基本不等式教学设计
不等式的基本性质教学设计教案
不等式的基本性质教学设计-教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解不等号（>，<，≥，≤）的含义举例说明不等式的表示方法1.2 不等式的基本性质性质1：如果a>b，a+c>b+c（加法性质）性质2：如果a>b且c>0，ac>bc（乘法性质，正数）性质3：如果a>b且c<0，ac<bc（乘法性质，负数）性质4：如果a>b且c≥0，a-c>b-c（减法性质）第二章：不等式的运算2.1 不等式的加减法运算展示不等式的加减法运算规则，举例说明练习题：求解下列不等式组的解集2.2 不等式的乘除法运算介绍不等式的乘除法运算规则，注意正负数的处理练习题：求解下列不等式组的解集第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍简单不等式的解法，如直接解、移项、合并同类项等练习题：求解下列简单不等式的解集3.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图像法、区间法等练习题：求解下列不等式组的解集第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的不等式举例说明不等式在实际问题中的应用，如距离问题、分配问题等练习题：解决下列实际问题中的不等式4.2 不等式的优化问题介绍不等式在优化问题中的应用，如最大值、最小值问题练习题：解决下列优化问题中的不等式第五章：不等式的综合练习5.1 不等式的综合应用综合运用不等式的基本性质、运算和解法解决实际问题练习题：解决下列综合应用问题中的不等式5.2 复习与总结复习不等式的概念、基本性质、运算和解法总结不等式的重要性和在数学中的应用第六章：不等式的标准形式6.1 不等式的标准形式介绍不等式的标准形式：x ≤a 或x ≥a说明标准形式在解不等式组中的重要性6.2 标准形式的不等式解法展示如何将不等式转换为标准形式练习题：将给定的不等式转换为标准形式并求解第七章：不等式的绝对值7.1 不等式中的绝对值解释绝对值在不等式中的含义和作用举例说明绝对值不等式的解法7.2 绝对值不等式的解法展示绝对值不等式的解法步骤练习题：求解含有绝对值的不等式第八章：不等式的函数关系8.1 不等式与函数的关系探讨不等式与函数之间的关系举例说明如何通过函数图像解决不等式问题8.2 函数图像下的不等式解法介绍如何利用函数图像求解不等式练习题：利用函数图像解决给定的不等式问题第九章：不等式的不等式系统9.1 不等式系统的概念介绍不等式系统的概念及其解法说明不等式系统在实际问题中的应用9.2 不等式系统的解法展示如何解不等式系统练习题：求解给定的不等式系统第十章：不等式的拓展与应用10.1 不等式的拓展探讨不等式在其他数学领域的应用介绍不等式的相关拓展知识10.2 不等式的实际应用分析不等式在现实生活中的应用练习题：解决实际生活中的不等式问题教案总结：本教案涵盖了不等式的基本概念、性质、运算、解法、应用以及拓展等内容。
基本不等式教学设计
基本不等式教学设计1. 引言在数学学科中，不等式是一种重要的数学概念，它在解决实际问题和推理论证中起着重要作用。
基本不等式是初中数学教学中的重要内容之一，它涉及到一些数学基本概念的运用和数学思维的发展。
本文将围绕基本不等式的教学设计展开，旨在帮助教师更好地教授这一概念。
2. 教学目标通过本课的学习，学生应能够：- 理解基本不等式的定义和性质；- 能够应用基本不等式解决实际问题；- 发展数学思维和推理能力。
3. 教学内容基本不等式的教学主要包括以下内容：- 不等式的意义和定义- 不等式的性质和基本运算- 不等式的解集和图像表示- 不等式在实际问题中的应用4. 教学步骤4.1 引入不等式的概念通过解决问题，引导学生发现不等式的概念，并通过例题引导学生理解不等式的定义。
4.2 不等式的性质和基本运算在引入不等式的基本性质和运算规则时，通过一些简单的例子让学生感受到这些性质和规则的重要性和实用性。
4.3 不等式的解集和图像表示通过一些实例，引导学生理解不等式的解集和图像表示，通过绘制不等式的图像加深学生对不等式解集的认识。
4.4 不等式在实际问题中的应用通过一些实际问题，引导学生应用所学的基本不等式解决问题，培养学生将数学理论应用于实际问题的能力。
5. 教学方法和手段5.1 启发式教学法在引入不等式的概念和性质时，采用启发式教学法，通过问题引导学生主动思考和发现，激发学生的学习兴趣和求知欲。
5.2 案例分析法在不等式的解集和图像表示环节，引入一些实例和案例，通过具体的问题激发学生对不等式解集和图像的认知和理解。
5.3 活动导向教学法在不等式的应用环节，设计一些小组或个人活动，让学生结合具体的问题进行讨论和解决，培养学生的合作和分析问题的能力。
6. 教学评价通过以下几种方式对学生进行评价：- 口头回答问题：针对不等式的定义、性质和运算规则，检查学生的掌握程度。
- 书面作业：布置一些练习题，检查学生对不等式的应用能力。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
不等式的基本性质教学设计教案
不等式的基本性质教学设计-教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 引导学生运用不等式的基本性质进行证明和解决问题。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法。
