函数值域定义域方法总结
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解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的值域为 .
2、求函数 的值域
解： 对称轴
例3求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，
所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
例17（选）求函数 的值域
解：（换元法）令 ，则原函数可化为 。。。
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选） 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数 的单调性去解。
即x< 或x> ∴定义域为：
例3若函数 的定义域是R，求实数a的取值范围
解：∵定义域是R,∴
∴
例4若函数 的定义域为[1，1]，求函数 的定义域
解：要使函数有意义，必须：
∴函数 的定义域为：
例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1
解法一：（逆求法）
解法二：（分离常数法）由 ，可得值域
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来求值域。
例12求函数 的值域
解法一：（逆求法）
小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。
2） 时， 得
综合1）、2）值域
解法二：（复合函数法）令 ，则
所以，值域
例15函数 的值域
解法一：（判别式法）原式可化为
解法二：（不等式法）1）当 时，
2） 时，
综合1）2）知，原函数值域为
例16 (选)求函数 的值域
解法一：（判别式法）原式可化为
解法二：（不等式法）原函数可化为
当且仅当 时取等号，故值域为
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
练习：
已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
已知函数 的定义域为Ａ，函数 的定义域为Ｂ，则（ ）
Ａ． Ｂ．B Ｃ． Ｄ．
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
∴这个函数的定义域是{ | 且 }
另解：要使函数有意义，必须：
例2求下列函数的定义域：
① ②
③ ④
⑤
解：①要使函数有意义，必须： 即：
∴函数 的定义域为：[ ]
②要使函数有意义，必须：
∴定义域为：{x| }
③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
解：（平方法）函数定义域为：
例6（选不要求）求函数 的值域
解：（三角换元法） 设
小结：（1）若题目中含有 ，则可设
（2）若题目中含有 则可设 ，其中
（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中
（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中
（5）若题目中含有 ，则可设
其中
例7求 的值域
解法一：（图象法）可化为 如图，
观察得值域
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法
（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法
（10）不等式法（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
②略
③当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
二次函数在区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；②；
③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y -3}.
解法二：（零点法）画数轴利用 可得。
解法三：（选）（不等式法）
同样可得值域
练习： 的值域呢？（ ）（三种方法均可）
例8求函数 的值域
解：（换元法）设 ，则 原函数可化为
例9求函数 的值域
解：（换元法）令 ，则
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
例10求函数 的值域
解：（图象法）如图，值域为
例11求函数 的值域
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ].如图
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1求下列函数的值域
①y=3x+2(-1 x 1)②
③ （记住图像）
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
再检验y=1代入①求得x=2∴y1
综上所述，函数 的值域为{ y| y1且y }
方法二：把已知函数化为函数 (x2)
由此可得y1，∵x=2时 即 ∴函数 的值域为{ y| y1且y }
函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 ) 中x
练习：设 的定义域是[3， ]，求函数 的定义域
解：要使函数有意义，必须： 得：
∵ ≥0∴
∴函数 的定域义为：
例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。 ）
练习：
1、 ；
解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷： (或利用对勾函数图像法)
2、
0<y 5.
3、求函数的值域
① ；②
解：①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ].
②解：令t=4x 0得0 x 4
在此区间内(4x ) =4，(4x ) =0
法二：换元法(下题讲)
例4求函数 的值域
解：（换元法）设 ，则
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
例5（选）求函数 的值域
5、求函数 的值域
解：设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
6、（选）求函数 的值域
方法一：去分母得(y1) +(y+5)x6y6=0①
当y1时∵xR∴△=(y+5) +4(y1)×6(y+1) 0
由此得(5y+1) 0
检验 （有一个根时需验证）时 （代入①求根）
∵2定义域{Hale Waihona Puke Baidux| x2且x3}∴
再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域
解法二：（换元法）设 ，
则
练习：y= ；（y∈(-1，1)）.
例13函数 的值域
解法一：（逆求法）
解法二：（换元法）设 ， 则
解法三：（判别式法）原函数可化为
1） 时不成立
2） 时，
综合1）、2）值域
解法四：（三角换元法） 设 ，则
原函数的值域为
例14求函数 的值域
解法一：（判别式法）化为
1） 时，不成立
三、典例解析
1、定义域问题
例1求下列函数的定义域：
① ；② ；③
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 无意义，
而 时，分式 有意义，∴这个函数的定义域是 .
②∵3x+2<0，即x<- 时，根式 无意义，
而 ，即 时，根式 才有意义，
∴这个函数的定义域是{ | }.
③∵当 ，即 且 时，根式 和分式 同时有意义，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的值域为 .
