微分和导数的几何解释和物理解释

微分和导数的几何解释和物理解释
1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数.近代微积分是借助极限定义函数的微分和导数.如图2-4，因为比值y x ∆∆是弦PA 的斜率，当0→∆x 时，点A 沿曲线无限接近点P ，
所以曲线)(x y y =在点P 处切线PT 的 斜率就是导数
00d ()lim
d x x x y y
y x x x
∆→=∆'==
∆
根据直线方程的点斜式，切线PT 的方程 就是
000()()y y y x x x '-=-
其中00()y y x =，x 和y 为切线上流动点
的坐标.
我们可以得出下面的结论：
曲线()y y x =在点00(,)x y 处有不垂直于Ox 轴的切线，充分必要条件是函数()y x 在点0
x 可微分；当0||||h x x =-很小时，曲线()y y x =接近它在点x y 00(,)处的切线
000()()y y y x x x '=+- [其中00()y y x =]
这就是说，在点00(,)P x y 近旁，曲线段()y y x =看作直线段（切线）是合理的.
【注】 当00()lim
x y
y x x
∆→∆'==∞∆（无穷导数）时，说明曲线()y y x =在点00(,)x y 处有垂直于Ox 轴的切线
0x x =.
在点P 处垂直于切线的直线PQ ，称为曲线)(x y y =在点P 处的法线(图2-4).因此，当
0()0y x '≠时，曲线)(x y y =在点00(,)P x y 处法线的斜率为01
()
y x -
'（相互垂直两直线斜率的乘积等于1-），从而法线方程就是
0001
()()
y y x x y x -=-
-' (点斜式) 其中x 和y 为法线上流动点的坐标.
其次，在图2-4中，从初等数学的角度说，把“微分三角形”PBT 和“增量三角形”PBA 看作全等当然是不对的.但从变量数学的观点来说，把y d 和y ∆看作“相等”是合理的 [因为
)0(d →∆∆≈x y y ]，所以三角形PBT 和三角形PBA “全等”(这里说的“全等”是指对应边为
等价无穷小量).于是，把弧 PA
的长度s ∆、弦长||PA 和微分三角形PBT 的斜边长||PT 都看作“相等”是合理的.因此，在微积分中就认为 2
2
2
)d ()d ()(d y x s += 或 )0d (d 1)d ()d (d 222>'+=+=
x x y y x s (2-4)
我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分.
图2-4
y
§2-2 微分和导数的几何解释和物理解释 69
函数的微分和导数的这些几何解释，是微积分能够应用于几何学的基础.
微积分中有许多结论，最初都是根据几何图形上的启示得到的.例如图2-5，曲线)(x y y =在最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于0).这就是下面的重要结论(以后会多次用到它).
定理2-1 设函数()f x 在含点0x 的某区间),(b a 内有定义.若函数()f x 在点0x 取到最大值
或最小值，即
0()()f x f x ≥)(b x a <<或0()()f x f x ≤)(b x a <<，
而且有导数0()f x '，则0()0f x '=.
证 不妨认为函数)(x f 在点0(,)x a b ∈取到最大值
0()()f x f x ≥)(b x a <<
根据函数在点0x 的可微性，则有(注意0x x x ∆=-)
0000()()()()f x x f x f f x x o x '≥+∆-=∆=∆+∆[]0()(1)f x o x '=+∆
(反证法) 假若0()0f x '≠，则当||x ∆足够小时，[]0()(1)f x o '+与0()f x '有相同的符号.于是，当0()f x '与x ∆同符号时，上式右端大于0.这与上式左端00()()0f x x f x +∆-≤矛盾.
2.微分和导数的物理解释 当一个质点沿直线以常速v 匀速运动时，它在时间间隔t ∆内经过的路程为t v s ∆=∆，即s ∆与t ∆成正比.因为s t v ∆∆=，所以
0d lim d t s s v t t
∆→∆==∆ 或 d d s v t = (见v t -图2-6) 假若质点沿直线的运动不是匀速的，为了更精确地研究质点的运动，就要引入质点在时刻t 的“瞬
时速度”这个概念.例如运动着的物体的冲量mv 和动量2
12mv 中的速度v 就是瞬时速度.