2. 不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。
3. 不等式的运算规则。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念、表示方法，不等式的基本性质及运算规则。
2. 教学难点：不等式的基本性质的理解与应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的基本性质。
2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中体验不等式的应用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示不等式的性质及运算过程。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，让学生感受不等式的实际意义。
2. 自主学习：让学生阅读教材，了解不等式的表示方法。
3. 课堂讲解：讲解不等式的基本性质，通过示例让学生理解并掌握性质1、性质2、性质3。
4. 课堂练习：设计相关练习题，让学生运用不等式的基本性质进行解答。
5. 拓展与应用：让学生运用不等式的基本性质解决实际问题，培养学生的应用能力。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调不等式的基本性质的重要性。
7. 布置作业：设计适量作业，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、练习和实际应用，评价学生对不等式的基本性质的理解和运用程度。
六、教学策略与辅助工具1. 教学策略：采用问题-探究教学模式，鼓励学生主动发现问题、解决问题。
利用小组合作学习，促进学生之间的交流与合作。
2. 辅助工具：多媒体教学课件，用于展示不等式的图形和动态变化，增强学生对不等式性质的理解。
七、教学准备1. 教材：准备不等式相关教材和教学参考书，为学生提供丰富的学习资源。
2. 课件：制作多媒体课件，包含动画、图形等元素，生动展示不等式的性质。
3. 练习题：准备一系列练习题，涵盖不等式的基本性质和应用问题。
基本不等式(第1课时)教学设计
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(第1课时）教学设计一、教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
二、教学目标与核心素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
四、教学工具：多媒体，交互式电子白板。
五、教学过程（一）引言师：前面我们类比等式的性质研究了不等式的性质及其证明和应用，今天我们来学习一个具体的不等式—基本不等式。
（插入中小学智慧平台）师：我门知道，乘法公式在代数式的运算中有着重要的作用，是否也存在一些不等式，在解军决不等问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面我们就来共同研究这个问题。
其实在不等式里，数学家们也总结了一大堆常用的公式。
今天，我们就来学习最简单，也最常出现的一个不等式，叫作基本不等式。
（展示中小学智慧平台学习任务单）（二）新课探究1、引出基本不等式师：什么是基本不等式呢？大家先来看一个在小学时就学过的一条几何性质：在一组周长相等的矩形形中，正方形的面积最大。
比如，一个长方形的边长为分别为5和3，正方形的边长为4，它们的周长都是16，此时它们的面积呢？S长=15，S正=16。
2.1 基本不等式的解释和证明 课时一等奖创新教学设计
2.1 基本不等式的解释和证明课时一等奖创新教学设计2.2 基本不等式第1课时基本不等式的解释和证明教学内容基本不等式的含义和证明。
（二）教学目标1. 经历基本不等式的发现归纳过程，能从具体中抽象出基本不等式，体会数学的一般性，发展学生数学抽象素养。
2. 经历基本不等式的证明过程，能用分析法证明不等式，体会数学的严谨性，发展学生逻辑推理、数学运算素养。
3. 通过寻找基本不等式的几何解释，能理解基本不等式的几何直观，体会数形结合思想，发展直观想象的素养；4. 利用基本不等式求简单的最值问题，能把握基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，体会数学的灵活性，发展数学运算素养。
（三）教学重点及难点1. 重点：基本不等式的定义，证明和几何解释。
2.难点:基本不等式的证明。
（四）教学过程设计1.情境引入，提出问题（1）欧拉与羊圈的故事：小欧拉曾经因为星星的事情被教会学校开除，回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。
他一面放羊，一面读书。
他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。
原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。
他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。
正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。
若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。
他有办法。
