微分和导数的几何解释和物理解释

微分和导数的几何解释和物理解释

1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数.近代微积分是借助极限定义函数的微分和导数.如图2-4，因为比值y x ∆∆是弦PA 的斜率，当0→∆x 时，点A 沿曲线无限接近点P ，

所以曲线)(x y y =在点P 处切线PT 的 斜率就是导数

00d ()lim

d x x x y y

y x x x

∆→=∆'==

∆

根据直线方程的点斜式，切线PT 的方程 就是

000()()y y y x x x '-=-

其中00()y y x =，x 和y 为切线上流动点

的坐标.

我们可以得出下面的结论：

曲线()y y x =在点00(,)x y 处有不垂直于Ox 轴的切线，充分必要条件是函数()y x 在点0

x 可微分；当0||||h x x =-很小时，曲线()y y x =接近它在点x y 00(,)处的切线

000()()y y y x x x '=+- [其中00()y y x =]

这就是说，在点00(,)P x y 近旁，曲线段()y y x =看作直线段（切线）是合理的.

【注】 当00()lim

x y

y x x

∆→∆'==∞∆（无穷导数）时，说明曲线()y y x =在点00(,)x y 处有垂直于Ox 轴的切线

0x x =.

在点P 处垂直于切线的直线PQ ，称为曲线)(x y y =在点P 处的法线(图2-4).因此，当

0()0y x '≠时，曲线)(x y y =在点00(,)P x y 处法线的斜率为01

()

y x -

'（相互垂直两直线斜率的乘积等于1-），从而法线方程就是

0001

()()

y y x x y x -=-

-' (点斜式) 其中x 和y 为法线上流动点的坐标.

其次，在图2-4中，从初等数学的角度说，把“微分三角形”PBT 和“增量三角形”PBA 看作全等当然是不对的.但从变量数学的观点来说，把y d 和y ∆看作“相等”是合理的 [因为

)0(d →∆∆≈x y y ]，所以三角形PBT 和三角形PBA “全等”(这里说的“全等”是指对应边为

等价无穷小量).于是，把弧 PA

的长度s ∆、弦长||PA 和微分三角形PBT 的斜边长||PT 都看作“相等”是合理的.因此，在微积分中就认为 2

2

2

)d ()d ()(d y x s += 或 )0d (d 1)d ()d (d 222>'+=+=

x x y y x s (2-4)

我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分.

图2-4

y

§2-2 微分和导数的几何解释和物理解释 69

函数的微分和导数的这些几何解释，是微积分能够应用于几何学的基础.

微积分中有许多结论，最初都是根据几何图形上的启示得到的.例如图2-5，曲线)(x y y =在最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于0).这就是下面的重要结论(以后会多次用到它).

定理2-1 设函数()f x 在含点0x 的某区间),(b a 内有定义.若函数()f x 在点0x 取到最大值

或最小值，即

0()()f x f x ≥)(b x a <<或0()()f x f x ≤)(b x a <<，

而且有导数0()f x '，则0()0f x '=.

证 不妨认为函数)(x f 在点0(,)x a b ∈取到最大值

0()()f x f x ≥)(b x a <<

根据函数在点0x 的可微性，则有(注意0x x x ∆=-)

0000()()()()f x x f x f f x x o x '≥+∆-=∆=∆+∆[]0()(1)f x o x '=+∆

(反证法) 假若0()0f x '≠，则当||x ∆足够小时，[]0()(1)f x o '+与0()f x '有相同的符号.于是，当0()f x '与x ∆同符号时，上式右端大于0.这与上式左端00()()0f x x f x +∆-≤矛盾.

2.微分和导数的物理解释 当一个质点沿直线以常速v 匀速运动时，它在时间间隔t ∆内经过的路程为t v s ∆=∆，即s ∆与t ∆成正比.因为s t v ∆∆=，所以

0d lim d t s s v t t

∆→∆==∆ 或 d d s v t = (见v t -图2-6) 假若质点沿直线的运动不是匀速的，为了更精确地研究质点的运动，就要引入质点在时刻t 的“瞬

时速度”这个概念.例如运动着的物体的冲量mv 和动量2

12mv 中的速度v 就是瞬时速度.

设想质点从时刻t 到时刻t t ∆+这段时间t ∆内经过的路程为s ∆，而把平均速度的极限

图2-7

图2-6

x

0lim

()d t v t t t ∆→==∆

称为质点在时刻t 的瞬时速度是合理的.而当||t ∆很小时，微分t t v s ∆=)(d (看作有限量．．．)就是质点在时间间隔t ∆内实际经过路程s ∆的近似值(v t -图2-7).例如，从静止点O 自由落下的物体(图2-8)，从中学物理中知道，路程公式为

2

2

1)(gt t s =

(其中g 为重力加速度)

所以它在时刻t 的瞬时速度为

00()()()lim lim t t s s t t s t v t t t

∆→∆→∆+∆-==∆∆22

011()22lim t g t t gt gt t ∆→+∆-==∆ 而在时刻t 的微分t gt s ∆=d 是物体在时间间隔t ∆内实际经过路程s ∆(图2-9中梯形ABCDE 的

面积)的近似值(图2-9中矩形ABCE 的面积).

根据同样的道理，若质点沿直线运动的速度为)(t v v =，则它运动的加速度是速度对时间的变化率，即

00()()d ()()lim

lim ()d t t v v t t v t v t a t v t t t t

∆→∆→∆+∆-'====∆∆

于是，作用到物体上的力为

t

t v m

t ma t f d )

(d )()(== (牛顿第二定律) 因此，物理学中说，作用到物体上的力是物体产生加速度的原因.

再如质点在常力f 的作用下移动的距离为s ，则这个常力(恒力)所做的功为s f w ⋅=

. 可

是，若这个力是沿某轴Ox 方向的变力)(x f (图2-10)， 而某物体在这个力的作用下沿Ox 轴移动的距离为x ∆，则当||x ∆很小时，可以认为变力)(x f 所做的功为x x f w ∆≈∆)((合理假设).因此，变力)(x f 所做的功的微分形式就是

x x f w d )(d =(图2-11).

图2-10

f

图2-11

图2-8

2)t

+∆ 图2-9

v