设想质点从时刻t 到时刻t t ∆+这段时间t ∆内经过的路程为s ∆，而把平均速度的极限
图2-7
图2-6
x
0lim
()d t v t t t ∆→==∆
称为质点在时刻t 的瞬时速度是合理的.而当||t ∆很小时，微分t t v s ∆=)(d (看作有限量．．．)就是质点在时间间隔t ∆内实际经过路程s ∆的近似值(v t -图2-7).例如，从静止点O 自由落下的物体(图2-8)，从中学物理中知道，路程公式为
2
2
1)(gt t s =
(其中g 为重力加速度)
所以它在时刻t 的瞬时速度为
00()()()lim lim t t s s t t s t v t t t
∆→∆→∆+∆-==∆∆22
011()22lim t g t t gt gt t ∆→+∆-==∆ 而在时刻t 的微分t gt s ∆=d 是物体在时间间隔t ∆内实际经过路程s ∆(图2-9中梯形ABCDE 的
面积)的近似值(图2-9中矩形ABCE 的面积).
根据同样的道理，若质点沿直线运动的速度为)(t v v =，则它运动的加速度是速度对时间的变化率，即
00()()d ()()lim
lim ()d t t v v t t v t v t a t v t t t t
∆→∆→∆+∆-'====∆∆
于是，作用到物体上的力为
t
t v m
t ma t f d )
(d )()(== (牛顿第二定律) 因此，物理学中说，作用到物体上的力是物体产生加速度的原因.
再如质点在常力f 的作用下移动的距离为s ，则这个常力(恒力)所做的功为s f w ⋅=
. 可
是，若这个力是沿某轴Ox 方向的变力)(x f (图2-10)， 而某物体在这个力的作用下沿Ox 轴移动的距离为x ∆，则当||x ∆很小时，可以认为变力)(x f 所做的功为x x f w ∆≈∆)((合理假设).因此，变力)(x f 所做的功的微分形式就是
x x f w d )(d =(图2-11).
图2-10
f
图2-11
图2-8
2)t
+∆ 图2-9
v
§2-2 微分和导数的几何解释和物理解释 71
函数的微分和导数的这些物理解释，是微积分能够应用于物理学和力学的基础.
习题和选解
1.设曲线)(x y y =(见图2-4)，其中)(x y 有导数0)(≠'x y . 求证：
y NT y =
'；
PT = NQ yy '=；
PQ =. 2.
求曲线y 在点(4,2)的切线方程和法线方程.
答案：1
2(4),24(4)4
y x y x -=
--=-- 3.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，且存在单侧导数()f a +'和()f b -'.若()f x 在左
端点a 取到最小值()f a ，且在右端点
b 取到最大值()f b ；或在左端点a 取
到最大值()f a ，且在右端点b 取到最 小值()f b (见第3题图).证明
()()0f a f b +-''≥
证 不妨认为()f x 在左端点a 取到
最小值()f a ，且在右端点b 取到最大值[第3题图①].于是，
0()()
()lim 0x f a x f a f a x
+
+∆→+∆-'=≥∆（因为()()0,0f a x f a x +∆-≥∆>）,
0()()
()lim 0x f b x f b f b x
--∆→+∆-'=≥∆（因为()()0,0f b x f b x +∆-≤∆<）.
因此，()()0f a f b +-''≥.
4.设函数()f x 在有限开区间(,)a b 内有导数且存在单侧导数()f a +'和()f b -'.若
()()0f a f b +-''⋅<，则必有点(,)c a b ∈，使()0f c '=.(达布定理)
证 因为函数()f x 在开区间(,)a b 内有导数，所以它在(,)a b 内连续；又存在单侧导数()f a +'和()f b -'，所以它在区间端点上也连续，即它在闭区间[,]a b 上连续.因此，它在闭区间[,]a b 上
有最大值和最小值.可是，它在区间端点上不能同时取到最大值和最小值，否则就有
()()0f a f b +-''≥(第3题的结论)，这与假设条件()()0f a f b +-''⋅<矛盾.这就是说，函数()f x 在开区间(,)a b 内至少在某点c 取到最大值或最小值.根据定理2-1，()0f c '=.
【注】若函数()f x 在某有限或无限区间内的导数()0f x '≠，则导数()f x '在这个区间内不会改变符号.
5.设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有导数，且存在单侧导数)(a f +'与)(b f -'.若有常数μ，使
()()f a f b +-''<<μ 或 ()()f a f b +-''>>μ
则必有点),(b a c ∈，使μ=')(c f .(达布定理的推广)
提示：不妨认为是()()f a f b μ+-''<<.作辅助函数()()g x f x x μ=-
①
②
第3题图。