父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。
小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。
父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。
基本不等式教学设计-经典教学教辅文档
2a b +≤”教学设计 一、教学内容解析 本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修（5）》（人教A 版）第三章第四节第一课时。
基本不等式是关于不等式的证明、求解最值成绩的重要工具，在高中数学知识体系中占有重要的地位。
作为本章最初一节内容，基本不等式承前启后，即为解决最值成绩提供了新的根据和方法，也为后续内容如“直接证明与间接证明”、“均值不等式（推行）”等知识的学习作好知识储备。
本节课的学习任务次要是探求几何背景赵爽弦图(勾股圆方图)中所包含的不等关系，经过对重要不等式（222a b ab +≥，当且仅当a b =时取“=”）的变形代换构成对基本不等式（2a b+≤且a b R +∈、，当且仅当a b =时取“=”）的初步认识，在此基础之上引导先生多角度探求基本不等式的证明方法及几何意义，并在解决简单的最值成绩过程中领会基本不等式的重要作用。
教学重点：基本不等式的探求过程及多角度探求基本不等式的证明方法。
突出重点的手腕：教师在教学过程中要擅长捕捉先生情感的兴奋点，激发他们的学习兴味，鼓励先生大胆猜想，积极探求，以积极的评价，促使他们知难而进。
另外，以数形结合为主导思想选择知识的切入点，从先生已有的认知程度和知识基础动手，在以先生为主体的前提下教师给以适当的引导。
二、教学目标设置《课程标准》对本节内容的要求是：①探求并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值成绩。
根据《课程标准》并结合本节教学内容及学情，将本节课的教学目标确定为：1.结合赵爽弦图探求概括基本不等式，直观理解基本不等式的几何背景，领会数形结合的思想方法；2.在多角度探求基本不等式的证明方法的过程中，培养先生的探求精神和逻辑推理能力；3.经过解决简单的最大（小）值成绩，深化对基本不等式的理解，感受基本不等式在解决实践成绩中的作用。
三、先生学情分析先生比较熟习勾股定理、圆的简单性质、类似三角形的性质等知识，高中阶段曾经学习了基本初等函数及其性质、不等关系与不等式的性质，先生对不等式有了初步的了解和运用，对数形结合、转化与化归等数学思想方法有了必然的领会，这为本节课奠定了思想基础。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
基本不等式习题课教学设计
基本不等式习题课教学设计一、教学目标1. 理解基本不等式的概念和性质。
2. 熟练掌握基本不等式的求解方法。
3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念和性质。
2. 基本不等式的求解方法。
3. 基本不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 基本不等式的概念和性质的理解和掌握。
2. 基本不等式的求解方法的熟练运用。
四、教学难点1. 基本不等式在实际问题中的应用。
2. 培养学生解决实际问题的思维方式。
五、教学准备1. 教学课件及教学素材。
2. 学生用纸、铅笔等学习工具。
六、教学过程第一步：导入新课1. 引导学生回顾前几节课学习的内容，将基本不等式与前面所学的线性方程和线性不等式对比，引出今天的学习内容。
第二步：概念讲解1. 教师简要介绍基本不等式的概念，即有一个未知数的一次不等式。
2. 引导学生分析基本不等式的性质，包括两边同时加一个相同的数、两边同时减一个相同的数、两边同时乘一个相同的正数、两边同时除一个相同的正数时，不等式的不等关系不变。
第三步：求解方法讲解1. 教师详细讲解基本不等式的求解方法，包括移项法、乘法法则、分数法则等。
2. 通过示例演示每种方法的具体应用过程，引导学生掌握每种方法的使用技巧。
第四步：练习与巩固1. 教师组织学生进行基本不等式的练习，包括解一元一次不等式和应用题。
2. 督促学生独立思考和解题，然后进行讲解和订正，加强学生的基本不等式解题能力。
第五步：实际问题应用1. 通过实际问题的引入，展示基本不等式在生活中的应用价值。
2. 教师指导学生如何把问题转化为数学模型，运用基本不等式解决实际问题。
第六步：课堂总结1. 教师对本节课的重点知识进行总结，强调基本不等式的重要性和应用场景。
2. 鼓励学生在课后继续练习和思考，加深对基本不等式的理解和应用能力。
七、教学反思基本不等式是数学中的重要内容，通过本节课的教学设计，可以帮助学生全面理解和掌握基本不等式的概念、性质和求解方法。
基本不等式概念教学设计
基本不等式概念教学设计一、教学目标：1. 理解基本不等式的概念和含义。
2. 能够根据不等式的形式进行识别、推导和求解。
3. 掌握基本不等式中常见的数学符号和操作。
二、教学内容：1. 不等式的定义和基本性质。
2. 不等式中的常见符号和操作。
3. 不等式的推导和求解方法。
三、教学过程：第一步：导入1. 引入概念：“大于”、“小于”和“不等于”的区别和联系。
2. 提问学生：“7大于5”、“5小于7”、“3不等于4”中哪个是不等式，为什么？3. 解释不等式的定义和基本性质：不等式是数之间的大小关系，通过不同的符号来表示。
