
1 2
x
BC BA
x4
∴x＝4 2 ∴AD＝4 2
12．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝5 m，AB＝3 m，沿草坪四周 外围有1 m宽的环形小路，小路内外边缘所成的两个矩形相似 吗？为什么？ 不相似，由题意得AB＝CD＝3 cm
形的最长边的长为 21，则最短边的长为( C )
A ．15
B ．10
C ．9
D ．3
第2关 9．已知A，B两地的实际距离是250 m，若在地图上的距离是
相似多边形、相似三角形判定(提高)
相似多边形、相似三角形判定一、相似多边形1．相似多边形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．四、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证A B C D E F △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．五、相似证明中的基本模型六、.黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCABAC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中618.0215≈-=AB ACA BC【例1】 三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之各是 （ ） A ．15cm B ． 18cm C ． 21cm D ． 24cm【巩固】ABC △的三边长分别为2、10、3，'''A B C △的两边长分别为1和5，若ABC △与'''A B C △相似，则'''A B C △的第三条边长 ．【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为 多少？【例2】 已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM=AB ∶AMB.AM=215-ABC.BM=215-ABD.AM ≈0.618AB【例3】 著名的斐波那契数列指的是数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．该数列有很多性质，“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比=0.6180339887…”是其中的一个性质．请经过探究，猜测该数列中的第2010项与2011项的比值与黄金分割比的大小关系为（ ）A 、大于B 、等于C 、小于D 、无法确定【例4】 如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.角角角判定法【例5】如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．【巩固】如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．【例6】在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求FNNE的值．【巩固】已知，如图：CE 是Rt △ABC 的斜边上的高，在CE 的延长线上任取一点P ，连结AP 自B,作BG ⊥AP 于G 交CP 于D ，求证：2CE DE PE =∙【例7】 如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证：△ADE ∽△BEF ．（2）若AE ：EB=1：2，求DE ：EF 的比值．【巩固】如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，求证：AB 2=AE•BF．【例8】如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于点E、F，则AF：AD=BE：BD吗？说明理由边角边判定法【例9】已知△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°那么，△DCF∽△BEF? 为什么？【巩固】如图,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时求∠APB的度数。
相似多边形基本知识
相似多边形基本知识相似多边形是数学中一个重要的概念，它在几何学和实际应用中都具有广泛的应用。
相似多边形具有相同的形状，但是大小可以不同。
在本文中，我们将介绍相似多边形的定义、性质以及如何确定相似多边形之间的关系。
一、相似多边形的定义相似多边形是具有相同形状但大小不同的多边形。
即使边长和内角都不相等，只要多边形的形状相同，就可以称它们为相似多边形。
相似多边形通过对应边的比值来确定彼此之间的关系。
例如，若多边形A和多边形B的边比为a:b，那么我们可以表示为A∼B，表示多边形A与多边形B相似。
二、相似多边形的特性相似多边形具有以下一些特性：1. 边的比例关系：相似多边形的对应边的比值相等，即A∼B，则对应边AB的比值等于a:b。
2. 角的对应关系：相似多边形的内角相等，即A∼B，则对应角的度数相等。
3. 面积的比例关系：相似多边形的面积比等于边长比的平方，即A∼B，则多边形A的面积与多边形B的面积的比等于(a/b)²。
三、判断相似多边形的条件在实际问题中，我们需要根据已知条件判断两个多边形是否相似。
常见的判断相似多边形的条件包括：1. 边比例相等：两个多边形的对应边的比值相等。
2. 角度相等：两个多边形的对应角度相等。
3. 边角关系：如果两个多边形的对应边比例相等，并且对应角度相等，那么它们是相似的。
