数学物理方法姚端正CH7作业解答

uΙ =
1 x+t sin αdα = sin x sin t 2 ∫x − t 1 t 2 ∫0
t 0
由无界纯强迫振动解的公式，得
u ΙΙ =
∫
x + ( t −τ )
x − ( t −τ )
τ sin αdαdτ =
1 t {cos[ x − (t − τ )] − cos[ x + (t − τ )]}τdτ 2 ∫0
t 0
= ∫ sin x sin( t − τ )τdτ = sin x ∫ sin( t − τ )τdτ = t sin x − sin x sin t
（上式最后一步用了分部积分法） 则 u = u + u = t sin x
Ι ΙΙ
3
utt − a 2u xx = x （3） u ( x,0) = 0 u ( x,0) = 3 t
① ② ③
① 即 f1 ( x) − f 2 ( x) = −ϕ ( x) ②
解：方程 utt = u xx 的通解为： u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x − t ) 将④式代入定解条件②得： f1 (0) + f 2 (2 x) = ϕ ( x )
④
⑤
1
将④式代入定解条件③得：
2
u xx − u yy = 8 （2） u ( x,0) = 0 u ( x,0) = 0 y 解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题： v yy − vxx = 0 v( x,τ ) = 0 v ( x,τ ) = −8 y 由 D ' Alembert 公式，该问题的解为： v( x, y;τ ) = 1 x + a ( y −τ ) − 8dα =8τ − 8 y 2 ∫x − a ( y −τ )
解：令 u = u Ι + u ΙΙ
u Ι tt − a 2u Ι xx = 0 Ι u ( x,0) = 0 u Ι ( x,0) = 3 t
由 D ' Alembert 公式，
u ΙΙtt − a 2u ΙΙ xx = x ΙΙ u ( x,0) = 0 u ΙΙ ( x,0) = 0 t
1．求解定解问题： utt − a 2u xx = x + at （1） u ( x,0) = 0 u ( x,0) = 0 t 解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题： vtt − a 2 vxx = 0 v( x,τ ) = 0 v ( x,τ ) = x + aτ t 由 D ' Alembert 公式，该问题的解为：
f1 (2 x ) + f 2 (0) = ψ ( x )
⑥
记 2 x = y ，则⑤ ⑥两式记为： f1 (0) + f 2 ( y ) = ϕ ( )
y ⑦ 2 y f1 ( y ) + f 2 (0) = ψ ( ) ⑧ 2 y f1 ( y ) = ψ ( ) − f 2 (0) ⑨ 由 ⑦ ⑧两式解得： 2 y f 2 ( y ) = ϕ ( ) − f1 (0) ⑩ 2 x+t x−t 所以 u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x − t ) = ψ ( ) + ϕ( ) − [ f 2 (0) + f1 (0)] 2 2 f1 (0) = ψ (0) − f 2 (0) ，则得 f1 (0) + f 2 (0) = ψ (0) x+t x−t ) + ϕ( ) − ψ (0) 2 2
v( x, t ;τ ) =
1 x + a (t −τ ) (α + aτ ) dα = xt − aτ 2 − xτ + atτ ∫ 2a x − a (t −τ )
则由叠加原理，原定解问题的解为：
t t 1 1 u ( x, t ) = ∫ v ( x, t;τ )dτ = ∫ ( xt − aτ 2 − xτ + atτ )dτ = at 3 + xt 2 0 0 6 2
y y
则由叠加原理，原定解问题的解为：
u ( x, y ) = ∫ v( x, y;τ )dτ = ∫ (8τ − 8 y )dτ = −4 y 2
0 0
2．求解下列定解问题： utt = u xx + t sin x （1） u ( x,0) = 0 u ( x,0) = sin x t
uΙ =
1 x + at 3dα = 3t 2a ∫x − at 1 t 2a ∫0
由无界纯强迫振动解的公式，得
u ΙΙ =
∫
x + a ( t −τ )
x − a ( t −τ )
αdαdτ =
t 1 t1 1 {[ x + a(t − τ )]2 − [ x − a (t − τ )]2 }dτ = ∫ x (t − τ )dτ = xt 2 ∫ 0 0 2a 2 2
数理方法 CH7 作业解答 P119：习题 7.1 1．确定下列初值问题的解 （1） utt − a 2u xx = 0 ， u ( x,0) = 0 ， ut ( x,0) = 1
解：由 D ' Alembert 公式，该问题的解为： u ( x, t ) = 1 x + at 1 1 ⋅ dα = [ x + at − ( x − at )] = t ∫ x − at 2a 2a u ( x,0) = x 3 ， ut ( x,0) = x
在⑨式中，令 y = 0 ，得
所以， u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x − t ) = ψ (
{或者，在⑩式中，令 y = 0 ，得 所以结果也可写为： u ( x, (0) = ϕ (0) − f1 (0) ，则得 f1 (0) + f 2 (0) = ϕ (0) x+t x−t ) + ϕ( ) − ϕ (0) } 2 2
解：令 u = u Ι + u ΙΙ
u Ι tt = u Ι xx Ι u ( x,0) = 0 u Ι ( x,0) = sin x t
由 D ' Alembert 公式，
u ΙΙtt = u ΙΙ xx + t sin x ΙΙ u ( x,0) = 0 u ΙΙ ( x,0) = 0 t
（3） utt − a 2u xx = 0 ，
解：由 D ' Alembert 公式，该问题的解为： 1 1 x + at u ( x, t ) = [( x + at )3 + ( x − at )3 ] + αdα = x 3 + 3a 2t 2 x + tx 2 2a ∫x − at 2.求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为 ϕ ( x ) ，初始速度为 − aϕ ' ( x ) 解：由题意，该问题的定解问题为： utt − a 2u xx = 0 ， u ( x,0) = 0 ， ut ( x,0) = − aϕ ' ( x )
方程 utt − a 2u xx = 0 的通解为： u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) 将初始条件代入通解中，得到： f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) af1 ' ( x) − af 2 ' ( x) = − aϕ ' ( x) ① ②联立解得： f1 ( x) = 0 f 2 ( x ) = ϕ ( x) 所以，该问题的特解为： u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) = ϕ ( x − at ) 3.求解弦振动方程的古沙问题 utt = u xx u ( x,− x) = ϕ ( x ), u ( x, x ) = ψ ( x ), −∞ < x < ∞ −∞ < x < ∞
Ι ΙΙ 所以 u = u + u = 3t +
1 2 xt 2
4