第二步：展示基本不等式的常见符号和操作1. 展示基本不等式的符号：大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)。
2. 解释符号的含义和用法。
3. 将符号和数字混合使用，让学生进行判断和比较。
第三步：不等式的推导和求解方法1. 引入不等式的推导和求解方法，强调与方程式的不同之处。
2. 列举一个简单的例子，引导学生观察和思考。
3. 解答学生提出的问题，如何通过加减乘除等操作来推导和求解不等式。
第四步：巩固和拓展1. 给出更多的不等式例子，让学生在小组内进行讨论和解答。
2. 定期提问学生，检查他们对基本不等式概念的掌握程度。
3. 练习不等式的推导和求解，包括一元和多元不等式。
四、教学评估：1. 通过课堂参与和问答，检查学生对基本不等式概念的理解。
2. 布置作业，要求学生完成一定量的不等式推导和求解题目。
3. 定期进行小测验，评估学生的学习进展。
五、教学延伸：1. 引导学生进一步探索复杂的不等式问题，如绝对值不等式和分式不等式。
2. 引入应用问题，让学生将不等式与实际问题联系起来，培养解决实际问题的能力。
六、教学总结：通过本次教学设计，学生可以全面理解基本不等式的概念和含义，并能灵活运用不等式的符号和操作进行推导和求解。
通过多样化的教学手段和评估方式，提高学生对基本不等式概念的掌握程度，并培养其解决实际问题的能力。
《基本不等式》 教学设计
《基本不等式》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容和证明过程。
（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力。
（2）通过实际问题的解决，提高学生的数学建模能力和应用意识。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和创新精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容和证明。
（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点（1）基本不等式的证明。
（2）运用基本不等式求最值时，等号成立的条件的判断和应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示生活中的一些实际问题，如矩形面积与周长的关系，引出本节课的主题——基本不等式。
例如：有一个矩形，长为 x，宽为 y，周长为 L，面积为 S。
已知 L ＝ 2(x ＋ y)，S ＝ xy，如何找到 x 和 y 的关系，使得面积最大？2、探索新知（1）给出基本不等式：对于任意的正实数 a、b，有\（＼frac{a ＋b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
（2）证明基本不等式方法一：作差法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ＆＝＼frac{a ＋ b 2\sqrt{ab}｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2}＼end{align}＼因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），所以\（＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2} ＼geq 0\），即\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
《基本不等式》教学设计
《基本不等式》教学设计基本不等式教学设计一、教学目标1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 掌握基本不等式的证明方法；3. 能够运用基本不等式解决实际问题。
二、教学内容1. 基本不等式的定义；2. 基本不等式的证明方法；3. 基本不等式的应用。
三、教学过程设计1. 导入（5分钟）在开始教学之前，通过简单的例子引出不等式的概念，以提高学生的学习兴趣和主动性。
例如：已知a > b，b > c，求a与c的大小关系。
2. 理论讲解（15分钟）首先，介绍基本不等式的定义：若a > b，则a - b > 0，这就是基本不等式的定义。
接着，讲解基本不等式的性质：可以对不等式两边同时加上（或减去）同一个数，且不等号的方向不变；可以对不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，且不等号的方向不变，对不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向反转。
3. 证明方法教授（30分钟）以证明a² ≥ 0为例，介绍基本不等式的证明方法。
步骤一：假设a > 0，根据基本不等式的定义，有a - 0 > 0，即a > 0。
步骤二：两边同时乘以a得到a² > 0，即a² ≥ 0。
步骤三：当a = 0时，直接代入原不等式得到0² ≥ 0，即0 ≥ 0。
结论：无论a为正数还是零，都有a² ≥ 0成立。
4. 练习与讨论（25分钟）分发练习题给学生，让他们尝试证明不等式的正确性，并在学生结束练习后，采用板书的形式，对解题思路和方法进行梳理和讲解。
5. 应用实例（20分钟）给学生提供一些实际问题，让他们运用基本不等式解决问题。
例如：已知a + b = 10，求a² + b²的最小值。