四、相似多边形的应用相似多边形在实际应用中有着广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，相似多边形可以用来计算建筑物的比例关系，从而确定合适的尺寸和比例。
2. 地图制作：在地图制作中，相似多边形可以用来表达地图上不同地区的比例关系，帮助人们更好地理解地理信息。
3. 电影特效：在电影特效中，相似多边形可以用来生成虚拟世界的模型，通过调整大小和比例来创造逼真的效果。
4. 工程测量：在工程测量中，相似多边形可以用来测量难以直接测量的物体的尺寸，通过相似性关系来推算出实际尺寸。
相似多边形的性质课件
三边对应成比例判定定理
总结词
通过两个多边形的三边对应成比例，可以判定两个多 边形相似。
详细描述
三边对应成比例判定定理是相似多边形判定定理的一 种，它基于两个多边形的三边对应成比例，从而判定 两个多边形相似。这个定理在实际应用中非常有用， 因为它只需要比较三个边的长度就可以判断两个多边 形是否相似，相对于其他判定定理更为简便。然而， 需要注意的是，这个定理只适用于三边对应成比例的 情况，对于更多边的多边形，需要使用其他判定定理 进行判断。
总结词
通过比较相似多边形的面积和相似比， 证明面积比等于相似比的平方。
详细描述
首先，计算两个相似多边形的面积。 然后，计算它们的相似比。最后，比 较面积和相似比的关系，如果面积比 等于相似比的平方，则证明了面积比 等于相似比的平方。
THANKS
感谢观看
多边形相似。
02
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等
总结词
相似多边形的对应角是相等的，这是相似多边形的基本性质之一。
详细描述
根据相似多边形的定义，如果两个多边形相似，则它们的对应角必定相等。这 意味着无论多边形的大小如何变化，只要它们是相似的，它们的对应角就会保 持不变。
相似多边形的对应边成比例
角-角-边判定定理
总结词
通过两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，可以判定两个多边形相似。
详细描述
角-角-边且对应边成比例，从而判定 两个多边形相似。在几何学中，这个定理是非常重要的，因为它提供了一种简单而有效的方法来判断两个多边形 是否相似。
相似多边形的性质
相似多边形的面积之 比等于对应边长的平 方之比。
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例。
22.1.1相似多边形
(2)这样的直线可以作几条？1 在图形(A) ～ (F)中，哪些是由图形（1）或（2）放大或缩小
得到的？
（来自教材）
数学只研究大小和形状，不研究颜色
什么叫多边形？
6
2
B
请分别量出这两
个四边形各内角
的度数，求出对 应边的长度。
C 缩小
对应边有什么关系？
A1
B1
A
对
应
角
有
什
么
D
关 系
？
C1
D1
知识点 2 相似多边形的定义
定义：两个边数相同的多边形， 如果它们的对应角相等， 对应边的比相等， 那么这两个多边形叫做相似多边形． 判定相似多边形的条件：
(1)所有的对应角相等； (2)对应边的比相等． 以上两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．
相似比
相似多边形对应边的比。
若相似比k =1 ，相 似图形有什么关系？
如图△ABC∽△A'B'C'
△ABC与△A'B'C'的
3cm C
C' 6cm
相似比k1 =B？C 1 A
B
B'C' 2
A'
B'
A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是( )
A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 D．2∶ 5
当堂反馈：
1. 如图所示的两个三角形一定相似吗？为什么？
5
5
10
10
答： 相 似 ∵它们对应边的比相等 且对应角也都相等
2. 如图所示的两个三角形一定相似吗？为什么？
多边形相似的判定方法
多边形相似的判定方法
首先，相似多边形的对应角度应该相等。
也就是说，如果两个多边形的对应角度相等，那么它们就是相似多边形。
例如，如果两个三角形的对应角度分别为A1、B1、C1和A2、B2、C2，那么如果A1=A2，B1=B2，
C1=C2，那么这两个三角形就是相似的。
其次，相似多边形的对应边长之间应该成比例。
也就是说，如果两个多边形的对应边长之间成比例，那么它们就是相似多边形。
例如，如果两个三角形的边长分别为AB、BC、CA和A'B'、B'C'、C'A'，那么如果
AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，这种判定方法适用于所有多边形，不仅限于三角形。
对于四边形、五边形以及更多边形，同样可以通过比较对应角度和对应边长来判断它们是否相似。
此外，还有一种特殊情况是全等多边形。
全等多边形不仅对应角度相等，对应边长也完全相等。
也就是说，如果两个多边形的对应角度和对应边长都相等，那么它们就是全等多边形。
需要注意的是，相似多边形之间可能存在一个缩放因子，也就是说，相似多边形的尺寸可以不同，但是形状相同。
例如，一个三角形的边长为3、4、5，而另一个三角形的边长为6、8、10，这两个三角形虽然尺寸不同，但是它们的形状相同，因此它们是相似的。
综上所述，判定多边形相似的方法是通过比较对应角度和对应边长是否成比例来判断。
如果对应角度相等且对应边长成比例，那么多边形是相似的。
相似多边形判定相似多边形的性质相似多边形面积比和边长比的关系
一、相似多边形判定
如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.
