事件的相互独立性

4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. 6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. P+P2则系统正常工作的概率为____P3
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P (C ) [1 P ( A )][ 1 P ( B )][ 1 P ( C )] (1 0 . 7 )( 1 0 . 7 )( 1 0 . 7 ) 0 . 027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
试一试
判断事件A, B 是否为互斥, 互相独立事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互相独立事件 2.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“第一次取出的是白球”.事件B:“第二次取 出的是黑球” ( 不放回抽取)
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
10 = 1 <P B P B A= 3 2 5
问题探究：
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋， 2个白皮蛋，每次取一个，有放回地 取两次，求在已知第一次取到红皮蛋 的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
第一次取到红皮蛋的概率？
第二次取到红皮蛋的概率？
解： 设A=“第一次取到红皮蛋”
设B=“第二次取到红皮蛋” 则P(A)=
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
练习2生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间 的合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都 抽到合格品的概率是多少？ 解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独 立，所以抽到合格品的概率为
中)
(中,
即 A· + A· A· ∴求 P(A· + A· A· B B+ B. B B+ B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A· + A· A· ∴求 P(A· + A· A· B B+ B. B B+ B)
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B. 2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时”
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P(A+B)=P(A· B)+P(A· +P(A· B) B)=1- P(A· B)
这时，我们称两个事件A,B相互独立，并把这
两个事件叫做相互独立事件。
（1.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发 生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响。
（2.如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B， A与B是不是相互独立的
A B
C
C 42 7.在100件产品中有4件次品. C 41· 31 C 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· 991 C ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· 41 C C1001· 1001 C
(3. P B A = P B P A B = P A P B
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生 的概率为：
P ( A B ) P ( A) P ( B )
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的 概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
1 P ( A B C ) 1 0 . 027 0 . 973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
练习1
某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两 次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下 事件的概率：
（2）其中恰有一人投中的概率； （3）两人都没有投中的概率；
（4）至少有一人投中的概率
0.84
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开 关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率 都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A 、 J B 、 J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关Leabharlann Baidu否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. 又∵A与B是互斥事件. ⑴ “两次都中靶” 是指 “事件A发生且事件B发生” 即 A· B ∴ P( A· B）= P（A）·是指 (中, （2）“至少有一次中靶”P（B）= 不中), (不中, 中), (中,
中)
即 至多有一次中靶” 是指 (中, + A· A· B B+ B. B B+ B) （3）“A· + A· A· ∴求 P(A· 不中), (不中, 中),
事件的相互独立性
复习
(1).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
P (B | A)
n( AB ) n( A)

P ( AB ) P ( A)
注意条件：必须 P(A)>0
问题探究：
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋， 2个白皮蛋，每次取一个，不放回地 取两次，求在已知第一次取到红皮蛋 的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
“恰有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系. 概率. “所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 15
第一次取到红皮蛋的概率？ 第二次取到红皮蛋的概率？
解： 设A=“第一次取到红皮蛋”
设B=“第二次取到红皮蛋” 则P(A)=
P B=
3 5
3 2 5 4 + 23 5 4 = 12 20 = 3 5
A B= 两次都取到红皮蛋” “
PA B=
3
3 2 5 4
=
3 10
有影 响
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
4.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
3 5
P B=
3 5
A B= 两次都取到红皮蛋” “
PA B=
9
3 3 55
=
9 25
无影 响
25 = 3 =P B P B A= 3 5 5
相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，事件A是否发生对事件B
发生的概率没有影响，即P（BIA）=P（B）,
P ( A B ) P ( A) P (B ) 96 100 97 100
582 625

582 625
答：抽到合格品的概率是
3、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
A与B为非互相独立也非互斥事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白 球”. A与B为互相独立事件 ( 放回抽取)
例1.甲、乙两名篮球运动员分别进行一 次投篮，如果两人投中的概率都0.6， 计算：
（1）两人都投中的概率；
0.36 0.48 0.16