6. 拓展延伸（10分钟）引导学生思考更复杂的不等式问题，例如：证明(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc。
7. 总结归纳（5分钟）对本节课所学的基本不等式内容进行总结，强调基本不等式在数学证明和实际问题解决中的重要性。
不等式的基本性质教学设计教案
不等式的基本性质教学设计-教案第一章：不等式的概念1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，举例说明。
解释不等式中的“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号的含义。
1.2 不等式的表示方法介绍不等式的标准形式和斜线形式。
演示如何书写不等式，并强调箭头和斜线的区别。
1.3 不等式的解集解释不等式的解集的概念。
演示如何表示不等式的解集，包括用数轴表示解集的方法。
第二章：不等式的基本性质2.1 不等式的传递性质介绍不等式的传递性质，即如果a < b且b < c，则a < c。
通过示例解释传递性质的应用。
2.2 不等式的同向加减性质介绍不等式的同向加减性质，即如果a < b，则a + c < b + c（c为正数）和a c > b c（c为负数）。
通过示例解释同向加减性质的应用。
2.3 不等式的反向乘除性质介绍不等式的反向乘除性质，即如果a < b，且c为正数，则ac < bc和a/c > b/c （c不为零）。
通过示例解释反向乘除性质的应用。
第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如直接解不等式、同向加减、反向乘除等。
通过示例演示如何解简单不等式。
3.2 复合不等式的解法介绍解复合不等式的方法，如先解不等式组、利用不等式的传递性质等。
通过示例演示如何解复合不等式。
3.3 不等式的应用介绍不等式的应用，如解决实际问题、求解最值等。
通过示例演示不等式在实际问题中的应用。
第四章：不等式的性质练习4.1 简单不等式的性质练习提供一些简单不等式，让学生练习解题，并解释解题过程。
强调解题中的关键步骤和常见错误。
4.2 复合不等式的性质练习提供一些复合不等式，让学生练习解题，并解释解题过程。
强调解题中的关键步骤和常见错误。
第五章：不等式的综合应用5.1 不等式的综合应用问题提供一些不等式的综合应用问题，让学生解决问题，并解释解题过程。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
《基本不等式》教学设计
《基本不等式》教学设计教学设计：一、教学目标通过本次教学，学生应能够：1. 掌握基本不等式的概念和性质；2. 理解基本不等式在数学推理中的重要性；3. 运用基本不等式解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：基本不等式的概念和性质；2. 教学难点：基本不等式在数学推理中的应用。
三、教学准备1. 教师准备：课件、教学素材；2. 学生准备：课本、笔记、练习题。
四、教学过程第一步：导入（5分钟）1. 教师引入基本不等式的概念，激发学生对不等式的兴趣；2. 通过生活中的例子，让学生感受不等式在实际问题中的应用；3. 引导学生思考，发现不等式在数学推理中的重要作用。
第二步：讲解基本不等式的概念和性质（15分钟）1. 教师用课件展示基本不等式的定义和符号表示法；2. 通过例题，讲解基本不等式的性质，包括加法性、乘法性和传递性；3. 强调基本不等式在解决实际问题中的重要性。
第三步：示范解题（20分钟）1. 教师选取几个简单的例题，逐步演示如何运用基本不等式解题；2. 引导学生参与解题过程，注重引导学生思考、分析思路；3. 根据学生的反应，及时给予指导和纠正。
第四步：练习与巩固（25分钟）1. 学生独立完成课本上的练习题；2. 学生互相交流讨论解题方法和答案；3. 教师巡回指导，解答学生疑惑，强化学生对基本不等式的理解。
第五步：拓展与应用（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，引导学生运用基本不等式解决；2. 学生个别或小组合作解决问题，注重思维方法和解题策略的培养；3. 学生展示解题过程和答案，教师引导学生评价和讨论策略的优劣。
第六步：课堂总结（5分钟）1. 教师对本节课的教学内容和学习成果进行总结；2. 强调基本不等式的重要性，鼓励学生在日常学习和实践中积极运用；3. 预告下节课的内容。
五、课后作业1. 完成课本上的相关练习题；2. 思考如何将基本不等式应用到实际生活中的问题中。
六、教学反思本节课通过引入生活实例，激发学生学习兴趣，增强了学生对基本不等式的理解和应用能力。
高中数学《基本不等式》(2课时)教学设计