如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似比：把相似多边形对应边的比称为相似比。
（2）相似多边形的周长比等于相似比；
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方。
二、相似多边形的性质：
相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。
相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
三、相似多边形：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
（或相似系数）
相似的两个多边形称为相似多边形。
两个多边形的对应边成比例、对应角相等时，它们相似。
两个边数相等的正凸多边形一定相似。
两个相似多边形的周长的比等于它们的相似比，面积的比等于相似比的平方。
四、相似三角形判定定理
1、两角对应相等，则两个三角形相似。
2、两边对应成比例，及两边夹角相等，则两个三角形相似。
3、三边对应成比例，则两个三角形相似。
相似多边形
做一做
• 一块长3m、宽 1.5m的矩形黑板.
学习是件很充实的事！
镶在其外围的木质边框7.5cm.边框的内 外边缘所成的矩形相似吗 为什么
直观有时候是不可靠的. 它们不相似,因为对应边不成比例.
读一读——纸的大小
• 见课本111页读一读
生活中的数学无处 不在,只要你愿意去
发现,其乐无穷.
用你的学习用纸,来实 地操作验证一下
相似多边形
Add the author and the accompanying title
A BC
回顾交流
D
E
F
情境引入
A F
A'
B
F' C
ED E'
B' C'
D'
画板演示
结论：
六边形ABCDEF与六边形 A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形；
它们的六个角都分别相等,称为对 应角；六条边的比都相等,称为对 应边.
A1
B1
AB
F
C F1
C1
六边形ABCDEF与六边形 A为1KB11C= 1D1 1E1F1的相似比 2
ED
E1
D1
（1）
（1）
图4-11
六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为K2=2
你注意到没有,相似比与叙述的顺序的关系
议一议——返过来会怎样
• 如果两个多边形想似,那么它们的对应角 有什么关系 对应边呢
2 正方形ABCD与正方形EFGH.
2 正方形ABCD与正方形EFGH.
解： 2 由于正方形每个角都是直角,所以 ∠A=∠E= 900, ∠B=∠F= 900, ∠C=∠G= 900, ∠D=∠H= 900；
人教版九年级下册数学27.1：相似多边形 课件(共16张PPT)
对于图中两个相似的四边形，它们的对应角、对应边是否有同样的结论？
∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900
在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离
相似多边形的判定方法:
（2）正方形ABCD与正方形EFGH. ∴AB=BC=CD=DA
x
∴∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900
D
∴AB=BC=CD=DA
EF=FG=GH=HE
B
C
∴ ABBCCDDA.
E
H
EF FGGHHE
F
G
探究
1. 下图是两个相似的三角形，猜想它们的对 应角、对应边的比是否相等？
2. 对于图中两个相似的四边形，它们的对应 角、对应边是否有同样的结论？
问题:任意两个相似的多边形有什么性质?
相似多边形性质: 相似多边形对应角相等，对应边的比相等．
118°
18cm 例 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x
x = 300000000 答： 甲，乙两地的实际距离为30000千米
解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得
78° 83° ∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°.
