第1讲圆的基本性质(学生版)

第一讲，圆的基本性质

一、圆的基本概念

圆的定义

1．描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之

旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径．

2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做

半径．

3．圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读

作”圆O “．

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．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆

叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等．

弦和弧

1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

二、垂径定理 圆的对称性

圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． ⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．

圆的旋转对称性 弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中

注意：①前提条件是在同圆或等圆中；

②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．

⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．

圆的轴对称性⇒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理

1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2． 推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定

理与勾股定理有：222()2

a r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两

个量就可以求出第三个量．

重点：

（1）揭示圆有关的本质属性 （2）垂径定理的探索及其应用 难点：

垂径定理探索及其应用 例题精讲

一、圆的基本概念

【例1】 判断题：

⑴ 直径是弦 ( ) ⑵ 弦是直径 ( ) ⑶ 半圆是弧 ( ) ⑷ 弧是半圆 ( ) ⑸ 长度相等的两条弧是等弧 ( ) ⑹ 等弧的长度相等 ( ) ⑺ 两个劣弧之和等于半圆 ( ) ⑻ 半径相等的两个圆是等圆 ( ) ⑼ 两个半圆是等弧 ( ) ⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( ) 【例2】 下列判断中正确的是( )

A ． 平分弦的直线垂直于弦

B ． 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C ． 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

D ． 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

【例3】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则( )

A ． ''A

B A B =

B ． ''AB A B >

C ． AB 的度数=''A B 的度数

D ． AB 的长度=''A B 的长度

【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩

形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )

A ． a b c >>

B ． a b c ==

C ． c a b >>

D ． b c a >>

O

N M

H

G F

E D

C B A

二、垂径定理

【例5】 (2009年甘肃白银)如图，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值

为4，则⊙O 的半径为( ) A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【例6】 (2006年青岛市)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截

面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．

【例7】 如图所示，在Rt ABC ∆中90C ∠

=︒，AC 1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．

【例8】 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．

【例9】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，

求弦AB 与CD 间的距离．

【例10】 在半径为1的O ⊙中，弦AB

AC 、

BAC ∠的度数为________．

【例11】 如图，已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最

短弦的长度．

【例12】 ⑴ 若O ⊙中等于120

︒的劣弧所对的弦长为O ⊙的半径是_______．

⑵ 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．

⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，42AB CD ==，，AB 的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．

P C

B A

D C B