基本不等式（2课时）教学设计一、内容和内容解析1•内容：基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2.内容解析：相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础•基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关.从数与运算的角度，•”是两个正数a,b的"算术平均数”,忘是两个正数a,b,的"几何平均数”•因此,不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.其次,基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源•利用分析法,从数量关系的角度,利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等.这些方法也是代数证明和推导的典型方法此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.本单元教学建议课时数：2课时.二、目标和目标解析1•目标：(1)理解基本不等式：f以‘丿，发展逻辑推理素养.(2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.2.目标解析：达成上述目标的标志是：(1)知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.(2)能结合具体实例,明确基本不等式的使用条件和注意事项,即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验,所以基本不等式的证明是本节课的一个难点•基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立,甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题,这也是学生思维不够严谨的表现,因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、教学支持条件分析在进行基本不等式的几何解释的教学时,为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.五、教学过程设计第一课时(一)课时教学内容本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型.（二）课时教学目标Jab<"+"仏“>研1•理解基本不等式-，发展逻辑推理素养；2.了解基本不等式的几何解释；3.结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,发展数学运算和数学建模素养.（三）教学重点与难点教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.（四）教学过程设计1•基本不等式的定义导入语：我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用•那么,是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1:提到两个数的乘法，在上一节我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？师虫活动一学生回忆*表述，对于任意实数M乩有冷如乳当且■仅当尸&时，等号成立一^追画不等式中戸』的取值范围是什么？特别地，如果口>IX b〉a我们用拓，血分别代替上式中的G孙可以得到怎样的式子丁师生活动’学生独立计算后回答•教师总结;对于任意实数QO,Q0,得到H b>2屈,:变形为应畔©当且仅当4时，等号成立」环等式中渉圧的是代数中的“基本•量"和最基本的运算，诵常我们称不等式①为基本不等式.其中空叫做正数G b的算术.2•平均数，極叫做①p的几何平均数一基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设计意图’通过取上一节课得到的不等式^+^>2ab的特殊形式，得到基本不等式.屁冬字的定义「同日捲两个不等式之间建立联系.诵过分析基本不等式的代数结构特征;得到基本环等式的代数解释，初步加洙对基林等式的认识.2•基本不等式的证明问题2:上节课我们看到,证明不等关系,还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？预设方案一：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明•教师给予肯定,是否还有其它证法?预设方案二：由于没有已知条件,学生不知从何入手追问1=你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证屈空爭，只需要证明件么，从而形成证明思路-师生活动’学生思考分析，要证極乞字①，只需证逅3旦②,从而霊要证2屈-疽-比0③，只要证—（需-靠）它00只要证祐-屈2乏0⑤即可.教师指出@—品心显然咸立，如果我们从此式出发，把上述过程倒过来，就直接推岀基本不等式了一追问2:上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答由⑤f④，由④f③，由③f②，由②f①的依据.追问3上述证明叫做“分析法"•你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?师生活动：学生讨论后回答•教师总结：分析法是一种"执果索因”的证明方法，即从要证明的纟吉论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.追问4:你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答•教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用"要证……只要证……”的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出"显然xxx成立”.