我们把相似多边形对应边的比称为相似比．
EF=FG=GH=HE ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°
的比相等，那么这两个多边形相似. 解得 x＝28（cm）
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边的比相等．由此可得 我们把相似多边形对应边的比称为相似比．
答： 甲，乙两地的实际距离为30000千米 答： 甲，乙两地的实际距离为30000千米 （2）正方形ABCD与正方形EFGH. ∴∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900
相似多边形的判定
等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是．
2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，
AD=1，BC=4，E为AB的中点，EF∥DC交BC于点F，
求EF的长。
3、已知，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，G是重心，求证AG=2GD
2、如图，在平行四边形ABCD中，E是CB的延长线上一点，
连接DE,交AC于G,交AB于F,则图中相似三角形
（不包括全等三角形）共有______对，分别为_________
____________________________________
（三）提高与创新
1、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为18B上，DE∥BC交AC于点E。
写出所有可能成立的比例式。______________________________
________________________________________________
(2)如果 ＝ ，AC＝8cm。求AE长
（3）DE∥BC，AB=15，DE=9，BD=5，求BC的长
三、小结：谈谈你的收获
四、课后检测
若平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的点，联结ED交BC于点F，请
写出图中的相似三角形______________________________________
成比例的边有___________________________________________
_________________________________________________________
章节：S18.5(1)课题：相似多边形的判定（预备定理）
3.3相似多边形(第1课时)
3.3相似多边形（第1课时）知识点一：相似多边形的有关概念各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
△ABC 与△A B C '''相似，记作△ABC ∽△A B C '''。
【例1】下列语句中，正确的有 。
①两个菱形一定是相似图形；②两个矩形一定是相似图形；③两个正方形一定是相似图形；④两个等边三角形一定是相似图形。
【例2】四边形ABCD 的四边长分别为2、3、4、5，与其相似的四边形1111A B C D 的最大边长为15，那么四边形1111A B C D 的最小边长为多少？知识点二：相似多边形的性质及判定相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【例3】已知四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，∠A ＝∠A '＝90°，∠B ＝∠B '＝100°，∠C ＝70°，且20AB =，10A B ''=，10BC =，12C D ''=，16AD =，试求C '∠，D ∠，D '∠，CD ，B C ''，A D ''的值。
，各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。
【例4】如右图，有一矩形草地ABCD ，长BC 为20 m,宽AB 为10 m ，它的外围有1 m 等宽的小路。
问里外两个矩形相似吗？A B C D '''' （填“一定”或“不一定”3、如右图，矩形ABCD 的边长AB ＝矩形ABCD 与矩形A B C D ''''相似吗？并说明理由。
草地A D B C A 'B 'C 'D '。
相似多边形的判定
相似多边形的判定
相似多边形是一种常见的几何形状，它们具有相同的形状和大小，但是可能有
不同的位置和方向。
它们可以用来描述许多自然界中的形状，如椭圆、三角形、正方形等。
在几何学中，相似多边形的判定是一个重要的问题，它可以用来解决许多实际问题，如测量物体的大小和位置，计算物体的体积和表面积等。
相似多边形的判定可以通过比较两个多边形的边长、角度和位置来实现。
首先，我们需要确定两个多边形的边长是否相等，如果相等，则可以认为它们是相似的。
其次，我们需要比较两个多边形的角度，如果它们的角度相等，则可以认为它们是相似的。
最后，我们需要比较两个多边形的位置，如果它们的位置相同，则可以认为它们是相似的。
另外，相似多边形的判定还可以通过比较两个多边形的面积来实现。
如果两个
多边形的面积相等，则可以认为它们是相似的。
此外，我们还可以使用变换函数来比较两个多边形的形状，如果它们的形状相同，则可以认为它们是相似的。
总之，相似多边形的判定是一个重要的几何学问题，它可以用来解决许多实际
问题。
它可以通过比较两个多边形的边长、角度、位置和面积来实现，也可以使用变换函数来比较两个多边形的形状。
因此，相似多边形的判定是一个重要的几何学问题，它可以用来解决许多实际问题。
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例.如图，矩形草坪长20m，宽16m，沿草坪四周有2m宽的环形小路， 小路内外边缘形成的两个矩形相似么？为什么？
2020/3/27
例.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10，在 EF 上取一点 M，分别以 EM、 MF 为一边作矩形 EMNH、MFGN，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似.令 MN=x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？
相似多边形的判定
2020/3/27
Байду номын сангаас
相似多边形 两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例 那么这两个多边形叫做相似多边形．
注意： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比．
∠A=∠ E, ∠B=∠F,∠C=∠G, ∠D=∠H
AB BC CD AD EF FG GH EH
因此，四边形ABCD 与四边形EFGH相似.
练习：如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个 与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．
例.如图，矩形草坪长20m，宽16m，沿草坪四周有2m宽的环形小路， 小路内外边缘形成的两个矩形相似么？为什么？
2020/3/27
例.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10，在 EF 上取一点 M，分别以 EM、 MF 为一边作矩形 EMNH、MFGN，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似.令 MN=x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？
解：∵矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似
当
时，S 有最大值，最大值为 .