2、求函数 的值域
解： 对称轴
例3求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，
所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
例17（选）求函数 的值域
解：（换元法）令 ，则原函数可化为 。。。
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选） 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数 的单调性去解。
即x< 或x> ∴定义域为：
例3若函数 的定义域是R，求实数a的取值范围
解：∵定义域是R,∴
∴
例4若函数 的定义域为[1，1]，求函数 的定义域
解：要使函数有意义，必须：
∴函数 的定义域为：
例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1
解法一：（逆求法）
解法二：（分离常数法）由 ，可得值域
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来求值域。
例12求函数 的值域
解法一：（逆求法）
小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。
2） 时， 得
综合1）、2）值域
解法二：（复合函数法）令 ，则
所以，值域
例15函数 的值域
解法一：（判别式法）原式可化为
解法二：（不等式法）1）当 时，
2） 时，
综合1）2）知，原函数值域为
例16 (选)求函数 的值域
解法一：（判别式法）原式可化为
解法二：（不等式法）原函数可化为
当且仅当 时取等号，故值域为
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
练习：
已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
已知函数 的定义域为Ａ，函数 的定义域为Ｂ，则（ ）
Ａ． Ｂ．B Ｃ． Ｄ．
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
∴这个函数的定义域是{ | 且 }
另解：要使函数有意义，必须：
例2求下列函数的定义域：
① ②
③ ④
⑤
解：①要使函数有意义，必须： 即：
∴函数 的定义域为：[ ]
②要使函数有意义，必须：
∴定义域为：{x| }
③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
解：（平方法）函数定义域为：
例6（选不要求）求函数 的值域
解：（三角换元法） 设
小结：（1）若题目中含有 ，则可设
（2）若题目中含有 则可设 ，其中
（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中
（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中
（5）若题目中含有 ，则可设
其中
例7求 的值域
解法一：（图象法）可化为 如图，
观察得值域
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法
（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法
（10）不等式法（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
②略
③当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
二次函数在区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；②；
③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y -3}.
解法二：（零点法）画数轴利用 可得。
解法三：（选）（不等式法）
同样可得值域
练习： 的值域呢？（ ）（三种方法均可）
例8求函数 的值域
解：（换元法）设 ，则 原函数可化为
例9求函数 的值域
解：（换元法）令 ，则
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
例10求函数 的值域
解：（图象法）如图，值域为
例11求函数 的值域
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ].如图
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1求下列函数的值域
①y=3x+2(-1 x 1)②
③ （记住图像）
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
再检验y=1代入①求得x=2∴y1
综上所述，函数 的值域为{ y| y1且y }
方法二：把已知函数化为函数 (x2)
由此可得y1，∵x=2时 即 ∴函数 的值域为{ y| y1且y }
函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 ) 中x
练习：设 的定义域是[3， ]，求函数 的定义域
解：要使函数有意义，必须： 得：
∵ ≥0∴
∴函数 的定域义为：
例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。 ）
练习：
1、 ；
解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷： (或利用对勾函数图像法)
2、
0<y 5.
3、求函数的值域
① ；②
解：①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ].
②解：令t=4x 0得0 x 4
在此区间内(4x ) =4，(4x ) =0
法二：换元法(下题讲)
例4求函数 的值域
解：（换元法）设 ，则
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
例5（选）求函数 的值域
5、求函数 的值域
解：设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
6、（选）求函数 的值域
方法一：去分母得(y1) +(y+5)x6y6=0①
当y1时∵xR∴△=(y+5) +4(y1)×6(y+1) 0
由此得(5y+1) 0
检验 （有一个根时需验证）时 （代入①求根）
∵2定义域{Hale Waihona Puke Baidux| x2且x3}∴
再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域
解法二：（换元法）设 ，
则
练习：y= ；（y∈(-1，1)）.
例13函数 的值域
解法一：（逆求法）
解法二：（换元法）设 ， 则
解法三：（判别式法）原函数可化为
1） 时不成立
2） 时，
综合1）、2）值域
解法四：（三角换元法） 设 ，则
原函数的值域为
例14求函数 的值域
解法一：（判别式法）化为
1） 时，不成立
三、典例解析
1、定义域问题
例1求下列函数的定义域：
① ；② ；③
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 无意义，
而 时，分式 有意义，∴这个函数的定义域是 .
②∵3x+2<0，即x<- 时，根式 无意义，
而 ，即 时，根式 才有意义，
∴这个函数的定义域是{ | }.
③∵当 ，即 且 时，根式 和分式 同时有意义，