追问5:基本不等式成立的条件是什么?如果a<0或bvO基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立•教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.3•基本不等式的几何解释问题土在图1中,酸是圆的直径，点匸是血上一点迟0=乩过点U作垂直于抠的弦DE,连接血加•你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗1师生活动：学生思考后回答，教师引导学生点结：从条件和基林等式出发，发现圆的半径长等于学，仞=姮•教师操作课件，点D在圆周上运动，学生观察QD杲弦DE的一半，CZ）的长一定小于等于半径，即CD—皿也就是基本不等式可以利用^圆中直径不小于任意一条弦"得到解释.当且仅2当弦门宜过圆心时，二者相等.设计意图’让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，弓|导学生将应和学与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变J H化中表现的知b 关系的规律，从而获得基本不等式的几何：F)@1追间缶在上述解答过程中，杲否必须说明血当且仅当*,即亍7—1时，等号成立疳？师生活动=学生讨论石回答.教师总結：这是为了说明V是代数式J.=X+1（A->O）X的一个取值，代数式的最小值必须是代数式能取到的值.请同学们想一想，当％V2时.，卄二土％成立吗？迦犠说卄是偲J｛式Q0）的最才信3?X JC追问4:通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答•教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范•同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.例2已知x,y都是正数，求证：(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；-S2(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值'•师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充元善.追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答,教师总结:满足“两个正数的积为定值,当这两个数取什么值时,求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值,当这两个数取什么值时,求它们的积的最大值”的问题,能够用基本不等式解决•设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）目标检测设计1. 仃）；已知无>0,耒心十丄的最丿］谑及相应的工值；x⑵已知O GX I,^,<1-X）的最大值及相应的.T值.设计塾=考查学生利用基本不等式解决简单的最值I鱷的能力.2. 已知兀」都是正数，且工U中求证：⑴3—v耳设计意图：考查学生对基本不等式的理解,及运用“分析法”证明问题的能力.第二课时（一）课时教学内容利用基本不等式解决实际问题中最值问题.（二）课时教学目标1•运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；2.理解基本不等式的数学模型，提高学生模型思想解决问题的能力.（三）教学重点与难点教学重点：运用基本不等式的模型思想解决生活中的最值问题.教学难点：应用基本不等式解决实际问题.(四)教学过程设计1•复习引入问题1:基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？师生活动：学生根据教师提出的问题梳理上节课的知识，教师对学生遇到的困难给予帮助•特别是强调利用基本不等式求最值的方法，即两个变量均为正数是前提,发现“定值”是关键,验证等号成立是求最值的必要条件,即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.2•利用基本不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值•基本不等式是求最值的工具,特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.问题2:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1:前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题本例的两个问题分别属于哪类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于。
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基本不等式教学设计
一、教学目标
1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；
4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式
的三个限制条件
