第1讲圆的基本性质(学生版)

第一讲，圆的基本性质
一、圆的基本概念
圆的定义
1．描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之
旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径．
2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做
半径．
3．圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读
作”圆O “．
4
．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆
叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等．
弦和弧
1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
二、垂径定理 圆的对称性
圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． ⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．
圆的旋转对称性 弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中
注意：①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．
圆的轴对称性⇒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理
1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定
理与勾股定理有：222()2
a r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两
个量就可以求出第三个量．
重点：
（1）揭示圆有关的本质属性 （2）垂径定理的探索及其应用 难点：
垂径定理探索及其应用 例题精讲
一、圆的基本概念
【例1】 判断题：
⑴ 直径是弦 ( ) ⑵ 弦是直径 ( ) ⑶ 半圆是弧 ( ) ⑷ 弧是半圆 ( ) ⑸ 长度相等的两条弧是等弧 ( ) ⑹ 等弧的长度相等 ( ) ⑺ 两个劣弧之和等于半圆 ( ) ⑻ 半径相等的两个圆是等圆 ( ) ⑼ 两个半圆是等弧 ( ) ⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( ) 【例2】 下列判断中正确的是( )
A ． 平分弦的直线垂直于弦
B ． 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C ． 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D ． 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【例3】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则( )
A ． ''A
B A B =
B ． ''AB A B >
C ． AB 的度数=''A B 的度数
D ． AB 的长度=''A B 的长度
【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩
形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )
A ． a b c >>
B ． a b c ==
C ． c a b >>
D ． b c a >>
O
N M
H
G F
E D
C B A
二、垂径定理
【例5】 (2009年甘肃白银)如图，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值
为4，则⊙O 的半径为( ) A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【例6】 (2006年青岛市)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截
面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请你补全这个输水管道的圆形截面；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．
【例7】 如图所示，在Rt ABC ∆中90C ∠
=︒，AC 1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．
【例8】 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．
【例9】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，
求弦AB 与CD 间的距离．
【例10】 在半径为1的O ⊙中，弦AB
AC 、
BAC ∠的度数为________．
【例11】 如图，已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最
短弦的长度．
【例12】 ⑴ 若O ⊙中等于120
︒的劣弧所对的弦长为O ⊙的半径是_______．
⑵ 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．
⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，42AB CD ==，，AB 的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．
P C
B A
D C B
【例13】 如图，O ⊙中，AB 是直径，弦GE EF HF EF ⊥⊥，，GE HF 、交AB 于C D 、．求证：AC BD =．
【例14】 如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．
D
【例15】
(09湖北荆门)如图，半径为O ⊙内有互相垂直的两条弦AB CD 、相交于P 点．
⑴ 求证：PA PB PC PD ⋅=⋅； ⑵ 设BC 的中点为F ，连结FP 并延长交AD 于E ，求证：EF AD ⊥； ⑶ 若86AB CD ==，，求OP 的长．
【例16】 如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是AC 的中点，MN AB ⊥于N ，则MN 与
AC 的关系是___________．
家庭作业
【习题1】 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =
．
【习题2】 若
O ⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为O ⊙的半径是_______．
【习题3】 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．
第23题图
【习题4】 O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是
__________．
【习题5】 (福州)O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O 的半径长为( )
A.3cm
B.4c m
C.5c m
D.6c m
【习题6】 把正ABC ∆的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点'A 上，若5BC =，则折痕在ABC ∆内的部分
长为( )
A
B ．103 C
D ．52
【习题7】 (08郴州)已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．
【习题8】 (08沈阳)如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．
⑴ 若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数； ⑵ 若3OC =，5OA =，求AB 的长．
【习题9】 (2008广东湛江)如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接
AC OC BC 、、．
⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠．
⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．
第21题图。