（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．
以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．
二、教学重点和难点
重点：利用一个表格进行对式子大小进行猜测，应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2
b
a a
b +≤的证明过程及应用。
难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程
2
b a ab +≤
1.探究引入
用一个表格，对表格中后两组数据比较得出一般情况下猜测：
ab b a 222≥+当且仅当b a =时等号成立。
a
b
22b a +
ab 2
2 3 13 12 4 3 25 24 3 3 18 18 2
2
8
8
2．动手操作，证明基本不等式。
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．
⑴几何证明一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？
在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，
那么正方形的边长为
．于是，
4个直角三角形的面积之和，
ABCD b a ,2
2b a +ab S 21=
正方形的面积． 由图可知，即． ⑵．代数证明，得出结论
根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若，则．
学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论： （1） 若，则；
请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：
，当时取等号．
（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）： 要证：；
即证：02-22≥+ab b a 即证：()02≥+b a ；
又因为：()02≥+b a 显然成立。
故证得：ab b a 222≥+。
得出结论，展示课题内容。
3、变式
222b a S +=12S S >ab b a 222>++∈R b a ,ab b a 222>++∈R b a ,ab b a 222≥+0)(2222≥-=-+b a ab b a ab b a 222≥+∴b a =b a ,ab b a 222≥+
对进行变式，特别地，当a>0,b>0时，在不等式
ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到，并进行
证明。
证法（分析法）：由于，于是 要证明 ，
只要证明 ，
即证 ，
即 ，该式显然成立，所以
，当时取等
号．
注意：基本不等式: 若，则
（当且仅当时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立） 深化认识： 称
为的几何平均数；称为的算术平均数
基本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4．应用举例，巩固提高
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
ab b a 222≥+ab b a 2≥++∈R b a ,ab
b a ≥
+2
ab
b a 2≥+02≥-+ab b a 0)(2≥-b a ab b
a ≥+2
b a =+∈R b a ,2
b a ab +≤
b a =R b a ∈,ab b a 222≥+b a =ab
b a ,2
b a +b a ,2
b a ab +≤
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于，
（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；
（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值
．
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）
练一练（自主练习）： 1.已知，且，求的最小值．
2.设，且，求的最小值． 5．归纳小结，反思提高
基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）
若，则
（当且仅当时，等号成
立）
（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法； （3）运用分析法证明我们要证的问题是我们今后遇到证明定理的一个重要方法。
6．布置作业，课后延拓 （1）基本作业：给出 的几何证明，
课本P100习题组
1、2题
+∈R y x ,p xy =b a =y x +p
2
s y x =+b a =xy 4
2s 0,0>>y x 18
2=+y
x
xy
R y x ∈,2=+y x y x 33+R b a ∈,ab b a 222≥+b a =+∈R b a ,2
b
a a
b +≤
b a =2
b
a a
b +≤
A
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
（3）尝试用一个未知数解决我们今天课上的这两个题。